1、一、方法综述确定函数f(x)零点个数(方程f(x)0的实根个数)的方法:(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数,一般由对应的二次方程f(x)0的判别式0,0,0来完成;对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数,则要结合二次函数的图象进行判断(2)对于一般函数零点个数的判断,不仅要用到零点存在性定理,还必须结合函数的图象和性质才能确定,如三次函数的零点个数问题(3)若函数f(x)在a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且是单调函数,又f(a)f(b)0,则yf(x)在区间(a,b)内有唯一零点二、解题策略类型一 求方程解的个数例1【2019安徽皖中名校联盟】已知函数,则方程=0实根的个数为(
2、 )A B C D【答案】B【解析】由可得:或,【解题秘籍】方程的解的个数问题可转化为求函数图象的交点的个数学【举一反三】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x),且当x0,1时,f(x)x,则方程f(x)log3|x|的解的个数是()A0 B2 C4 D6【答案】C【解析】画出周期函数f(x)和ylog3|x|的图象,如图所示,方程f(x)log3|x|的解的个数为4热点题型二 已知方程的根求参数的值或取值范围例2【2019山东德州一模】若关于x的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为A Be C D【答案】A【解析】由关于x的方程,令,则有,令函数,在递增,
3、在递减,其图象如下:要使关于x的方程关于x的方程有3个不相等的实数解,且,结合图象可得关于t的方程一定有两个实根,且,可得,故选A【举一反三】【2019河北廊坊模拟】若函数在上是单调函数,且存在负的零点,则的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】当时,所以函数在上只能是单调递增函数,又存在负的零点,而当时,f(0)=1+a,当时,f(0)=3a-2,03a-21+a,解得,故选B三、强化训练1【2019辽宁9月联考】已知方程有两个正根,则实数的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】因为方程有两个正根,所以,故选D2【2019河北衡水中学一模】已知函数(为自然对数的底数),若
4、关于的方程有两个不相等的实根,则的取值范围是( )A B C D【答案】C【解析】画出函数的图象如图所示,若关于的方程有两个不相等的实根,则函数与直线 有两个不同交点,由图可知,所以,故选C!网来源:ZXXK3【2019湖北山东一联】已知函数,若 且满足,则 的取值范围是( )A B C D【答案】A【解析】由 ,得因为,所以,得又令, 令 当时,在上递减, ,故选A4【2019河北武邑中学三模】已知是定义在上的偶函数,对于,都有,当时,若在-1,5上有五个根,则此五个根的和是( )A7 B8 C10 D12【答案】C【解析】f(x)是定义在R上的偶函数,当0x1时,f(x)=x2+1,设1x
5、0时,则0x1,f(x)=f(x)=(x)2+1=x2+1,又f(x+2)=f(x),f(x+4)=f(x+2)=f(x),f(x)是周期为4的函数,f(x)是偶函数,对任意xR,都有f(2+x)=f(x),f(2+x)+f(x)=0,来源:以x1代x,可得f(1+x)+f(1x)=0,f(x)关于(1,0)对称,f(x)在1,5上的图象如图:5【2019皖中名校联盟10月联考】设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】不妨设,的图象如图所示,来源:Z。xx。k.Com来源:令,则,故或且,所以(舎)或即且,故,故选B6【2019河北衡水中学二调】已知函数
6、,若方程在上有3个实根,则的取值范围为()A B C D【答案】B设则由,得,此时函数单调递增;由,得,此时函数单调递减,所以当时,函数取得极小值;当时,;当时,;当时,即,则设则由得(舍去)或,此时函数单调递增;由得,此时单调递减,所以当时,函数取得极大值;当时,当时,作出函数和的图象,可知要使方程在上有三个实根,则,故选B7【2019湖北宜昌元月调考】已知函数,若关于的方程有4个不相等的实根,则实数的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】关于的方程有4个不相等的实根等价于的图象与 的图象有4个不同的交点,作出于与 的图象,如图所示:当经过A时,直线AB与的图象相切于A点,此时的图
7、象与 的图象有3个不同的交点;学#8【2019甘肃静宁一中三模】已知定义在上的函数满足:,且,则方程在区间上的所有实根之和为( )A B C D【答案】A【解析】f(x)=,且f(x+2)=f(x),f(x2)3=,又g(x)=,则g(x)=3,g(x2)3=,上述两个函数都是关于(2,3)对称,由图象可得:y=f(x)和y=g(x)的图象在区间5,1上有4个交点,它们都关于点(2,3)对称,故之和为24=8,但由于(1,4)取不到,故之和为8+1=7,即方程f(x)=g(x)在区间5,1上的实根有3个,故方程f(x)=g(x)在区间8,3上的所有实根之和为7,故选A9【2019河北衡水中学一
8、模】对于函数,若存在,使,则称点是曲线的“优美点”已知,则曲线的“优美点”个数为( )A1 B2 C4 D6【答案】B【解析】曲线的“优美点”个数,就是的函数关于原点对称的函数图象,与的图象的交点个数,由可得,关于原点对称的函数,联立和,解得或,则存在点和为“优美点”,曲线的“优美点”个数为2,故选B网10【2019黑龙江哈尔滨六中期末考】定义域为的函数,若关于的方程,恰有5个不同的实数解,则等于( )A B C D【答案】C【解析】一元二次方程最多两个解,当时,方程至多四个解,不满足题意,当是方程的一个解时,才有可能5个解,结合图象性质,可知,即,故选C来源:11【2019四川攀枝花一模】在
9、直角坐标系中,如果相异两点都在函数y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对)函数的图象上关于原点成中心对称的点有( )A对 B对 C对 D对【答案】C【解析】因为关于原点对称的函数解析式为,所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数,就是与为图象交点个数,同一坐标系内,画出与图象,如图,由图象可知,两个图象的交点个数有5个,的图象上关于原点成中心对称的点有5组,故选C12【2019山东济南模拟】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】依题意,存在,使得,即 ;因而,即函数 与 的图象在 上有交点;如图所示,可
10、知若函数 与的图象在上有交点,则当 时,满足,即 ;易知当 时,函数 与的图象在上恒有交点,故 的取值范围是,故选B13【2019山东泰安期中考】已知是R上的偶函数且,若关于的方程有三个不相等的实数根,则的取值范围是_【答案】【解析】作出函数的图象如下图所示 14【2019湖北山东一联】已知函数若方程有四个不等的实数根,则实数的取值范围是_【答案】【解析】令 则 欲使原方程有四个不等根,由图象知方程两根为,或,(舍)或,(舍) 令 则,15【2018高考天津卷】已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是_【答案】【解析】分类讨论:当时,方程即,整理可得:,很明显不是方程的实数解,则,当时,方程即,整理可得:,很明显不是方程的实数解,则,令,其中,原问题等价于函数与函数有两个不同的交点,求的取值范围,结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象,同时绘制函数的图象如图所示,考查临界条件,结合观察可得,实数的取值范围是16【2019云南曲靖一中模拟】已知定义在R上的函数满足:,且,则方程在区间上的所有实根之和为_【答案】【解析】,函数的周期为2,又,函数图象的对称中心为在同一个坐标系中画出函数和的图象,如下图所示12