1、专题08-4立体几何问题第四季1如图，四面体中，面和面都是等腰，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为_。【答案】【解析】过CD的中点，作平面的垂线，设垂线上一点为球心O，垂足为E，连接BD的中点F与E的连线EF，连接BE，BO，则BO=AO=r，故， 由余弦定理，由此解得，由于三角形为直角三角形，故.由此解得，由球的表面积公式可得.2正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则二面角PABC的正切值是_，点A到侧面PBC的距离是_【答案】2 【解析】作底面，交面于点，连接并延长并于点，取中点，连结，则点在上，来源:Zxxk.Com是二面角的平面角，正三棱锥的高为2，侧
2、棱与底面所成的角为，来源:，二面角的正切值，又，设，则，由勾股定理得，解得，设点到面的距离为，解得，点到面的距离为故答案为3已知球O为正四面体ABCD的内切球，E为棱BD的中点，AB=2，则平面ACE截球O所得截面圆的面积为_网【答案】4三棱锥中，平面，为正三角形，外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为_.来源:Zxxk.Com【答案】【解析】如图所示，令，则 . 外接球表面积为,所以半径，在中，即，即，得，所以体积令，()，在单调递增，在单调递减，所以时，.5已知菱形ABCD的边长为，D=60，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角ABDC的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为
3、_ 。【答案】【解析】由题意画出图形，如下图所示取的中点，连，则，所以即为二面角ABDC的平面角由题意得为等边三角形，且边长为，设的中心为，则球心在过点且与平面垂直的直线上，设球心为点，连过作平面于，则 确定一个平面，过作于连，则过点，且，故由题意得，设，又,在和中，由勾股定理得，设球半径为R，则，解得，外接球的体积为故答案为6如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且，若、分别为线段、上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】首先的最小值就是到的距离.连接交于，连接，则平面，故，从而的最小值，可知为的中点，为的四分之一.其次，连接，在线段上取点，使，连接，则，从而，最后，
4、连接交于，则当为时，取得最小值，所求最小值为.正方体的棱长为2，.7设，是直角梯形两腰的中点，于，如图所示，现将沿折起，使二面角为，此时点在面内的射影恰为点，则，的连线与所成角的大小为_.【答案】【解析】8在中，若，斜边上的高为，则有结论，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两个互相垂直且长度分别为，三棱锥的直角顶点到底面的高为，则有_【答案】；【解析】由于SA=a，SB=b，SC=c，且SA，SB，SC两两互相垂直，可得S在底面ABC的射影为H，连接CH，延长交AB于D，连接SD，可得SDAB，CDAB，在直角三角形SAB中， ，在直角三角形SDC中，可得故答案为：9如下图，在四面体中，平面平
5、面，且.若与平面所成角的正切值为，则四面体的体积的最大值为_【答案】【解析】设 ，则.因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，三棱锥的高为.又与平面所成角的正切为，故.中，边上的高为（），故，令，来源:当时，当时，所以在为增函数，在为减函数，故体积的最大值为.10由空间一点O出发的四条射线两两所成的角相等，则这个角的余弦值为_【答案】【解析】如图，正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则AOD就为所求的角，设正四面体ABCD的棱长为a，作AE面BCD，垂足为E，作BFCD，交CD于F，则OAE，EAF，连结AF，则 ，设OA=OB=r，则 则 ，解得 所以 所以这个角的余弦值为
6、 11三棱锥中，平面，是边上的一个动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】由题意，三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，如图所示，则，且的最大值是，所以，所以的最小值是，即到的距离为，所以，因为，在中可得，即可得,取的外接圆圆心为，作，所以，解得，所以,取为的中点，所以，由勾股定理得，所以三棱锥的外接球的表面积是.12如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知四边形ABCD是直角梯形，BAD90，ABCD，ABADAA11，CD2，E为BB1的中点，则直线AD与直线CE所成角的正切值为_【答案】【解析】如图，为中点，为中点，连结，则，可得是平行四边
7、形，又有，是和所成角，由直棱柱的性质可得，由已知可得，所以平面，可得平面，因为平面，所以，故答案为.13如图，在棱长为1的正方体中，作以A为顶点，分别以AB，AD，AA1为轴，底面圆半径为的圆锥当半径r变化时，正方体挖去三个圆锥部分后，余下的几何体的表面积的最小值是_【答案】 【解析】由题意，余下几何体的表面积由原正方体的表面积剩余部分和3个圆锥的侧面组成，其表面积为，其中，设，求导并整理得，当时，来源:故在上是减函数，则余下几何体的表面积在上也是减函数，故当时，故答案为.14已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_【答案】【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面
8、，由余弦定理可得，设截球所得的圆的半径，由正弦定理可得，设球的半径，由勾股定理可得，球的表面积，故答案为.15如图，正方体中，是的中点，是侧面上的动点，且/平面，则与平面所成角的正切值的最大值是_.【答案】【解析】设分别为边上的中点,16下列四个命题中，正确的有_如果、与平面共面且，那么就是平面的一个法向量；设：实数，满足；：实数，满足则是的充分不必要条件；已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为，的离心率，则，且；菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形.【答案】【解析】如果、与平面共面且，若、共线，那么就不一定是平面的一个法向量，不正确；实数，时成立；而不成立，所以不是的充分不必要条件，不正确；因
9、为椭圆与双曲线焦点重合，即均大于零），正确；若菱形的对角线相等则菱形是圆的内接四边形，若菱形的对角线不相等，因为菱形的对角线就是内角的平分线，对角线交点到四边的距离相等，所以是圆的外切四边形，正确.故答案为 .17一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_【答案】【解析】由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近变得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，小球与一个面不能接触到的部分的面积为，所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是.18如图，在正方体中，、分别
10、为 的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为_.【答案】【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则E(1,0,0)，F(0,0,1)， B(2,2,0)，C1(0,2,2)，,设平面EFC1B的法向量，则，取，得 平面BCC1的法向量，设平面EFC1B和平面BCC1所成二面角为，则，所以，故填.19三棱锥中,侧棱底面,则该三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】在中，由余弦定理得该三棱锥的外接球，即为以为底面以为高的直三棱锥的外接球，设的外接圆半径为则由题意得，球心到的外接圆圆心的距离故球的半径=该三棱锥的外接球的表面积为答案：20在正三棱锥中，记二面角，的平面角依次为，则_【答案】2【解析】如图所示，作平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接PD则D为AB的中点，二面角的平面角为，15
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