1、2018-2019学年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则（）AABx|x0BABRCABx|x1DAB2（3分）下列四组函数，表示同一函数的是（）Af（x），g（x）xBf（x）x，g（x）Cf（x），g（x）Df（x）x，g（x）3（3分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递増的函数为（）ABylnxCyx3Dyx24（3分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A 如图是棱台B 如图是圆台C
2、 如图是棱锥D 如图不是棱柱5（3分）函数yloga（x+2）+1的图象过定点（）A（1，2）B（2，1）C（2，1）D（1，1）6（3分）经过点（1，0），且与直线x+2y30垂直的直线方程是（）A2xy+20B2x+y+20C2xy20Dx2y+107（3分）在四面体PABC的四个面中，是直角三角形的面至多有（）个A0个B1个C3个D4个8（3分）直线的倾斜角为（）ABCD9（3分）函数f（x）ln（x2+1）的图象大致是（）ABCD10（3分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）f（x），当x（0，1时，f（x）2x1，则方程f（x）log7|x
3、2|解的个数是（）A8B7C6D5二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11（4分）已知幂函数yf（x）的图象过点，则这个函数解析式为 12（4分）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与DD1所成的角是 ，13（4分）已知ABC的三个顶点A（1，3），B（3，1），C（1，0），则ABC 的面积为 14（4分）已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为 ，15（4分）已知函数f（x），若x2，6，则该函数的最大值为 三、解答題：本大题共6小题，满分50分解答须
4、写出文字说明、证明过程和演算步骤16（8分）计算下列各式的值（1）（2）log3lg417（8分）已知直线l1：x+2y+10，l2：2x+y+20，它们相交于点A（1）判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由；（2）求过点A且与直线l3：3x+y+40平行的直线方程18（8分）已知函数f（x）x22|x|3（1）作出函数f（x）的大致图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在2，4上的最大值与最小值19（8分）直线l过点（1，0），圆C的圆心为C（2，0）（）若圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长也为2，求直线l的方程；（）若直线l的斜率为1，且直线l与圆C相切；若圆
5、C的方程20（9分）四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA面ABCD垂足为点A，PAAB4，点M是PD的中点（1）求证：PB平面ACM（2）求证：BD平面PAC：（3）求四面体AMBC的体积21（9分）已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）1，若a，b1，1，a+b0时，有成立（1）判断f（x）在1，1上的单调性（2）解不等式（3）若f（x）m22am+11对所有的a1，1恒成立，求实数m的取值范围2018-2019学年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
6、求的1（3分）已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则（）AABx|x0BABRCABx|x1DAB【分析】先分别求出集合A和B，再求出AB和AB，由此能求出结果【解答】解：集合Ax|x1，Bx|3x1x|x0，ABx|x0，故A正确，D错误；ABx|x1，故B和C都错误故选：A【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用2（3分）下列四组函数，表示同一函数的是（）Af（x），g（x）xBf（x）x，g（x）Cf（x），g（x）Df（x）x，g（x）【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数【解答】解：Af（x）|x|，g
7、（x）x，所以两个函数的对应法则不一致，所以A不是同一函数Bf（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为（，0）（0，+），所以定义域不同，所以B不是同一函数C由x240，解得x2或x2，由，解得x2，两个函数的定义域不一致，所以C不是同一函数Df（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为R，且g（x）x，所以定义域和对应法则相同，所以D是同一函数故选：D【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数3（3分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递増的函数为（）ABylnxCyx3Dyx2【分析】由题意利用函数的奇偶
8、性和单调性，得出结论【解答】解：由于y在区间（0，+）上单调递减，故排除A；由于ylnx不是奇函数，故排除B；由于yx3既是奇函数又在区间（0，+）上单调递増，故它满足条件；由于yx2是偶函数，不是奇函数，故排除D，故选：C【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题4（3分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A 如图是棱台B 如图是圆台C 如图是棱锥D 如图不是棱柱【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断【解答】解：对于学习A，不是由棱锥截来的，所以A不是棱台，故A错误；对于学习B，上、下两个面不平行，所以不是圆台；对
9、于学习C，是棱锥对于学习D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以D是棱柱故选：C【点评】本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握几何体的基本概念和性质5（3分）函数yloga（x+2）+1的图象过定点（）A（1，2）B（2，1）C（2，1）D（1，1）【分析】由对数函数恒过定点（1，0），再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论【解答】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数ylogax（a0，a1）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数yloga（x+2）+1（a0，a1）的图象又函数ylogax（
10、a0，a1）的图象恒过（1，0）点，由平移向量公式，易得函数yloga（x+2）+1（a0，a1）的图象恒过（1，1）点，故选：D【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数yloga（x+m）+n（a0，a1）的图象恒过（1m，n）点6（3分）经过点（1，0），且与直线x+2y30垂直的直线方程是（）A2xy+20B2x+y+20C2xy20Dx2y+10【分析】由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可【解答】解：直线x+2y30的斜率为，与之垂直的直线斜率为2，所求直线方程为y02（x+1），化为一般式可得2xy+20故选：A【点评】本题考查直线的一般式方程
11、和垂直关系，属基础题7（3分）在四面体PABC的四个面中，是直角三角形的面至多有（）个A0个B1个C3个D4个【分析】由题意画出图形得答案【解答】解：如图，PA底面ABC，ABC是ABC为直角的直角三角形，则四面体PABC的四个面中，是直角三角形的面最多，有4个故选：D【点评】本题考查棱锥的结构特征，正确画出图形是关键，是中档题8（3分）直线的倾斜角为（）ABCD【分析】求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值【解答】解：直线xy+10的斜率为k，设倾斜角为，可得tan，由0，且，可得，故选：D【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题9（3分）函
12、数f（x）ln（x2+1）的图象大致是（）ABCD【分析】x2+11，又ylnx在（0，+）单调递增，yln（x2+1）ln10，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案【解答】解：x2+11，又ylnx在（0，+）单调递增，yln（x2+1）ln10，函数的图象应在x轴的上方，又f（0）ln（0+1）ln10，图象过原点，综上只有A符合故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题10（3分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）f（x），当x（0，1时，f（x）2x1，则方程f（x）log7|x2|解的个数是（）A8B7C6D
13、5【分析】根据函数f（x）是R上的奇函数，f（0）0，且满足f（x+2）f（x），求解f（x）的周期T4，当x（0，1时，f（x）2x1，作出图象，f（x）log7|x2|解的个数，即为2x1log7|x2|图象的交点个数数形结合可得答案【解答】解：函数f（x）是R上的奇函数，f（0）0，由f（x+2）f（x），可得f（x+4）f（x），f（x）的周期T4作出在同一坐标系中画y2x1和ylog7|x2|图象，从图象不难看出，其交点个数7个，故选：B【点评】本题考查了指数和对数的图象画法和交点个数问题属于基础题二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11（4分）已知幂函数yf（x）的图
14、象过点，则这个函数解析式为（x0）【分析】根据幂函数的概念设f（x）x，将点的坐标代入即可求得值，从而求得函数解析式【解答】解：设f（x）x，幂函数yf（x）的图象过点，这个函数解析式为（x0）故答案为：（x0）【点评】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题12（4分）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与DD1所成的角是45，【分析】由BB1DD1，得BB1A是直线AB1与DD1所成的角，由此能求出直线AB1与DD1所成的角【解答】解：BB1DD1，BB1A是直线AB1与DD1所成的角，ABBB1，ABBB1，AB1B45，直线AB1与DD1所成
15、的角是45故答案为：45【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13（4分）已知ABC的三个顶点A（1，3），B（3，1），C（1，0），则ABC 的面积为5【分析】根据A（1，3），B（3，1），求出AB的直线方程，和AB的距离，利用点到直线的距离就是AB为底的高，即可得ABC 的面积【解答】解：由A（1，3），B（3，1），设AB的直线方程为ykx+b，则，解得：k1，b4AB的直线方程为x+y40C（1，0）到直线AB的距离hAB的距离d2则ABC 的面积S5故答案为：5【点评】本题此解法用了点与直线的性质，两点之
16、间的距离公式属于基础题14（4分）已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为12，【分析】先由正方体的表面积计算出正方体的棱长a，然后利用求出球体的半径R，最后利用球体的表面积公式可得出答案【解答】解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则正方体的表面积为6a224，得a2，所以，则，因此，这个球的表面积为4R212故答案为：12【点评】本题考查球体的表面积的计算，解本题的关键在于弄清楚正方体的外接球的半径为棱长之间的关系，考查了计算能力，属于中等题15（4分）已知函数f（x），若x2，6，则该函数的最大值为2【分析】先求出函数的图象，得到函数的单调性，
17、从而求出函数的最大值【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：，函数f（x）在2，6递减，函数f（x）最大值f（2）2，故答案为：2【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，是一道基础题三、解答題：本大题共6小题，满分50分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（8分）计算下列各式的值（1）（2）log3lg4【分析】（1）利用指数运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则即可得出【解答】解：（1）原式1+2（2）原式+【点评】本题考查了指数与对数运算法则，属于基础题17（8分）已知直线l1：x+2y+10，l2：2x+y+20，它们相交于点A（1）判断直线l1和l2是否
18、垂直？请给出理由；（2）求过点A且与直线l3：3x+y+40平行的直线方程【分析】（1）先求出两直线的斜率，发现斜率之积等于1，故可得两直线垂直（2）先求出交点A的坐标，再根据斜率等于直线l3的斜率，点斜式写出直线的方程，并化为一般式【解答】解：（1）直线l1的斜率，直线l2的斜率k22，l1l2（2）由方程组解得点A坐标为，直线l3的斜率为3，所求直线方程为：化为一般式得：3x+y10【点评】本题考查判断两直线垂直的方法，当两直线平行时，它们的斜率间的关系；用点斜式求直线方程18（8分）已知函数f（x）x22|x|3（1）作出函数f（x）的大致图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；（2
19、）求函数f（x）在2，4上的最大值与最小值【分析】（1）写出分段函数解析式，结合二次函数的图象作图，由图象得函数的单调区间；（2）直接由图象得到函数f（x）在2，4上的最大值与最小值【解答】解：（1）f（x）x22|x|3图象如图：由图象知函数的单调减区间是（，1，（0，1单调增区间是（1，0，（1，+）；（2）结合图象可知最小值为f（1）f（1）4，最大值为f（4）5【点评】本题考查了分段函数的图象，考查了由图象判断函数的单调性，并由函数单调性求函数的最值，是基础题19（8分）直线l过点（1，0），圆C的圆心为C（2，0）（）若圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长也为2，求直线l的方程；（
20、）若直线l的斜率为1，且直线l与圆C相切；若圆C的方程【分析】（）设直线l的方程为yk（x+1），根据圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长为2，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的方程；（）根据直线l与圆C相切，利用点到直线的距离公式，可得圆C的半径r，从而可得圆C的方程【解答】解：（）设直线l的方程为yk（x+1），则圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长为2，圆心到直线l的距离为，即，解得k，即直线l的方程为y（x+1）；（）直线l的斜率为1，直线l的方程为yx+1，直线l与圆C相切，r，圆C的方程为【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查圆的性质，属
21、于中档题20（9分）四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA面ABCD垂足为点A，PAAB4，点M是PD的中点（1）求证：PB平面ACM（2）求证：BD平面PAC：（3）求四面体AMBC的体积【分析】（1）连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO证明MOPB，然后证明PB面ACM（2）证明PABD，ACBD，然后证明BD面PAC（3）通过，然后求解即可【解答】证明：（1）连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO点O，M分别是BD，PD的中点，MOPB又PB面ACM，MO面ACM，PB面ACM（3分）（2）PA面ABCD，PABD，底面ABCD是正方形，ACBD，又PAAC
22、A，BD面PAC（6分）（3），且，（9分）【点评】本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的他就的求法，考查计算能力21（9分）已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）1，若a，b1，1，a+b0时，有成立（1）判断f（x）在1，1上的单调性（2）解不等式（3）若f（x）m22am+11对所有的a1，1恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）利用函数的单调性的定义以及函数的奇偶性，判断证明即可（2）利用函数的单调性以及函数的定义域，列出不等式组，求解即可（3）通过f（1）1，且f（x）在1，1上单调递增，问题转化为m22am+11，即m22am0，对a1，1成
23、立，设g（a）2ma+m2，通过若m0，若m0，若g（a）0对a1，1恒成立，列出不等式组求解即可【解答】解：（1）f（x）在1，1上单调递增（1分）任取x1，x21，1，且x1x2，则x21，1f（x）为奇函数，f（x1）f（x2）f（x1）+f（x2）（x1x2）由已知得0，又x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）在1，1上单调递增（3分）（2）不等式，由（1）可得：，解得，不等式的解集为：（5分）（3）f（1）1，且f（x）在1，1上单调递增，在1，1上，f（x）1问题转化为m22am+11，即m22am0，对a1，1成立（6分）设g（a）2ma+m2，若m0，则g（a）00，对a1，1恒成立若m0，则g（a）为关于a的一次函数，若g（a）0对a1，1恒成立，必须有g（1）0，且g（1）0，即，结合相应各函数图象，得m2或m2（8分）综上所述，实数m的取值范围是（，202，+）（9分）【点评】本题考查函数恒成立体积的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力
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