2018-2019学年湖南省岳阳一中、汨罗一中高一（下）4月联考数学试卷（含详细解答）

1、2018-2019学年湖南省岳阳一中、汨罗一中高一（下）4月联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.）1（5分）sin120的值为（）ABCD2（5分）半径为3，圆心角为150的扇形的弧长为（）AB2CD3（5分）如果sin，那么cos等于（）ABCD4（5分）函数y2tan（x+）的最小正周期为（）AB2C3D65（5分）若a0，a1，则函数yax1+1的图象一定过点（）A（0，1）B（1，1）C（1，2）D（0，2）6（5分）已知向量（2，m），（1，2），若向量在向量方向上的投影为2，则实

2、数m（）AB1C1D17（5分）已知偶函数f（x）在区间0，+）单调递增，则满足f（2x1）f（）的x取值范围是（）A（，）B，）C（，）D，）8（5分）已知向量，则与的夹角为（）A30oB60oC90oD150o9（5分）已知直线m，n，l，平面，给出下面四个命题：其中正确的命题是（）ABCD10（5分）圆：x2+y22x2y+10上的点到直线xy2的距离最大值是（）A2BCD11（5分）已知0，函数f（x）cos（x）在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A，B，C（0，D（0，212（5分）设非零向量，夹角为，若|2|，且不等式|2|+|对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A1，3B1，

3、5C7，3D5，7二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.）13（5分）已知向量（3，1），（x，1），且与垂直，则x的值为 14（5分）已知tan2，则 15（5分）函数f（x）ln（ax2ax+1）的定义域为R，则实数a的范围 16（5分）设函数，则下列结论正确的是 （写出所有正确命题的序号）函数yf（x）的递减区间为；函数yf（x）的图象可由ysin2x的图象向左平移得到；函数yf（x）的图象的一条对称轴方程为；若，则f（x）的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）17已知函数f（x）x22

4、|x|1的图象，并写出该函数的单调区间与值域（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数f（x）的解析式写成分段函数；（2）在给出的坐标系中画出f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间和值域18如图，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD为菱形，DAB，ADP为等边三角形（）求证：ADPB；（）若AB2，BP，求直线PB与平面ABCD所成的角19已知sin+cos（1）求sin（）cos（）的值；（2）若为第二象限角，且角终边在y2x上，求的值20如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，x+y（1）若，求x，y的值；（2）若3，|4，|2，且与的夹角为60时，求 的值21在一个港口，

5、相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00，每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间t（h）近似满足关系式dAsin（t+）+h（A0，0，|）（1）若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？（精确到0.1m）（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m？22已知函数f（x）log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）设函数g（x）log2（a2xa），其中a0若函数f（x）与g

6、（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围2018-2019学年湖南省岳阳一中、汨罗一中高一（下）4月联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.）1（5分）sin120的值为（）ABCD【分析】由题意利用诱导公式化简要求的式子，可得结果【解答】解：sin120sin60，故选：A【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题2（5分）半径为3，圆心角为150的扇形的弧长为（）AB2CD【分析】根据角度制与弧度制的转化，利用扇形的弧长公式求解即可【解答】解：设扇形的弧长

7、为l，因为150（rad），所以l|r3故选：D【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式应用问题，也考查了角度制与弧度制的换算关系，是基础题3（5分）如果sin，那么cos等于（）ABCD【分析】由sin的值及的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cos的值即可【解答】解：sin，（，），cos，故选：B【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键4（5分）函数y2tan（x+）的最小正周期为（）AB2C3D6【分析】直接由函数yAtan（x+）+B的周期公式得解【解答】解：函数y2tan（x+）的最小正周期为：T故选：A【点评】本题主要考查了函数yAtan（x+）

8、+B的周期公式，属于基础题5（5分）若a0，a1，则函数yax1+1的图象一定过点（）A（0，1）B（1，1）C（1，2）D（0，2）【分析】通过图象的平移变换得到f（x）ax1+1与yax的关系，据yax的图象恒过（0，1）得到f（x）恒过（1，2）【解答】解：f（x）ax1+1的图象可以看作把f（x）ax的图象向右平移一个单位再向上平移1个单位而得到，且f（x）ax一定过点（0，1），则f（x）ax1+1应过点（1，2）故选：C【点评】本题考查指数函数的图象恒过点（0，1）；函数图象的平移变换6（5分）已知向量（2，m），（1，2），若向量在向量方向上的投影为2，则实数m（）AB1C1D1

9、【分析】根据向量投影的公式列方程，解方程求得m的值【解答】解：依题意向量在向量方向上的投影2，解得m1+故选：D【点评】本小题注意考查向量投影的概念以及运算，考查向量数量积的坐标运算，属于基础题7（5分）已知偶函数f（x）在区间0，+）单调递增，则满足f（2x1）f（）的x取值范围是（）A（，）B，）C（，）D，）【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可【解答】解：f（x）是偶函数，f（x）f（|x|），不等式等价为f（|2x1|），f（x）在区间0，+）单调递增，解得故选：A【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键8

10、（5分）已知向量，则与的夹角为（）A30oB60oC90oD150o【分析】根据即可求出，从而求出，这样根据向量夹角的范围，即可求出的夹角【解答】解：；又；与的夹角为60故选：B【点评】考查向量的数量积运算，向量夹角的余弦公式，以及向量的夹角范围，已知三角函数值求角9（5分）已知直线m，n，l，平面，给出下面四个命题：其中正确的命题是（）ABCD【分析】由墙角存在相互垂直的三个平面，可判断；运用面面平行的传递性，可判断；由线线的位置关系，可判断；由线面平行的性质和线面位置关系，可判断【解答】解：不正确，可能，比如墙角存在相互垂直的三个平面；正确，由面面平行的公理可得；不正确，可能m，n相交或异

11、面；不正确，可能n故正确的为故选：B【点评】本题考查空间线面的位置关系的判断，注意运用面面平行和垂直的性质、线面平行和线线平行、垂直的性质，属于基础题10（5分）圆：x2+y22x2y+10上的点到直线xy2的距离最大值是（）A2BCD【分析】先将圆x2+y22x2y+10转化为标准方程：（x1）2+（y1）21，明确圆心和半径，再求得圆心（1，1）到直线xy2的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可【解答】解：圆x2+y22x2y+10可化为标准形式：（x1）2+（y1）21，圆心为（1，1），半径为1圆心（1，1）到直线xy2的距离，则所求距离最大为，故选：B【点评】本题主要考查直线与圆的

12、位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径11（5分）已知0，函数f（x）cos（x）在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A，B，C（0，D（0，2【分析】根据函数的单调性求出02，然后求出当x（，）时，x的取值范围，利用余弦函数的单调性建立不等式关系进行求解即可【解答】解：f（x）cos（x）cos（x），若函数f（x）在（，）上单调递减，则T2（），02，若x，则x，x，02，若函数f（x）在（，）上单调递减，则满足，即，即，故选：A【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据函数的单调性和周期之间的关系是解

13、决本题的关键综合性较强，难度较大12（5分）设非零向量，夹角为，若|2|，且不等式|2|+|对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A1，3B1，5C7，3D5，7【分析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，然后结合函数的恒成立问题即可求解【解答】解：非零向量，夹角为，若|2|，2，不等式|2|+|对任意恒成立，整理可得，（132）+（84）cos0恒成立，cos1，1，13故选：A【点评】本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.）13（5分）已知向量（3，1），（x，1），

14、且与垂直，则x的值为【分析】根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值【解答】解：；故答案为：【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算14（5分）已知tan2，则8【分析】分子、分母同除以cos，整理得tan的表达式，代入即可得解【解答】解：因为tan2，则8故答案为：8【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系，考查转化能力及计算能力，属于中档题15（5分）函数f（x）ln（ax2ax+1）的定义域为R，则实数a的范围0，4）【分析】f（x）ln（ax2ax+1）的定义域为R等价于ax2ax+10的解集是R，由此能求出实数a的范围【解答】解：f（x）ln（ax2a

15、x+1）的定义域为R，ax2ax+10的解集是R，a0，或，解得0a4，故答案为：0，4）【点评】本题考查对数函数的定义域，是基础题解题时要认真审题，仔细解答16（5分）设函数，则下列结论正确的是（写出所有正确命题的序号）函数yf（x）的递减区间为；函数yf（x）的图象可由ysin2x的图象向左平移得到；函数yf（x）的图象的一条对称轴方程为；若，则f（x）的取值范围是【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：令，解得，所以函数yf（x）的递减区间为，故正确；由于，所以函数yf（x）的图象是由ysin2x的图象向右平移得到的，故错误；令，解得，所

16、以函数yf（x）的图象的对称轴方程为，故错误；由于，所以，当时，当时，f（x）max1，故正确，故答案为：【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）17已知函数f（x）x22|x|1的图象，并写出该函数的单调区间与值域（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数f（x）的解析式写成分段函数；（2）在给出的坐标系中画出f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间和值域【分析】（1）根据绝对值的意义，分x0、x0两种情况去掉绝对值，即可得到函数f（x）分段函数形式的解析式；（2）根据函数奇偶性的定义，证出函

17、数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，再结合二次函数图象的作法，即可作出函数如图所示的图象由函数的图象则不难写出函数的单调区间，求出函数的值域【解答】解：（1）当x0时，|x|x；当x0时，|x|x，函数的解析式为：（3分）（2）f（x）（x）22|x|1x22|x|1f（x）f（x），得函数是偶函数，图象关于y轴对称因此，作出函数yx22x1在y轴右侧的图象，再作关于y轴对称得到函数在y轴左侧的图象可得如右图所示f（x）的图象（6分）由图象可知：函数yf（x）的单调增区间为（1，0），（1，+）；单调减区间为（，1），（0，1）（9分）函数的最小值为f（1）f（1）2，故函数的值域为：2，+

18、）（12分）【点评】本题给出含有绝对值的二次形式的函数，求函数的单调性与值域着重考查了二次函数的图象与性质、函数图象的作法与函数的奇偶性等知识，属于中档题18如图，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD为菱形，DAB，ADP为等边三角形（）求证：ADPB；（）若AB2，BP，求直线PB与平面ABCD所成的角【分析】（）取AD中点E 连接EB，EP，易得线面垂直，进而得线线垂直；（）利用勾股定理再得PEBE，得到线面垂直，进而得线面所成角，得解【解答】解：（）证明：取AD中点E，连接EP，EB，底面四边形ABCD为菱形，DAB，ABD为正三角形，ADEB，APD为正三角形，ADEP，AD平面PE

19、B，ADPB；（）AB2，EPEB，又由（1）知，EPAD，EP平面ABCD，PBE即为直线PB与平面ABCD所成的角，易知PBE故直线PB与平面ABCD所成的角为【点评】此题考查了线面垂直，线线垂直，线面所成角，难度不大19已知sin+cos（1）求sin（）cos（）的值；（2）若为第二象限角，且角终边在y2x上，求的值【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得sin（）cos（）的值（2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan的值，再利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：（1）sin+cos，1+2sincos，sincos cos（s

20、in）cossin（2）为第二象限角，且角终边在y2x上，则根据三角函数的定义得到tan2 ，由第一问得到，故 +，即要求的式子的值为【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题20如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，x+y（1）若，求x，y的值；（2）若3，|4，|2，且与的夹角为60时，求 的值【分析】（1），据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值（2）利用向量的运算法则将用表示，利用向量数量积的运算律将用的模及它们的数量积表示求出值【解答】解：（1），即，即，（2），即，【点评】本题考查向量

21、的加法、减法的运算法则；向量的数量积及其运算律；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，从而将未知向量的数量积，用已知向量的数量积表示21在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00，每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间t（h）近似满足关系式dAsin（t+）+h（A0，0，|）（1）若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？（精确到0.1m）（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3

22、m？【分析】（1）设dAsin（t+）+h，利用低潮时入口处水的深度为8.4m，高潮时为16m，求出h，A，利用两次高潮发生的时间间隔12h，求出周期，从而求出，再求出，即可得到这个港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系；（2）10 月10 日17：00，t17，代入解析式即可求出水的深度；（3）解不等式d3.8sin（t）+12.210.3，即可求出10 月10 日这一天该港口共有多少时间水深低于01.3m【解答】解：（1）依题意知T12，故，h12.2，A1612.23.8，所以d3.8sin（t+）+12.2又因为t4时，d16，所以sin（+）1，所以，所以d3.8sin（t）

23、+12.2（2）t17时，d3.8sin（）+12.23.8sin+12.215.5（m）（3）令3.8sin（t）+12.210.3，有sin（t），因此2k+t2k+ （kZ），所以2k+t2k+2，kZ，所以12k+8t12k+12令k0，得t（8，12）；令k1，得t（20，24）故这一天共有8 h水深低于10.3 m【点评】本题考查了函数模型、三角函数的图象与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22已知函数f（x）log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）设函数g（x）log2（a2xa），其中a0若函数f（x）与g（x）的图象有且只有

24、一个交点，求a的取值范围【分析】（1）由已知中函数f（x）log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）xlog2（a2xa），在（log2，+）上只有一解，利用换元法，分类讨论，得到答案【解答】解：（1）函数f（x）log2（4x+1）+kx（kR）是偶函数，f（x）log2（4x+1）kxf（x）log2（4x+1）+kx恒成立，即log2（4x+1）2xkxlog2（4x+1）+kx恒成立，解得k1，（2）a0g（x）log2（a2xa），定义域为（log

25、2，+），也就是满足2x，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，方程log2（4x+1）xlog2（a2xa），在（log2，+）上只有一解即：方程a2xa，在（log2，+）上只有一解令2xt则t，因而等价于关于t的方程（a1）t2at10（*）在（，+）上只有一解当a1时，解得t（，+），不合题意；当0a1时，记h（t）（a1）t2at1，其图象的对称轴t0，函数h（t）在（0，+）上递减，而h（0）1，方程（*）在（，+）无解当a1时，记h（t）（a1）t2at1，其图象的对称轴t0，所以，只需h（）0，即（a1）a10，此恒成立此时a的范围为a1综上所述，所求a的取值范围为a1【点评】本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键