1、专题三 压轴解答题第四关 以解析几何中与圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在15年高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造
2、不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.类型一 以圆的切线为背景的相关问题典例1【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（）若点为，求直线的方程； （）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，求的取值范围【解析】（）设直线方程为，直线方程为.由可得. 因为与抛物线相切，所以，取，则，.即. 同理可得.所以：. （）设，则直线方程为，直线方程为.由可得. 因为直线与抛物线相切，所以 .同理可得,所以，时方程的两根.所以，.
3、 则 . 又因为，则，所以 .学_【名师指点】圆的切线的应用，往往从两个方面进行考查，一是设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解；二是结合切线长定理与勾股定理求解【举一反三】已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.【解析】（1）由题意椭圆的标准方程为，所以，从而，所以.（2）直线与圆相切，证明如下：设点，其中，因为，所以，即，解得，当时，代入椭圆的方程得，此时直线与圆相切.当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，又，故.故此直线与圆相切.类型二 与圆有关的面积问题典例2 已知圆M过，两点，且圆心M
4、在上（1）求圆M的方程；（2）设点P是直线上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值【答案】（1）圆M的方程为；（2）四边形PAMB面积的最小值为【解析】（1）设圆M的方程为：，根据题意得：，解得：，故所求圆M的方程为：【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，以及弦长公式等，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键【举一反三】设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写
5、出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围【解析】 (2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由 得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2 ，x1x2 .|MN| |x1x2| .过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y (x1)，A到m的距离为 ，|PQ|2 .故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12 .可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形
6、MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8 ).类型三 圆与其他圆锥曲线的结合问题典例3【山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟】抛物线的焦点为F，圆，点为抛物线上一动点.已知当的面积为.（I）求抛物线方程；（II）若，过P做圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求面积的最小值，并求出此时P点坐标.学_【解析】（）由题意知：，,，抛物线方程为.()设过点P且与圆C相切的直线的方程为令x=0，得切线与x轴的交点为而， 整理得，设两切线斜率为，则，来源:Z_X_X_K，则， 令，则，而 当且仅当，即t=1时，“=”成立.此时，的最小值为2，【名师指点】圆与圆锥曲线
7、的交汇问题以公共点为基点,派生出弦长问题、中点问题、垂直问题、切线问题、恒过定点问题、定长问题等等,应对不同的题目,会采用不同的方式方法,但总体上仍以设而不求的处理策略为主.常规的策略是数形结合,将数反映的形画出来,结合图形解决问题【举一反三】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2（1）求抛物线的方程；（2）若直线与圆切于点，与抛物线切于点，求的面积【解析】（1）在抛物线上，由题意可知， ，解得，所以抛物线的方程为；（2）设直线方程为： ，与圆相切，整理得，依题意直线与抛物线相切，由得 （*） 由解得或，此时方程（*）化为，解得，点，直线为： 或，到的距离为，【精选名校模拟】1【河北省邢台市201
8、8届高三上学期期末考试】已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等，且与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为，与直线（为坐标原点）垂直的直线与交于两点，且与圆相切（1）求的方程；（2）若，求圆的方程【解析】（1）由题意可得，来源:Z|xx|k.Com故的方程为.（2）联立，得，又在第一象限， .故可设的方程为.联立，得，设， ，则， ， ，解得，满足，又到直线的距离为，则，故圆的方程为.2【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，过，分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为，为准线上一点.（1）若，求的值；学#（2）若点为线段的中点，
9、设以线段为直径的圆为圆，判断点与圆的位置关系.【解析】（1），设直线方程为：，和抛物线联立，得，设， ，.由题知，设，把各个点坐标代入方程，分别求出以下点坐标：，利用平行关系，则，代入点坐标，即可得出（2）若是的中点，则， .因此，在以为直径的圆上3在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线x-y-4=0相切.（1）求圆O的方程;（2）直线l:y=kx+3与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB 为菱形,若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由.【解析】4已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且线段被直线平分.（1）求的值；
10、（2）直线是抛物线的切线， 为切点，且，求以为圆心且与相切的圆的标准方程.【解析】由题意可知，设， ，则.（1）由，得，即.（2）设直线的方程为，代入，得，为抛物线的切线，解得，.到直接的距离，所求圆的标准方程为.5【山东省新泰市第一中学2019届高三上学期第二次质量检测】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为圆的圆心，直线与抛物线的准线和轴分别交于点、，且、的纵坐标分别为、（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与圆相切【解析】（1）圆心为，半径为，设抛物线的方程为，因为焦点为圆：的圆心，所以，因此抛物线的方程为；（2）由题意可知，则直线方程为：，即，圆心到直线的距离，因此直线恒与圆相切6. 【
11、安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】设椭圆（）的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与直线相切，若直线与椭圆交于两点，坐标原点为.（）求椭圆的离心率；（）若，求椭圆的方程【解析】（）圆圆O与l相切，,.（）设直线与椭圆的交点为直线，椭圆联立直线与椭圆，消去x得，,.7【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】已知椭圆的离心率，左顶点到直线的距离，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：到直线的距离为定值.【解析】（1）椭圆的离心率，即，（2）设，当直线的斜率不存在时，由椭圆的性质可得：，当直线的斜率不存在时，以为直径的圆经过坐标原点
12、，即，也就是，又点在椭圆上， ，以为直径的圆经过坐标原点，且平行于轴，解得：此时点到直线的距离来源:ZXXK当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立有，消去，得，同理：，消去，得，即，为直径的圆过坐标原点，所以，点到直线的距离综上所述，点到直线的距离为定值.8【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期末考试】在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为.（1）求的方程；（2）试问在上是否存在两点关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设，则点，将代入圆，可得的方程为.（2）显然，直
13、线存在斜率，设直线的方程为，联立，消去并整理得，,化为，设，则，依题意，可得，又，解得，由的中点在直线上， ，化为，来源:ZXXK把代入化为，解得（舍去）或，解得，满足，即满足，在上存在两点关于直线对称,且以为直径的圆恰好经过坐标原点，直线的方程为.9【安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学】在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点， 分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.（2）由于点在椭圆外，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线，设.由消去得， .由得，从而，.点到直线的距离，的面积为.令，则
14、， ，当即时， 有最大值， ，此时.所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.10在平面内，已知点，圆：，点是圆上的一个动点，记线段的中点为（1）求点的轨迹方程；（2）若直线：与的轨迹交于，两点，是否存在直线，使得（为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【解析】设，点P的坐标为，点，且Q是线段PA的中点，在圆C：上运动，即；点Q的轨迹方程为；设，将代入方程圆的方程，即，由，得，即，解得舍，或存在直线l，使得，此时11【河南省商丘市2018届高三第一学期期末考试】已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为.（1）求曲线的方程；学_（2）若为曲线上的两点，记， ，且
15、，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.（2）当轴时，有， ，由，得，又， ，. 当与轴不垂直时，设直线的方程为，由得， 则， ， 由，得，整理得， ， ，综上所述， 的面积为定值. 12已知圆C：x2+（y+4）2=4，P是直线y=4上的动点（1）若P（2，4），过点P作圆C的切线，求切线的方程；（2）是否存在经过点P的直线l与圆C相交于M，N两点，且使得点（1，3）为线段MN的中点?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【解析】（1）当过点P的切线的斜率存在时，设过点P的圆C的切线方程为y4=k（x2），即kxy2k+4=0，又圆C：x2+（y+4）2=4
16、，即圆心C（0，4），半径r=2，所以圆心C到切线的距离为2，所以=2，解得k=，此时切线的方程为y4=（x2），即15x8y+2=0当过点P的切线的斜率不存在时，过点P的圆C的切线方程为x=2所以切线的方程为15x8y+2=0或x=2（2）存在满足条件的直线l因为弦MN的中点为（1，3），圆心C（0，4），所以圆心与中点连线的斜率为=1，则直线l的斜率为1，故可设P（x0，4），直线l的方程为y4=xx0，又圆心到直线l的距离为，解得x0=10或x0=6，此时直线l的方程为y4=x10或y4=x6又点（1，3）不在直线y4=x10上，故不满足题意，所以存在经过点P的直线l与圆C相交于M，N两
17、点，且使得点（1，3）为线段MN的中点，此时直线l的方程为xy2=013【江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考】已知圆，点为圆上的一个动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.【解析】（1）设动点，由于轴于点 由题意，得即将代入，得曲线的方程为 （2）当直线的斜率不存在时，因以为直径的圆过坐标原点，故可设直线为，联立解得 同理求得 所以；当直线的斜率存在时，设其方程为，设联立，可得 由求根公式得（*）以为直径的圆过坐标原点，即 即 化简可得，将（*）代入可得，即 即，又将代入，可得当且仅当，即时等号成立又由，；综上，得14已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II），其中O为坐标原点，求.【答案】（I）（II）2【解析】试题分析：（I）设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k的不等式，即可求出k的取值范围；（II）设，将直线l方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将用k表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及列出关于k方程，解出k，即可求出|MN|.来源:Z,X,X,K（II）设.将代入方程,整理得,所以,由题设可得，解得，所以l的方程为.故圆心在直线l上，所以.
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