1、2019高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第五篇 解 析 几 何专题03 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题一方法综述纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、
2、存在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解定点、定值、定直线问题.二解题策略类型一 定点问题【例1】【2018届安徽省淮南市二模】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.(1)求该抛物线的方程；(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点，并说明理由.【指点迷津】1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定
3、的点就是直线或曲线所过的定点2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【举一反三】【2018届陕西省咸阳市5月信息专递】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）设是椭圆的右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.来源:Zxxk.Com类型二 定值问题【例2】【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）过点Q（0，1）的直线l与
4、抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，求证：为定值【例3】【2018届安徽省江南十校二模】已知椭圆：，点、都在椭圆上，为坐标原点，为中点，且.（1）若点的坐标为，求直线的方程；（2）求证：面积为定值.来源:【指点迷津】1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示来源:（2）将所求表达式用
5、核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.2. 定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算【举一反三】1. 【2018届宁夏回族自治区银川一中考前适应性训练】已知动圆过定点且与圆：相切，记动圆圆心的轨迹为曲线（1）求C的方程；（2）设，B，P为C上一点，P不在坐标轴上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证
6、：为定值2.【上海华东师范大学第二附属中学2019届10月】在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为，过定点D（0，p）作直线与抛物线C相交于A，B两点。（1）求抛物线C的方程；（2）若点N是点D关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（3）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AD为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.类型三 定直线问题【例4】如图，已知椭圆的左右焦点为，其上顶点为，已知是边长为2的正三角形（1）求椭圆的方程（2
7、）过点任作一动直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由【指点迷津】定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等【举一反三】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是（1）求椭圆的方程（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程三强化训练1【2018届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区5月训练】已知椭圆（）的焦距为2，离心率为，右顶点为.（I）求该椭圆的方程；（I
8、I）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线，的斜率之和为定值.来源:Zxxk.Com2.【2018届江西省南昌市三模】已知动圆过点，并与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）已知点，过点的直线交曲线于点，设直线的斜率分别为，求证：为定值，并求出此定值.3【2018届湖北省宜昌市4月调研】已知倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线相交于、两点，且.（）求抛物线的方程；（）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、.如果直线与的斜率之积等于1，求证：直线经过一定点.4【2018届江苏省南京市三模】如图，在平面直角坐标系中，椭圆经过点，离心率为. 已知过点的直线与椭圆交
9、于两点来源:ZXXK（1）求椭圆的方程；（2）试问轴上是否存在定点，使得为定值若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.5【2018届华大新高考联盟4月检测】已知抛物线的焦点为，的三个顶点都在抛物线上，且.（1）证明:两点的纵坐标之积为定值；（2）设，求的取值范围.6.【2018届江西省上饶市三模】已知椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为、，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点（1）求点的轨迹的方程；（2）当直线与椭圆相切，交于点，当时，求的直线方程7【2018届广东省湛江市二模】已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上，且的面积为. （1）求该椭圆的标准方程；
10、（2）过该椭圆的左顶点作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点的两点、，证明：动直线恒过轴上一定点.8【2018届重庆市三诊】已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的的方程；（2）设点为圆上任意一点，过作圆的切线与椭圆交于两点，证明：以为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标.9.【甘肃省兰州第一中学2019届高三上学期期中】已知椭圆离心率为，点P(0,1)在短轴CD上，且.（I）求椭圆E的方程；（II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.若，求直线l的方程.10.【2018届天津市部分区调查（二）】已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.（1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，且与轴，轴交于两点.（i）若，求的值；（ii）若点的坐标为，求证：为定值. 6
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