1、 专题一 压轴选择题 第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题来源:ZXXK【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点要熟练掌握基本的解题技巧还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的试题一般以小题的形式出现,有一定难度解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理类型一 四面体的外接球问题典例1福建省泉州市2019届高三1月单科质检已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）A B C D【答案】A【解析】设球O得半径为R，A
2、B=x，AC=y，由4R2=29，得4R2=29又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25三棱锥A-BCD的侧面积：S=SABD+SACD+SABC=由x2+y22xy，得xy当且仅当x=y=时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y22（x2+y2），得x+y5,当且仅当x=y=时取等号，S5+=当且仅当x=y=时取等号. 三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为.故选A.【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径，分别指两两
3、垂直的三条棱，进而确定外接球表面积【举一反三】【2018南宁摸底联考】三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B类型二 三棱柱的外接球问题典例2山东省临沂市2019届高三上学期第六次质量调研已知三棱柱的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,则此球的体积等于( )A B C D【答案】B【解析】设AA1=h，则棱柱的体积为，AB=2，AC，BAC60，2hh=1，AB=2，AC，BAC60BC=如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP平面ABC，AP=则球的半径为OA，由题意OP=，OA=所以球的体积为：R3=.故选B.【名师指导
4、】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点距离相等的点在过的外心且垂直于平面的直线上，再确定到顶点距离相等的点过的外心且垂直于平面的直线上，故直三棱柱的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径【举一反三】【陕西省榆林市2018届高考模拟第一次测试】已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，则球的直径为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，ABC的外心是斜边的中点，
5、上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=13，所以球的直径为：13故答案为：A。类型三 四棱锥的外接球问题来源:典例3【河北省承德市联校2018届高三上学期期末考试】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 平方尺 B. 平方尺 C.
6、平方尺 D. 平方尺【答案】C【解析】将该几何体补形为长方体，外接球的直径即为长方体的对角线，即，故其表面积是.【名师指点】某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略补形法常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题本题可以利用补体法，将四棱锥补体为直三棱锥，利用直三棱柱的外接球半径求法确定其外接球半径【举一反三】【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考数学（理)试题】已知四棱锥
7、的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，且，则球的表面积是（ ）A B C D【答案】A【解析】依题意，得，由余弦定理可得，则，则，又四边形是等腰梯形，故四边形的外接圆直径为，设的中点为，球的半径为，平面，则 ，故选：A.类型四 几何体的内切球问题典例4若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_【答案】3【名师指点】解决球与其他几何体的切接问题，关键在于认真分析、观察，弄清先关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，截面的选择应该更多地体现元素与元素之间关系，达到空间问题平面化的目的【举一反三】【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上
8、学期期末】在底面是边长为2的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则（ ）A B C D【答案】B【解析】如图，E，F为AB，CD的中点，来源:Z|X|X|K由题意，PABCD为正四棱锥，底边长为2，BCAD，PBC即为PB与AD所成角，可得斜高为2，PEF为正三角形，正四棱锥PABCD的内切球半径即为PEF的内切圆半径，可得r，来源:Z。X。X。K设O为外接球球心，在RtOHA中，解得R，故选：B【精选名校模拟】1. 【2018河南漯河中学三模】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形， ，则三棱锥的外接球的球
9、心到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A来源:【解析】由图可知， ，得，解得，故选A。2【广东省佛山市顺德区2019届高三第二次教学质量检测】已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】由已知得，作下图，连结，延长至圆上交于H，过作交于，则为，所以，为斜边的中点， 所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，则，则，则球的半径 球的表面积为答案选D.3. 【2018河南漯河中学二模】四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，来源:Z|xx|k.Co
10、mBC=CD=1，BCD=60底面BCD为等边三角形，取CD中点为E，连接BE，BCD的外心G在BE上，设为G，取BC中点F，连接GF，在RtBCE中，由， ，得，又在RtBFG中，得BG=，过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O，则O为四面体ABCD的外接球的球心，即R=OB，AB平面BCD，OGBG，在RtBGO中，求得OB=，球O的表面积为4 来源:故选D4【福建省三明市第一中学2019届高三上学期期中考试】已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为（ ）A B C D【答案】D5【山西省吕梁市2018届高三上学期第一次模拟】已知点在同一个球的球面
11、上， ， ，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据条件可知球心在侧棱中点，从而有垂直，可得，所以球的半径为，故球的表面积为.6【河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考】已知正三角形三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A B C D【答案】C【解析】设等边三角形的中心为，作出图像如下图所示. 根据题意可知，当截面直径为时，截面的面积最小.,.所以最小截面面积为.故选C.7【河北省唐山市2018届高三上学期期末考试】在三棱椎中，底面是等边三角形，侧面
12、是直角三角形，且，当三棱椎表面积最大时，该三棱椎外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，由条件可得等边三角形的边长为，且，所以，设，则三棱锥的表面积为 ，故当，即时，表面积最大值，此时，所以取的中点，连，则，故点为三棱椎外接球的球心，且球半径所以该三棱椎外接球的表面积为选A8【湖南省邵阳市2019届高三上学期10月大联考】已知三棱锥底面的3个顶点在球的同一个大圆上，且为正三角形，为该球面上的点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )A B C D【答案】B【解析】正三棱锥PABC的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上因为题目中涉及
13、到体积最大值，故ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，设为R，底面三角形的边长设为a，由正弦定理得到，三角形的面积为，椎体的体积为 则球O的表面积是4R2=44=16故答案为：BK9【2019贵州省贵阳市高三模拟】在四棱锥中，四条侧棱长均为2，底面为正方形，为的中点，且，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A B C D【答案】A【解析】设四棱锥底面棱长为，为的中点，且，则，则，解得：，则正方形的外接圆半径，棱锥的高，设棱锥外接球的半径为，则，解得：，故棱锥的外接球的表面积，故选：A10【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期末考试】已知点 在
14、同一个球面上， ，若四面体体积的最大值为 10，则这个球的表面积是A B C D【答案】B【解析】由，可知，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，可得，在中，得，球的表面积为，故选B.11. 【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三上学期期末】在三棱锥中，,是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）A B C D【答案】D【解析】在中，线段长度最小值为,则线段长度最小值为,即A到BC的最短距离为1,则为等腰三角形,的外接圆半径为设球心距平面ABC的高度为h则,
15、学_则球半径则三棱锥的外接球的表面积是故选D13. 【福建省龙岩市2018-2019学年第一学期期末高三教学质量检查】在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D来源:【答案】D【解析】14. 【四川省乐山四校2019届第三学期半期联考】如图，在等腰梯形中， , 为中点.将与分别沿、折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）学-A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知，折叠所得的几何体是一个棱长为1的正四棱锥，将其放入正方体如图所示，由题意可得，该三棱锥的外接球直径为： ，外接球的体积： .本题选择C选项.15. 【福建省宁德市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测】已知正六棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】A【解析】来源:Zxxk.Com底面为正六边形，度数为，故每个角为，所以，所以底面面积所以体积，解得结合题意可知，设球半径为R，则，对于三角形OCN，结合勾股定理，得到，所以面积为,故选A。
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