1、专题一 “四招”判断函数零点个数函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.【典型例题】第一招 应用函数性质，判定函数零点个数例1.已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为（ ）A. 2020 B. 2016 C. 1010 D. 1008【答案】A
2、【解析】当时，函数与函数图象有个交点由知，当时函数与函数图象有个交点故函数的零点个数为故选.第二招 数形结合，判定函数零点个数例2.【2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在上的函数满足，且时， ； 时， . 令，则函数的零点个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y=f（x）在x6，2，y=x+2的图象，y=f（x）在x6，2，y=x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个故选：B第三招 应用
3、零点存在性定理，判定函数零点个数例3.【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）讨论在上的零点个数.【答案】（1）见解析；（2）见解析当时，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）设，则由（1）知当时，即，当时，在单调递减，当，即，时，在上恒成立，当时，在内无零点.当，即，时，根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，在内单调递减，此时，在有一个零点.当时，即，当时，在单调递增，.当，即时，根据零点存在性定理，此时，在内有零点.在内单调递增，此时，在有一个零点.当时，此时，在无零点.当时，即，当时，；当时，；则在单调递减，在单
4、调递增.在上恒成立，此时，在内无零点.综上所述：当时，在内有1个零点；当时，在有一个零点；当时，在无零点.第四招 构造函数，判定函数零点个数例4【山东省菏泽市2019届高三上学期期末】已知函数f（x）lnx+1，aR.（1）当a0时，若函数f（x）在区间1，3上的最小值为，求a的值；（2）讨论函数g（x）f（x）零点的个数.【答案】（1）；（2）详见解析.f（x）minf（a）lna，令，得.当a3时，f（x）0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在1，3上为减函数，令得a43ln32（舍去）.综上知.（2）函数，令g（x）0，得.设，当x（0，1）时，（x）0，此时（x）在（0，1）上单调递增
5、，当x（1，+）时，（x）0，此时（x）在（1，+）上单调递减，所以x1是（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是（x）的最大值点，（x）的最大值为.又（0）0，结合（x）的图象可知：当时，函数g（x）无零点；当时，函数g（x）有且仅有一个零点；当时，函数g（x）有两个零点；a0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上所述，当时，函数g（x）无零点；当或a0时，函数g（x）有且仅有一个零点；当时，函数g（x）有两个零点.【规律与方法】函数零点个数的求解与判断：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还
6、必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等. 【提升训练】1【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足A对任意，恰有一解 B对任意，恰有两个不同解C存在，有三个不同解 D存在，无解【答案】A【解析】当时，时，；时，在上递减，在上递增，在上递增，又x大于
7、0趋近于0时，也大于0趋近于0；x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解故选：A2【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是( )A函数在上为单调递增函数B是函数的极小值点C函数至多有两个零点D时，不等式恒成立【答案】D若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，若，则函数没有零点，故正确；由在递减，则在递减，由，得时，故，故，故错误,故选D3.已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，则关于的函数的零点的个数为（ ）A0 B1 C2 D0或2【答案】A4【新疆乌鲁木
8、齐市2019届高三一模】已知函数.（）若的图像在点处的切线与直线平行，求的值；（）若，讨论的零点个数.【答案】（）（）1个【解析】（）函数，导数为，图象在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得；（）若，可得，由，可得（舍去），即的零点个数为；若，由，即为，可得，设，当时，递减；当时，递增，可得处取得极大值，且为最大值，的图象如图：由，即，可得和的图象只有一个交点，即时，的零点个数为，综上可得在的零点个数为.5【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x0，aR）（）讨论函数f（x）的单调性；（）求证：当a0时，曲线y=f（x）上任意
9、一点处的切线与该曲线只有一个公共点【答案】（）见解析；（）见解析【解析】（）f（x）=+2ax-1=（x0），设g（x）=2ax2-x+1（x0），（1）当0a时，g（x）在（0，），（，+）上大于零，在（，）上小于零，所以f（x）在（0，），（，+）上递增，在（，）上递减，（2）当a时，g（x）0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），所以f（x）在（0，+）上单调递增，（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+）上小于零，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减，（4）当a0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+）上小于零，所以f（x）在（0，）上递增，在
10、（，+）上递减；（）曲线y=f（x）在点（t，f（t）处的曲线方程为：y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，曲线方程和y=f（x）联立可得：lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x0），h（x）=，当a0时，在（0，t）h（x）0，在（t，+）h（x）0，故h（x）在（0，t）递增，在（t，+）递减，又h（t）=0，故h（x）只有唯一的零点t，即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t）6【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数，.（）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由
11、？来源:（）讨论函数的零点个数.【答案】()存在；()详见解析.【解析】（），则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，因为，所以存在切线斜率，使得，所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.（），来源:Z&X&X&K当，有；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.7【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知，其中，为自然对数的底数若函数的切线l经过点，求l的
12、方程；若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论【答案】；见解析判断：函数的零点个数是0，下面证明恒成立，故，若在递减，则，因此，要证明对恒成立，只需证明对恒成立，考虑等价于，记，先看，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，再看，.令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，.，且两个函数的极值点不在同一个x处，故对恒成立，综上，对恒成立，故函数函数零点是0个8.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一)】已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：当且时，只有一个零点.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增当时
13、，由得，由得或，在单调递减，在和单调递增令，当时，故在单调递增，所以，在单调递增，所以，因此因为在单调递增，所以在有唯一零点所以只有一个零点.综上，当且时，只有一个零点9【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数求的单调区间和极值；当时，证明：对任意的，函数有且只有一个零点【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：函数的定义域为，当时，在定义域上单调递增，无极值；当时，由，得，当时，得的单调递增区间是；当时，得的单调递减区间是，故的极大值为，无极小值由，得，当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递减，所以，于是，则在上单调递减设，则，由，得，当时，则在上单调递减；当时，
14、则在上单调递增，所以，即当时，所以当时，对任意的，有当时，有；当时，有，又在上单调递减，所以存在唯一的，有；当时，有，来源:当时，有，又在上单调递减，所以存在唯一的，有，综上所述，对任意的，方程有且只有一个正实数根，来源:Z.X.X.K即函数有且只有一个零点10【2019届高三第一次全国大联考】已知函数（其中）（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的极值点；（3）讨论函数零点的个数【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减；（2）函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和；（3）详见解析.（2）先考虑时的情况，当时，则 ；所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增又因为函数的
15、图象关于直线对称，所以在和上单调递减，在和上单调递增所以函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和令，则 由，解得；由，解得，所以在上递增，在上递减，所以，当时，注意到，知此时在上单调递减，在上单调递增，且，这表明的图象与轴相切，所以此时函数在上只有1个零点，且为；当或时，又当或时，所以此时函数在上有2个零点，一个零点是，另一个零点在区间或内又由函数的图象关于直线对称，综上可得，当或时，函数有2个零点；当或时，函数有4个零点11【2019年四川省达州市高考一诊】已知，函数，求证：；讨论函数零点的个数【答案】（1）见解析；（2）见解析解：，方程有两个不相等的实根，分别为，且，当时，递减，当时，递增
16、，即，设，则，是减函数，当，即时，函数只有一个零点，当，即时，函数没有零点，当，即时，且，由知，若，则有，函数有且只有一个大于的零点，又，即函数在区间有且只有一个零点，综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，当时，函数没有零点12【北京延庆区2019届高三一模】已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）当时，求函数在上区间零点的个数.【答案】（1）（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减（3）见解析【解析】（1）当时， ，,，切点，所以切线方程是.（2）， 令，、及的变化情况如下0增减所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（3）由（2）可知的最大
17、值为, （1）当时，在区间单调递增，在区间上单调递减.由，故在区间上只有一个零点 .（2）当时，,且 .因为，所以，在区间上无零点.综上，当时，在区间上只有一个零点，当时，在区间上无零点.13【广东省江门市2019届高考模拟（第一次模拟)】设函数，是自然对数的底数，是常数（1）若，求的单调递增区间；（2）讨论曲线与公共点的个数【答案】（1）的单调递增区间为（或）；（2）或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点 .（I）时，有一个零点 .(II)时，由解得，当时，；当时，在取最小值 ,时，有一个零点.时，无零点 .时，由知，在有一个零点，即在有一个零点；由指数函数与
18、幂函数单调性比较知，当且充分大时，所以在有一个零点，即在有一个零点从而有两个零点 .（III）时，单调递减，所以在有一个零点，从而在定义域内有一个零点 .（IIII）时，无零点 .14【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，）来源:Zxxk.Com【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由，得，令，所以，所以当时，恒成立，即恒成立，所以单调递增；即，所以单调递减；当时，即，所以单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.（2）当时，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且 ，当时，函数有极小值，且 .又因为，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.23
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