1、2018-2019学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）直线x+y+10的倾斜角为（）ABCD2（5分）若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（）A平行B异面C相交D以上皆有可能3（5分）经过点P（1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（）A0条B1条C2条D3条4（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成角的大小为（）ABCD或5（5分）已知圆C：x2+y24，直线l：y1k（x+1），则直线l与圆C的位置关系（）A相离B相切C相交D以上
2、皆有可能6（5分）在ABC中，三条边分别为a，b，c，若a4，b5，c6，则三角形的形状（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定7（5分）a，b，c表示直线，表示平面，下列命题正确的是（）A若ab，a，则bB若ab，b，则aC若ac，bc，则abD若a，b，则ab8（5分）已知ABC中，ABAC2，ABAC，将ABC绕BC所在直线旋转一周，形成几何体K，则几何体K的表面积为（）ABCD9（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B（）ABCD或10（5分）若点P在圆（x1）2+y21上运动，Q（m，m1），则PQ的最小值为（）ABCD11（5分）在ABC中，已知A
3、B2，AC1，A的平分线AD1，则ABC的面积（）ABCD12（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P在圆C：（x8）2+y216上运动，A（6，0），B（6，1），则PB+2PA的最小值为（）AB6C4+D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）某学校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查，则应抽取的女学生人数为 14（5分）如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD的高度（建筑物CD垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定A，B两点，其距离为100米，然后在A处测得DAB60，在B处测得
4、DBA75，DBC30，则此建筑物CD的高度为 米15（5分）已知圆O：x2+y21和直线l：y2，P（x0，2）是直线l上一点，若圆O上存在A，B两点，满足，则实数x0的取值范围是 16（5分）如图，棱长为1（单位：cm）的正方体木块经过适当切割，得到几何体K，已知几何体K由两个底面相同的正四棱锥组成，底面ABCD平行于正方体的下底面，且各顶点均在正方体的面上，则几何体K体积的取值范围是 （单位：cm3）三、解答题（本大题共6小题，计70分应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，平面A1BC1平面BCC1B1，证明：（1）AC平面
5、A1BC1；（2）平面AB1C平面A1BC118（12分）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A（1，2）和C（5，4），AB所在直线的方程为xy+30，（1）求对角线BD所在直线的方程；（2）求AD所在直线的方程19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求cosA；（2）求c的值20（12分）某单位开展“党员在线学习”活动，统计党员某周周一至周日（共7天）学习得分情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况：党员甲学习得分情况日期周一周二周三周四周五周六周日得分10253013353125党员乙学习得分情况日期周一周二周三周四周五周六周日得分3526152025
6、1730（1）求本周党员乙周一至周日（共7天）学习得分的平均数和方差；（2）从本周周一至周日中任选一天，求这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25分的概率；（3）根据本周某一天的数据，将全单位80名党员的学习得分按照10，15），15，20），20，25），25，30），30，35进行分组、绘制成频率分布直方图（如图），已知这一天甲和乙学习得分在80名党员中排名分别为第30和第68名，请确定这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（直接写结果，不需要过程）21（12分）如图，已知圆C：x2+y24与x轴的左右交点分别为A，B，与y轴正半轴的交点为D，（1）若直线l过点（2，4）并且与圆C相切，
7、求直线l的方程；（2）若点M，N是圆C上第一象限内的点，直线AM，AN分别与y轴交于点P，Q，点P是线段OQ的中点，直线MNBD，求直线AM的斜率22（12分）如图，在平面凸四边形ABCD中（凸四边形指没有角度数大于180的四边形），AB2，BC4，CD5，（1）若B120，求AD；（2）已知AD3，记四边形ABCD的面积为S，求S的最大值；若对于常数，不等式S恒成立，求实数的取值范围（直接写结果，不需要过程）2018-2019学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）
8、直线x+y+10的倾斜角为（）ABCD【分析】直线的斜率等于，设它的倾斜角等于 ，则 0，且 tan，求得 值，即为所求【解答】解：直线的斜率等于，设它的倾斜角等于 ，则 0，且 tan，故选：B【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，得到 tan，是 解题的关键2（5分）若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（）A平行B异面C相交D以上皆有可能【分析】根据题意画出图形，结合图形说明两条直线的位置关系【解答】解：平面、相交，如图所示；则a，b，ab；又a，c，a、c异面；c，d，c、d相交；所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可
9、能异面，也可能相交故选：D【点评】本题考查了空间中两条直线的位置关系应用问题，是基础题3（5分）经过点P（1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（）A0条B1条C2条D3条【分析】对截距分类讨论，可得直线方程【解答】解：直线经过原点时，可得直线方程为：y3x直线不经过原点时，可设直线方程为：x+ya把点P（1，3）代入可得：1+3a，可得a4可得直线方程为：x+y4综上可得：满足条件的直线方程有两条故选：C【点评】本题考查了直线的截距式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成角的大小为（）ABCD或【分
10、析】连结A1C1，A1B，则ACA1C1，A1C1B是异面直线AC与BC1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC与BC1所成角的大小【解答】解：连结A1C1，A1B，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACA1C1，A1C1B是异面直线AC与BC1所成角（或所成角的补角），A1BBC1A1C1，A1C1B，异面直线AC与BC1所成角的大小是故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养5（5分）已知圆C：x2+y24，直线l：y1k（x+1），则直线l与圆C的位置关系（）A相离B相切C相交D以上皆有可能【分析】利用直线l经过圆内
11、的定点可得相交【解答】解：因为直线l过定点（1，1），且定点（1，1）在圆C：x2+y24内，所以直线l与圆C相交故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题6（5分）在ABC中，三条边分别为a，b，c，若a4，b5，c6，则三角形的形状（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定【分析】由已知利用余弦定理可求三角形最大值的余弦值，利用余弦函数的性质判断角的范围即可得解【解答】解：a4，b5，c6，c为三角形最大边，C为三角形最大角，由余弦定理可得：cosC0，C为锐角，可得三角形为锐角三角形故选：A【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键
12、，属于基础题7（5分）a，b，c表示直线，表示平面，下列命题正确的是（）A若ab，a，则bB若ab，b，则aC若ac，bc，则abD若a，b，则ab【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理即可判断出位置关系，判断A；利用线面垂直的性质定理判断B，D；若ac，bc，则a与b平行、相交、异面都有可能，可判断C【解答】解：对于A，ab，a与b可以确定平面若，则b；若l，a平面，al取l为b，则b，故A不正确；对于B，因为直线ab，直线b，所以若a，则a，或者a，故B不正确；对于C，若ac，bc，则a与b平行、相交、异面都有可能，故不正确；对于D，若a，b，利用线面垂直的性质定理可得ab，正确故选：D
13、【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间的位置关系的定义，几何特征及判定方法是解答的关键8（5分）已知ABC中，ABAC2，ABAC，将ABC绕BC所在直线旋转一周，形成几何体K，则几何体K的表面积为（）ABCD【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积SRL计算公式可得【解答】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中若L2，RS2224故选：B【点评】本题考查旋转体的定义，圆锥的侧面积计算公式9（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B（
14、）ABCD或【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合B的范围可求B的值【解答】解：，由正弦定理，可得：，解得：sinB，ba，B（，），B，或故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理是解题的关键，属于基础题10（5分）若点P在圆（x1）2+y21上运动，Q（m，m1），则PQ的最小值为（）ABCD【分析】由Q的坐标可得点Q在直线x+y+10上，再由圆心到直线的距离减去半径得答案【解答】解：由Q（m，m1），设xm，ym1，得yx1即点Q在直线x+y+10上，由点P在圆（x1）2+y21上运动，则PQ的最小值为故选：B【点评】本题考查参数方程的应用，考查
15、点到直线的距离公式的应用，是基础题11（5分）在ABC中，已知AB2，AC1，A的平分线AD1，则ABC的面积（）ABCD【分析】根据角平线的性质，可设BD2x，CDx，然后结合余弦定理列方程解之即可得解BC的值，由余弦定理可求cosA的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，根据三角形的面积公式即可求解【解答】解：因为AD是A的平分线，所以，不妨设BD2x，CDx，结合已知得cosBADcosCAD，由余弦定理得：，解得x，负值舍去，所以BC3x所以cosA，可得sinA，所以SABCABACsinA故选：D【点评】本题考查了解三角形的有关知识和方法，解题的关键是角平分线的性质以及利用两
16、个角相等结合余弦定理列出方程求解，属于中档题12（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P在圆C：（x8）2+y216上运动，A（6，0），B（6，1），则PB+2PA的最小值为（）AB6C4+D【分析】根据圆C的方程变形可得2，|PO|2|PA|，即圆C上的动点P到原点O的距离是动点P到A的距离的2倍，|PB|+2|PA|PB|+|PO【解答】解：由圆C：（x8）2+y216，得x2+y216x+480，得x2+y24x2+4y248x+144，得2，|PO|2|PA|，即圆C上的动点P到原点O的距离是动点P到A的距离的2倍，|PB|+2|PA|PB|+|PO|BO|当且仅当P在线段OB上取等号
17、故选：A【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）某学校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查，则应抽取的女学生人数为60【分析】根据题意计算出抽样比，乘以女生人数即可【解答】解：依题意，全校师生共有300+1500+12003000人，抽取150人的样本，所以抽样比为，所以应抽取的女学生人数为120060人，故答案为：60【点评】本题考查了分层抽样，分层抽样为随机抽样，所以各层的抽样比是相等的，且与样本容量与总体容量的比值相等本题属于基础题14（
18、5分）如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD的高度（建筑物CD垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定A，B两点，其距离为100米，然后在A处测得DAB60，在B处测得DBA75，DBC30，则此建筑物CD的高度为米【分析】根据题意，利用正弦定理求得BD的长，再由直角三角形的边角关系求出CD的值【解答】解：ABD中，AB100，DAB60，DBA75，ADB45，由正弦定理得，解得BD50；在RtBCD中，DBC30，CDBD25，即楼高CD为25米故答案为：25【点评】本题考查了解三角形的实际应用问题，是基础题15（5分）已知圆O：x2+y21和直线l：y2，P（x0，2）是直线l上一
19、点，若圆O上存在A，B两点，满足，则实数x0的取值范围是（，），【分析】设A（x1，y1），由得B（2x1x0，2y12），将A，B的坐标代入圆O，并联立消去平方项，根据点到直线的距离小于等于1可解得【解答】解：设A（x1，y1），由得B（2x1x0，2y12），将A，B的坐标代入圆O得x12+y121，（2x1x0）2+（2y12）21，以上两式联立消去平方项可得4x1x08y1+x02+70，由圆心到直线的距离公式得1，解得x025，x0故答案为：（，）【点评】本题考查了直线与圆的为关系，属中档题16（5分）如图，棱长为1（单位：cm）的正方体木块经过适当切割，得到几何体K，已知几何体K由
20、两个底面相同的正四棱锥组成，底面ABCD平行于正方体的下底面，且各顶点均在正方体的面上，则几何体K体积的取值范围是（单位：cm3）【分析】推导出两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，截面面积是不固定的，取值范围是：，1），由此能求出该儿何体的体积取值范围【解答】解：两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放在棱长为1的正方体内，各顶点均在正方体的面上，且正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一面平行，两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，截面面积是不固定的，取值范围是：，1），该儿何体的体积取值范围是：，故答案为：【点评】本题考查几何体体积的求法，
21、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（本大题共6小题，计70分应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，平面A1BC1平面BCC1B1，证明：（1）AC平面A1BC1；（2）平面AB1C平面A1BC1【分析】（1）根据三棱柱的结构特征，利用ACA1C1证明AC平面A1BC1；（2）根据题意证明四边形BCC1B1为菱形，得出B1CBC1，再由平面A1BC1平面BCC1B1得出B1C平面A1BC1，从而证明平面AB1C平面A1BC1【解答】证明：（1）ABCA1B1C1为三棱柱，四边形AC
22、C1A1为平行四边形，ACA1C1，又A1C1平面A1BC1，AC平面A1BC1，AC平面A1BC1；（2）三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，BCCC1，四边形BCC1B1为菱形，B1CBC1，又平面A1BC1平面BCC1B1，且平面A1BC1平面BCC1B1BC1，B1C平面BCC1B1，B1C平面A1BC1，B1C平面AB1C，平面AB1C平面A1BC1【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与证明能力，是中档题18（12分）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A（1，2）和C（5，4），AB所在直线的方程为xy+30，（1）求对角线B
23、D所在直线的方程；（2）求AD所在直线的方程【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形求出AC的中点和斜率，从而求得BD的斜率和直线方程；（2）由直线AB和BD求点B，再根据对称求出点D，利用直线AC和AB求得点A，再写出直线AD的方程【解答】解：（1）如图所示，菱形ABCD的顶点A（1，2）和C（5，4），所以AC的中点M（2，3），直线AC的斜率为kAC，BD的斜率为kBD3，所以直线BD的方程为：y33（x2），即3x+y90；（2）由直线AB的方程和直线BD的方程联立，得，解得，即点B（，）；设点D（a，b），则2，3，解得a，b，所以点D（，）；又直线AC的方程为y3（x2），即x3y
24、+70，与直线AB的方程联立，得，解得，即点A（1，2）；所以直线AD的斜率为kAD，方程为y2（x+1），即x+7y130【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求cosA；（2）求c的值【分析】（1）由已知利用正弦定理，二倍角公式可求cosA的值（2）方法1：ABC中，由余弦定理可得2c25c+20，解得c的值；方法2：利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用倍角公式可求sinB，cosB的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据正弦定理可求c的值【解答】解：，所以，所以（2）方法1：AB
25、C中，由余弦定理得a2b2+c22bccosA，而，所以2c25c+20，解得：，当；当，检验符合要求，所以方法2：在ABC中，因为：，所以：，所以：，所以：，在ABC中，即，解得：【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20（12分）某单位开展“党员在线学习”活动，统计党员某周周一至周日（共7天）学习得分情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况：党员甲学习得分情况日期周一周二周三周四周五周六周日得分10253013353125党员乙学习得分情况日期周一周二周三周四周五周六
26、周日得分35261520251730（1）求本周党员乙周一至周日（共7天）学习得分的平均数和方差；（2）从本周周一至周日中任选一天，求这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25分的概率；（3）根据本周某一天的数据，将全单位80名党员的学习得分按照10，15），15，20），20，25），25，30），30，35进行分组、绘制成频率分布直方图（如图），已知这一天甲和乙学习得分在80名党员中排名分别为第30和第68名，请确定这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（直接写结果，不需要过程）【分析】（1）利用平均数、方差公式计算可得本周党员乙周一至周日（共7天）学习得分的平均数和方差；（2）列举符合要
27、求的基本事件，利用古典概型定义可得答案；（3）由频率分布直方图推导区间得分人数和分数对比可得答案【解答】解：（1）平均数；方差；（2）共有7个等可能基本事件：“周一甲10乙35；周二甲25乙26；周三甲30乙15；周四甲13乙20；周五甲35乙25；周六甲31乙17；周日甲25乙30“记“从周一至周日中任选一天，这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25”为事件A则事件A中包含的基本事件有3个：“周二甲25乙26；周五甲35乙25；周日甲25乙30”所以：P（A），答：“从周一至周日中任选一天，这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25”的概率为；（3）周三由直方图知，学习得分落在30，35，25
28、，30），20，25），15，20），10，15）区间内的人数依次为800.1512人，800.2520人，800.324人，800.216人，800.18人由甲学习得分排名第30，可知当天甲学习得分在2530之间，根据表格知，这只有周二、周三和周日；而由乙学习得分排名第68，可知当天乙学习得分在1520之间，根据表格知，这只有周三和周六，所以周三符合要求【点评】本题考查由频数分布表求平均数、方差，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题21（12分）如图，已知圆C：x2+y24与x轴的左右交点分别为A，B，与y轴正半轴的交点为D，（1）若直线l过点（2，4）并且与圆C相切，求直线
29、l的方程；（2）若点M，N是圆C上第一象限内的点，直线AM，AN分别与y轴交于点P，Q，点P是线段OQ的中点，直线MNBD，求直线AM的斜率【分析】（1）根据相切得dr，即2，可得（2）联立方程组解得M，N的坐标，再根据平行得斜率相等，可解得k【解答】解：（1）当斜率不存在时，直线x2满足要求；当斜率存在时，设切线方程为y4k（x2），即kxy+42k0，则由相切得dr，即2，解得k综上得：切线方程为x2或3x4y+100（2）显然直线AM的斜率存在，故设直线AM的方程为yk（x+2），（k0），由消去y得（1+k2）x2+4k2x+4k240，因为xA2，所以，代入yk（x+2），得，所以在
30、yk（x+2）中，令x0，得yP2k，而点P是线段OQ的中点，所以yQ4k所以直线AN的斜率在点中，用2k代k，得所以，因为MNBD，所以kBD1，即，即2k2+3k10，又k0，所以解得【点评】本意考查了直线与圆的位置关系，属中档题22（12分）如图，在平面凸四边形ABCD中（凸四边形指没有角度数大于180的四边形），AB2，BC4，CD5，（1）若B120，求AD；（2）已知AD3，记四边形ABCD的面积为S，求S的最大值；若对于常数，不等式S恒成立，求实数的取值范围（直接写结果，不需要过程）【分析】（1）由余弦定理得AC的值，在ACD中，由余弦定理即可解得AD的值（2）在ABC中，由余弦
31、定理得AC22016cosB，在ACD中，由余弦定理得AC23430cosD，可得15cosD8cosB7，利用三角形的面积公式可得，可求4S2+49225+64240cos（B+D），利用余弦函数的性质可求S26060cos（B+D）120由于S26060cos（B+D），可求B+D（，+），令S2f（x）6060cosx，则f（x）在（，）上递增，在（，+）上递减，并且f（）84，f（+）56，f（）120，可求S2f（x）（56，120，即，可得【解答】解：（1）在ABC中，AB2，BC4，B120，所以由余弦定理得，在ACD中，所以由余弦定理得，即，解得AD3（2）在ABC中，由余弦定
32、理得AC22016cosB，在ACD中，由余弦定理得AC23430cosD，所以2016cosB3430cosD，即15cosD8cosB7，而面积，所以4S2+49225+64240cos（B+D），即S26060cos（B+D），所以S26060cos（B+D）120，所以当B+D时，即，时，四边形ABCD面积的最大值为，提示：S26060cos（B+D），下面研究B+D的范围当D增大时，AC增大，从而B随之增大，所以，当A，B，C趋于共线时，B+D趋于+，其中钝角满足；当D减小时，AC减小，从而B随之减小，所以，当A，B，D趋于共线时，B+D趋于，其中锐角满足，所以B+D（，+），令S2f（x）6060cosx，则f（x）在（，）上递增，在（，+）上递减，并且f（）84，f（+）56，f（）120，所以S2f（x）（56，120，即，所以【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，余弦函数的性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
浙公网安备33030202001339号