1、2018-2019学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（4分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|x2，则AB中元素的个数为 2（4分）2lg2+lg25 3（4分）函数的定义域为 4（4分）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，y），若sin，则实数y的值为 5（4分）已知向量（3，2），（cos，sin），若，则tan 6（4分）若扇形的圆心角为2rad，面积为4cm2，则该扇形的半径为 cm7（4分）已知函数，则的值为 8（4分）设a0.23
2、，b30.2，clog0.32，则a，b，c的大小关系用“”连接为 9（4分）若二次函数f（x）mx2+xm在区间（，l）上是单调増函数，则实数m的取值范围是 10（4分）若，tan3，则tan 11（4分）已知函数f（x）loga（x3）+2（a0，a1）的图象恒过定点P，若幂函数g（x）x的图象经过点P，则g（2）的值为 12（4分）在ABC中，已知AC6，A60，点D满足，且AD，则AB边的长为 13（4分）已知函数，下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）函数f（x）的图象关于直线对称；函数f（x）在区间，上是单调增函数；若函数f（x）的定义域为（0，），则值域为（，1；函数f（
3、x）的图象与的图象重合14（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）f（x），当x（0，1时，f（x）1|2x1|，则函数g（x）f（x）sin（x1）在区间1，3内的所有零点之和为 二、解答题（本大题共6小题，共计64分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（10分）已知向量（3，2），（1，2）（1）求的值；（2）若与共线，求实数k的值16（10分）设全集UR，函数的定义域为集合A，函数g（x）ex+2的值域为集合B（1）求U（AB）；（2）若集合Cx|x+a0，满足BCC，求实数a的取值范围17（10分）如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O
4、距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩夭轮上的点P的起始位置在最低点处（1）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）Asin（t+）+B，其中A0，0，求f（t）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？18（10分）已知向量（2sinx，1），（，1），函数（1）求函数f（x）的最小正周期和它的单调增区间；（2）当x，时，若，求的值19（12分）已知函数f（x）sin2x+a（sinx+cosx），aR（1）当a1时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）在0，上的最大值为3，求实数a的值20（12分）已知函数是奇函数（1
5、）求实数m，n的值；（2）若函数f（x）的定义域为R判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；是否存在实数t，使得关于x的不等式在2，2上有解？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由2018-2019学年江苏省常州市教育学会高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（4分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|x2，则AB中元素的个数为3【分析】直接利用交集运算得AB，然后可查个数【解答】解：集合B表示小于2的一切实数，AB1，0，1，AB中元素的个数为3故答案为：3【点评】此题考查了交
6、集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（4分）2lg2+lg252【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解【解答】解：2lg2+lg25lg4+lg25lg1002故答案为：2【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用3（4分）函数的定义域为（0，3【分析】直接利用对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0，联立不等式组求解即可【解答】解：由，解得0x3函数的定义域为（0，3故答案为：（0，3【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题4（4分）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P
7、（3，y），若sin，则实数y的值为4【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得y的值【解答】解：角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，y），若sin，则实数y4，故答案为：4【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题5（4分）已知向量（3，2），（cos，sin），若，则tan【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可得出3cos2sin，从而可求出tan的值【解答】解：；3cos2sin；故答案为：【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，弦化切公式6（4分）若扇形的圆心角为2rad，面积为4cm2，则该扇形的半径为2cm【分析
8、】由题意根据扇形的面积得出结果【解答】解：设扇形的圆心角大小为（rad），半径为r，由题意可得：扇形的面积为：Sr2，可得：4，解得：r2故答案为：2【点评】此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用是解题的关键，属于基础题7（4分）已知函数，则的值为【分析】推导出f（）f（）sin（），由此能求出结果【解答】解：函数，f（）f（）sin（）sin故答案为：【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（4分）设a0.23，b30.2，clog0.32，则a，b，c的大小关系用“”连接为cab【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：0a0.23
9、0.201，b30.2301，clog0.32log0.310，则a，b，c的大小关系用“”连接为cab故答案为：cab【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（4分）若二次函数f（x）mx2+xm在区间（，l）上是单调増函数，则实数m的取值范围是，0）【分析】由二次函数f（x）mx2+xm在区间（，l）上是单调増函数，得到，由此能求出实数m的取值范围【解答】解：二次函数f（x）mx2+xm在区间（，l）上是单调増函数，解得，实数m的取值范围是，0）故答案为：，0）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的性质等基础知
10、识，考查运算求解能力，是基础题10（4分）若，tan3，则tan2【分析】直接利用两角差的正切函数公式求解即可【解答】解：，又tan3，解得tan2故答案为：2【点评】本题考查了两角差的正切函数公式，是基础题11（4分）已知函数f（x）loga（x3）+2（a0，a1）的图象恒过定点P，若幂函数g（x）x的图象经过点P，则g（2）的值为【分析】令真数为1，可得P点坐标，进而求出幂函数g（x）x的解析式，解得答案【解答】解：令x4，则f（4）loga（43）+22恒成立，故函数f（x）恒过（4，2）点，幂函数g（x）x的图象经过点P，则g（4）42，解得，故g（2），故答案为：【点评】本题考查的
11、知识点是对数函数的图象和性质，难度中档12（4分）在ABC中，已知AC6，A60，点D满足，且AD，则AB边的长为6【分析】可得+平方可得AB6【解答】解：+AB2+12AB1080，AB6或AB18（舍），故答案为：6【点评】本题考查了三角形中平面向量的基本定理，数量积运算，属于中档题13（4分）已知函数，下列结论中正确的是（写出所有正确结论的序号）函数f（x）的图象关于直线对称；函数f（x）在区间，上是单调增函数；若函数f（x）的定义域为（0，），则值域为（，1；函数f（x）的图象与的图象重合【分析】，求出f（）即可判定；，x，时，2x0，0，即可判定；，由x（0，），可得2x（，）即可得
12、值域；，sin（+2x）sin（2xcos（2x），即可【解答】解：对于，函数f（x）的图象关于直线对称，故正确；对于，x，时，2x0，0，函数f（x）在区间，上是单调减函数，故错；对于，若函数f（x）的定义域为（0，），2x（，）则值域为（，1，故错；对于，sin（+2x）sin（2xcos（2x），故正确故答案为：【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合性题目14（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）f（x），当x（0，1时，f（x）1|2x1|，则函数g（x）f（x）sin（x1）在区间1，3内的所有零点之和为5【分析】求
13、出函数f（x）的解析式及函数的周期，利用数形结合判断函数的图象的交点个数，即可求出所有零点之和【解答】解：f（x+2）f（x），函数f（x）是以2为周期的周期函数，f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）f（x），f（0）0当x（0，1时，f（x）1|2x1|，可得x1，0）时，x（0，1，f（x）1|2x1|1|2x+1|f（x），可得f（x）1+|2x+1|，g（x）f（x）sin（x1）0，分别画出yf（x）与ysin（x1）的在1，3上的图象，当x时，yf（x）1，g（）sin（）sin（）1，当x时，yf（x）1，g（1）sin（）sin（）1，结合图象可知，函数的交点有5个， 设这5
14、个零点分别为x1x2x3x4x5，其中x31，x1+x21，x3+x45故零点之和为1+1+55，故答案为：5【点评】本题考查函数的零点问题解法，考查数形结合以及计算能力，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共计64分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（10分）已知向量（3，2），（1，2）（1）求的值；（2）若与共线，求实数k的值【分析】（1）根据向量的坐标即可求出向量的坐标，从而求出；（2）可以求出，根据与共线即可得出10（2+2k）4（3k）0，解出k即可【解答】解：（1）；（2）；与共线；10（2+2k）4（3k）0；解得【点评】考查向量坐标的减法
15、、加法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系，根据向量坐标求向量长度的方法16（10分）设全集UR，函数的定义域为集合A，函数g（x）ex+2的值域为集合B（1）求U（AB）；（2）若集合Cx|x+a0，满足BCC，求实数a的取值范围【分析】（1）容易求出A1，3，B（2，+），然后进行交集、补集的运算即可；（2）可求出Cx|xa，根据BCC即可得出BC，从而得出a2，解出a的范围即可【解答】解：（1）解3+2xx20得，1x3；A1，3；ex0；ex+22；B（2，+）；AB（2，3；U（AB）（，2（3，+）；（2）Cx|xa；BCC；BC；a2；a2；实数a的取值范围为2，+）【点评】考查函
16、数定义域、值域的概念及求法，指数函数的值域，不等式的性质，以及交集、补集的运算，并集的定义，以及子集的定义17（10分）如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩夭轮上的点P的起始位置在最低点处（1）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）Asin（t+）+B，其中A0，0，求f（t）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？【分析】（1）由题意求出A、B和的值，结合周期求出的值，写出函数f（x）的解析式，（2）f（t）40cost+5070求出t的取值范围，再由t的区间端点值的差求得一圈中可以
17、得到P距离地面超过70m【解答】解：（1）由题意可得A40，B50，T10，f（t）40sin（t）+50，即f（t）40cost+50（2）由f（t）40cost+5070，得cost，2k+t2k+，kZ，解得10k+t10k+，（10k+）（10k+），故天轮转动的一圈内，有min点P距离地面超过70m【点评】本题考查了yAsin（x+）型函数解析式的求法与三角不等式的解法问题，是综合题18（10分）已知向量（2sinx，1），（，1），函数（1）求函数f（x）的最小正周期和它的单调增区间；（2）当x，时，若，求的值【分析】（1）根据向量数量积和三角变换将f（x）变成辅助角的形式后求出周
18、期可增区间；（2）先得到sin（2x+），cos（2x+），再将f（x）化成2sin（2x+）cos+cos（2x+）sin+1后代入可得【解答】解：（1）f（x）2sinx2cos（x+）+1+4sinx（cosxsinx）+1+sin2x（1cos2x）+1+2sin（2x+）+1所以T由2k2x+2k+，得 kxk+所以增区间为k，k+，kZ；（2）由f（x）得sin（2x+）因为x，所以 2x+，所以cos（2x+）f（x）2sin2x+12sin（2x+）+12sin（2x+）cos+cos（2x+）sin+12（）（）+1【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题19
19、（12分）已知函数f（x）sin2x+a（sinx+cosx），aR（1）当a1时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）在0，上的最大值为3，求实数a的值【分析】（1）令tsinx+cosx，求出t的范围，则f（x）g（t）t21+t，根据二次函数的性质即可求出函数的值域，（2）由x的范围，求出t的范围，则函数g（t）t2+at1的对称轴为t，分类讨论，即可求出a的值【解答】解：（1）令tsinx+cosxsin（x+），t21+2sinxcosx1+sin2x，当a1时，f（x）g（t）t21+t（t+）2，当t时，g（t）min，当t时，g（t）max1+，函数f（x）的值域为，1+
20、（2）当x0，时，x+，sin（x+），1，t1，函数g（t）t2+at1的对称轴为t，当时，即a1时，g（t）ming（1）a3，当时，即a1时，g（t）ming（）1+a3，解得a2（舍去），综上所述a的值为3【点评】本题考查了函数的函数的化简和二次函数的性质，考查了转化能力，属于中档题20（12分）已知函数是奇函数（1）求实数m，n的值；（2）若函数f（x）的定义域为R判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；是否存在实数t，使得关于x的不等式在2，2上有解？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由【分析】（1）由f（x）是奇函数，得f（x）f（x）恒成立，由此列式求得m，n的值；（2
21、）由f（x）的定义域为R，得，则f（x）f（x），可知f（x）是R上的单调减函数然后利用单调性定义证明；由，得，即f（1）f（t3x+1+3x+3t）f（1），再由单调性转化为1t3x+1+3x+3t1，整理可得，即在2，2上有解由单调性求得最值得答案【解答】解：（1）f（x）是奇函数，f（x）f（x）恒成立，由，整理得（3mn）（3x+3x）+（2mn6）0，解得：或；（2）f（x）的定义域为R，则f（x）f（x），f（x）是R上的单调减函数证明：任取x1，x2R，且x1x2，则：x1x2，则0，又0，0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）是R上的单调减函数；由，得即f（1）f（t3x+1+3x+3t）f（1）f（x）是R上的单调减函数，1t3x+1+3x+3t1，整理得：，即在2，2上有解又f（x）在2，2上单调递减，【点评】本题考查函数的性质及其应用，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，属中档题
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