1、2018-2019学年江苏省南通市海安高中创新班高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）1（5分）若集合Ax|5x2，Bx|x290，求AB（）Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x32（5分）已知m，nR，i是虚数单位，若（1+mi）（1i）n，则|m+ni|的值为（）A1BCD3（5分）若向量（0，2），（，1），则与2+共线的向量可以是（）A（，1）B（1，）C（，1）D（）4（5分）将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（）ABCD5（5分）设实数x，y满足的约束条件，则zx+y的取值范围是（）A1，1B1，2C1，3D0，46（5分）若函数为偶函
2、数，则下列结论正确的是（）Af（a）f（2a）f（0）Bf（a）f（0）f（2a）Cf（2a）f（a）f（0）Df（2a）f（0）f（a）7（5分）已知圆（x2）2+y29的圆心为C，过点M（2，0）且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（）A圆的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分8（5分）对于ABC，若存在A1B1C1，满足，则称ABC为“V类三角形”“V类三角形”一定满足（）A有一个内角为30B有一个内角为45C有一个内角为60D有一个内角为759（5分）已知的展开式中没有常数项，则n的最大值是（
3、）A6B7C8D910（5分）已知函数f（x）ex（xaex）恰有两个极值点x1，x2（x1x2），则a的取值范围是（）A（0，）B（1，3）C（，3）D（，1）二、填空题（每题5分，共30分）11（5分）学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为 （结果用数值表示）12（5分）若抛物线y22px（p0）的上一点M（1，m）到其焦点的距离为3，且抛物线的焦点是双曲线x2y2a2（a0）的右焦点，则p ，a 13（5分）已知数列an为等比数列，且a3a11+2a724，则tan（a1a13）的值为 14（5分）在ABC中，已知，P为线段AD上
4、的一点，且满足，若ABC的面积为，则的最小值为 15（5分）设函数f（x），若函数yf（x）a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 16（5分）设二次函数f（x）ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f（x）对任意xR，不等式f（x）f（x）恒成立，则的最大值为 三、解答题（共70分）17（10分）已知（cosx，1），（2sinx，1），设f（x）（1）求f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，已知A为锐角，f（），BC4，AB3，求sinB的值18（10分）如图，在三棱锥PABC中，PACBAC90，PAPB，点D，F分别为BC，AB的中点（1）求证：直线DF平面PAC；（2）求
5、证：PFAD19（12分）为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用H（万元）与隔热层厚度x（毫米）满足关系（0x10）设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（1）请解释H（0）的实际意义，并求f（x）的表达式；（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f（x）最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？20（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3（1）求椭圆C的方程；（2）
6、椭圆C上是否存在点P，使得过点P引圆O：x2+y2b2的两条切线PA、PB互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由21（13分）设函数f（x），给定数列an，其中a1a，an+1f（an）（nN*）（1）若an为常数数列，求a的值；（2）当a0时，探究+2能否是等比数列？若是，求出an的通项公式；若不是，说明理由；（3）设bn3nan，数列bn的前n项和为Sn，当a1时，求证：Sn4（n+2）（）n122（13分）已知函数f（x）aex，g（x）lnxlna，其中a为常数，且曲线yf（x）在其与y轴的交点处的切线记为l1，曲线yg（x）在其与x轴的交点处的切线记为l2，且l1l
7、2（1）求l1，l2之间的距离；（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；（3）对于函数f（x）和g（x）的公共定义域中的任意实数x0，称|f（x0）g（x0）|的值为两函数在x0处的偏差求证：函数f（x）和g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于22018-2019学年江苏省南通市海安高中创新班高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1（5分）若集合Ax|5x2，Bx|x290，求AB（）Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x3【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|5x2，Bx|x290x|3x3，ABx|3x2故选：
8、A【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）已知m，nR，i是虚数单位，若（1+mi）（1i）n，则|m+ni|的值为（）A1BCD【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得m，n的值，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由（1+mi）（1i）（1+m）+（m1）in，得，即m1，n2|m+ni|1+2i|故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题3（5分）若向量（0，2），（，1），则与2+共线的向量可以是（）A（，1）B（1，）C（，1）D（）【分析】可求出，从
9、而得出向量与共线【解答】解：；与共线故选：B【点评】考查向量坐标的加法和数乘运算，共线向量基本定理4（5分）将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（）ABCD【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式ysin（2x+）sin（2x+），故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题5（5分）设实数x，y满足的约束条件，则zx+y的取值范围是（）A1，1B1，2C1，3D0，4【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解函数的最值，即可推出结果【解答】解
10、：实数x，y满足的约束条件的可行域如图：可得A（1，2）；B（1，0），zx+y在B处取得最小值，在A处取得最大值；目标函数的最小值为：1，最大值为：3则zx+y的取值范围是：1，3故选：C【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力6（5分）若函数为偶函数，则下列结论正确的是（）Af（a）f（2a）f（0）Bf（a）f（0）f（2a）Cf（2a）f（a）f（0）Df（2a）f（0）f（a）【分析】先根据偶函数的定义求出a的值，然后根据单调性比较大小【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（1）f（1），即1+a2，所以a1，易知当x0时，f（x）是增函数，又知2aa0，所以f
11、（2a）f（a）f（0），故选：C【点评】本题考查分段函数的奇偶性与单调性，属于基础题7（5分）已知圆（x2）2+y29的圆心为C，过点M（2，0）且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（）A圆的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分【分析】根据题意可得PMPCBC3（定值），且3MC即可得点P的轨迹是双曲线的一部分【解答】解：可得圆（x2）2+y29的圆心为C（2，0），半径为R3如图，CBCAR3，CBACAB，ACMP，CBACABPMA，PMPBPC+BCPMPCBC3（定值），且3MC点P的轨迹
12、是双曲线的一部分，故选：C【点评】本题考查了动点根据的求解，考查了转化思想，属于中档题8（5分）对于ABC，若存在A1B1C1，满足，则称ABC为“V类三角形”“V类三角形”一定满足（）A有一个内角为30B有一个内角为45C有一个内角为60D有一个内角为75【分析】设等腰ABC中AB，由已知得sinA1sinB1，cosAsinA1，cosBsinB1，cosCsinC1，则A1B1，结合同角三角函数关系进行化简求值即可【解答】解：设AB，由已知得sinA1sinB1，cosAsinA1，cosBsinB1，cosCsinC1，则A1B1，所以A+A190，B+B190，C+C190，（舍），
13、或A+A190，B+B190，CC190，解得：C45故选：B【点评】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于基础题9（5分）已知的展开式中没有常数项，则n的最大值是（）A6B7C8D9【分析】先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项和负一次项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，再根据x的指数不能为0和1，求得n的最大值【解答】解：已知的展开式中没有常数项，的展开式中没有负一次项和常数项的展开式的通项公式为Tr+1xn3r，故n3r0，且n3r1，即n3r，且n3r+1，n3，6，9，且n2，5，8，故n的最大值为7，故选：B【点评】本题考查数学中的等价转
14、化的能力和利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项10（5分）已知函数f（x）ex（xaex）恰有两个极值点x1，x2（x1x2），则a的取值范围是（）A（0，）B（1，3）C（，3）D（，1）【分析】根据题意，对函数f（x）求导数，得出导数f（x）0有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围【解答】解：函数f（x）ex（xaex），f（x）（x+12aex）ex，由于函数f（x）的两个极值点为x1，x2，即x1，x2是方程f（x）0的两不等实根，即方程x+12aex0，且a0，ex；设y1（a0），y2ex，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；要
15、使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得0a，所以a的取值范围是（0，）故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目二、填空题（每题5分，共30分）11（5分）学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为（结果用数值表示）【分析】基本事件总数n10选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率【解答】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n10选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事
16、件个数m7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（5分）若抛物线y22px（p0）的上一点M（1，m）到其焦点的距离为3，且抛物线的焦点是双曲线x2y2a2（a0）的右焦点，则p4，a【分析】根据抛物线的定义得到1+3，求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的三个参数的关系求出a的值【解答】解：因为抛物线方程为y22px（p0），所以其准线方程为，因为抛物线y22px（p0）的上一点M（1，m）到其焦点的距离为3，所以1+3，所以p4所以抛物线的焦点为（2，0），因为抛物线的焦点是双曲线x
17、2y2a2（a0）的右焦点，所以a2+a24解得故答案为4；【点评】本题考查抛物线的定义；常利用该定义解决抛物线上到焦点的距离问题；考查双曲线中三个参数的关系，注意与椭圆中三个参数的关系的区别13（5分）已知数列an为等比数列，且a3a11+2a724，则tan（a1a13）的值为【分析】由等比数列an的性质可得，a3a11a1a13，由，可得即可得出tan（a1a13）【解答】解：由等比数列an的性质可得，a3a11a1a13，由，则tan（a1a13）tan故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）在ABC中，已知
18、，P为线段AD上的一点，且满足，若ABC的面积为，则的最小值为2【分析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值【解答】解A，P，D三点共线，即m，又，即CACB8故答案为：2【点评】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用15（5分）设函数f（x），若函数yf（x）a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是0，2）【分析】根据函数零点与方程和图象之间的关系，转化为函数f（x）与ya有两个不同的交点，作出图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：若函数yf（x）a有两个零点，得yf（x）a0，即f（x）a有
19、两个根，即函数f（x）与ya有两个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）2，则要使函数f（x）与ya有两个不同的交点，则0a2，即实数a的取值范围是0，2），故答案为：0，2）【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键16（5分）设二次函数f（x）ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f（x）对任意xR，不等式f（x）f（x）恒成立，则的最大值为22【分析】由已知可得ax2+（b2a）x+（cb）0恒成立，即（b2a）24a（cb）b2+4a24ac0，且a0，进而利
20、用基本不等式可得的最大值【解答】解：f（x）ax2+bx+c，f（x）2ax+b，对任意xR，不等式f（x）f（x）恒成立，ax2+bx+c2ax+b恒成立，即ax2+（b2a）x+（cb）0恒成立，故（b2a）24a（cb）b2+4a24ac0，且a0，即b24ac4a2，4ac4a20，ca0，故22，故答案为：22【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大三、解答题（共70分）17（10分）已知（cosx，1），（2sinx，1），设f（x）（1）求f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，已知A为锐角，f（），B
21、C4，AB3，求sinB的值【分析】（1）利用向量积表示出f（x），然后根据周期的公式得出答案（2）首先求出sinA进而判断A是锐角得出cosA的值，然后根据正弦定理求出sinC，进而根据同角三角函数的基本关系求出cosC，再由两角和与差的正弦公式求出sinBsin（A+C）【解答】解：（1）f（x）2cosxsinx+1sin2x+1Tf（x）的最小正周期是（2）f（）sinA+1sinAA为锐角cosA在ABC中，由正弦定理：sinCBCABACC也锐角 cosCsinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC+【点评】本题考查了正弦定理、三角函数周期性的求法以及向量积，解题过程
22、中要注意判断三角函数的符号，属于中档题18（10分）如图，在三棱锥PABC中，PACBAC90，PAPB，点D，F分别为BC，AB的中点（1）求证：直线DF平面PAC；（2）求证：PFAD【分析】（1）由三角形中位线定理得DFAC，由此能证明直线DF平面PAC （2）由ACAB，ACAP，得AC平面PAB，从而ACPF，再推导出PFAB，从而PF平面ABC，由此能证明ADPF【解答】证明：（1）点D，F分别为BC，AB的中点，DFAC，又DF平面PAC，AC平面PAC，直线DF平面PAC （6分）（2）PACBAC90，ACAB，ACAP，又ABAPA，AB，AP在平面PAB内，AC平面PAB
23、，（8分）PF平面PAB，ACPF，PAPB，F为AB的中点，PFAB，ACPF，PFAB，ACABA，AC，AB在平面ABC内，PF平面ABC，（12分）AD平面ABC，ADPF （14分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（12分）为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用H（万元）与隔热层厚度x（毫米）满足关系（0x10）设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费
24、用之和（1）请解释H（0）的实际意义，并求f（x）的表达式；（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f（x）最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论【解答】解：（1）H（0）8，H（0）的实际意义为不使用新型隔热材料时，每年的能源消耗费用为8万元f（x）的解析式为：（0x10）（2）f（x）+6x2（3x+5）1021070当且仅当2（3x+5）即x5时取等号厚度为5mm时，总费用最小70万元若不使用隔热材料，则20
25、年的能源消耗总费用为820160万元，故业主可节省90万元【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题20（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在点P，使得过点P引圆O：x2+y2b2的两条切线PA、PB互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）直接根据条件列出，解方程求出b，c即可得到椭圆C的方程；（2）先根据条件分析出AOBP为正方形，|AO|AP|，得到关于点P坐标的等式；再结合点P在椭圆上即可求出点P的坐标【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意 （3分）
26、b2，（4分）所求椭圆方程为 （5分）（2）设P点坐标为（x0，y0），依题意，APOBPO90，又APB90所以AOBP为矩形，又|BP|AP|，|BO|AO|所以AOBP为正方形，则有|AO|AP|（7分）即|OA| 有2两边平方得x02+y028（9分）又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以4x02+9y0236，联立解得， （11分）所以满足条件的有以下四组解，所以，椭圆C上存在四个点（），（，），（，），（，），分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直（14分）【点评】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题解决第二问的关键在于根据条件分析出AOBP为正方形，|AO|AP|，得到关于点P
27、坐标的等式21（13分）设函数f（x），给定数列an，其中a1a，an+1f（an）（nN*）（1）若an为常数数列，求a的值；（2）当a0时，探究+2能否是等比数列？若是，求出an的通项公式；若不是，说明理由；（3）设bn3nan，数列bn的前n项和为Sn，当a1时，求证：Sn4（n+2）（）n1【分析】（1）由于a1a，an为常数数列，得知af（a），将其代入f（x），从而求出a的值；（2）根据an+1f（an）取倒数化简得，再考虑首项是否为0分类讨论，它是否是等比数列（3）根据（2）得a1时，它是等比数列，从而求出an的通项公式，并放缩，得，令右式Tn，再用错位相减法化简右式得Tn，从而
28、得证【解答】解：（1）若an为常数数列，则ana，由an+1f（an），得af（a），（1分）f（x），即a2a（a+1）解得：a0或（2）f（x），an+1f（an），当a1a0时，an0，+2+2，（6分）当a时，由（1）知，不是等比数列（7分）当时，是以2为公比，以为首项的等比数列，（8分）， （9分）（3）当a1时，（10分）（11分）设则，由得：，（13分），所以（14分）【点评】此题考查等比数列的判断，关键在于其首项是否为0，比值是否为常数同时还考查了放缩法及数列求和的错位相减法22（13分）已知函数f（x）aex，g（x）lnxlna，其中a为常数，且曲线yf（x）在其与y轴的交
29、点处的切线记为l1，曲线yg（x）在其与x轴的交点处的切线记为l2，且l1l2（1）求l1，l2之间的距离；（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；（3）对于函数f（x）和g（x）的公共定义域中的任意实数x0，称|f（x0）g（x0）|的值为两函数在x0处的偏差求证：函数f（x）和g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2【分析】（1）求出函数的导数，结合题意求出a的值，求出f（x），g（x）的解析式，求出平行线间的距离即可；（2）令h（x）xex，问题转化为mh（x）max，求出m的范围即可；（3）法一：令F（x）|f（x）g（x）|exlnx，x（0，+），求出函数的导数，根据函数
30、的单调性求出F（x）的最小值，证明即可；法二：令F（x）|f（x）g（x）|exlnx，x（0，+），令F1（x）exx，x（0，+）；令F2（x）xlnx，x（0，+），根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）f（x）aex，g（x），yf（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），yg（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），由题意得f（0）g（a），即a，又a0，a1（2分）f（x）ex，g（x）lnx，函数yf（x）和yg（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：xy+10，xy10，两平行切线间的距离为（4分）（2）由，得，故mxex在x0，+）有解，令h（x）xex，则mh（x）
31、max，当x0时，m0；当x0时，h（x）1（+）ex，x0，+2，ex1，（+）ex，故h（x）0，即h（x）在区间0，+）上单调递减，故h（x）maxh（0）0，m0，即实数m的取值范围为（，0）（8分）（3）解法一：函数yf（x）和yg（x）的偏差为：F（x）|f（x）g（x）|exlnx，x（0，+），F（x）ex，设xt为f（x）0的解，则当x（0，t），F（x）0；当x（t，+），F（x）0，F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+）单调递增，F（x）minetlntetlnet+t，f（1）e10，f（）20，t1，故F（x）minet+t+2，即函数yf（x）和yg（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2（16分）解法二：由于函数yf（x）和yg（x）的偏差：F（x）|f（x）g（x）|exlnx，x（0，+），令F1（x）exx，x（0，+）；令F2（x）xlnx，x（0，+），F1（x）ex1，F2（x）1，F1（x）在（0，+）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，F1（x）F1（0）1，F2（x）F2（1）1，F（x）exlnxF1（x）+F2（x）2，即函数yf（x）和yg（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2（16分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，正确求导，理解新定义是解题的关键
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