1、2018-2019学年江苏省连云港市赣榆区高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上1（5分）在ABC中，b4，B60，A45，则a（）A6B7C8D92（5分）有4条线段其长度分别为1，3，5，7现从中任取3条，则取出的3条线段能构成三角形的概率为（）ABCD3（5分）2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在50，60）的汽车大约有（）A30辆B60辆C300辆D600辆4（5分）在ABC中，若b2+c2a2bc，则A（）A30B60C12
2、0D1505（5分）若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（）倍AB2CD36（5分）已知ABC满足条件acosBbcosA，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等边三角形7（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D由增加的长度决定8（5分）在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，三个不重合的平面，（1）着ba，ca，则bc；（2）若a，b，a，b，则：（3）若a，b，则ab；（4）若，a，b，则ab其中正确命题的个数是（）A1B2C3D49（5分）
3、连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为16的概率为（）ABCD10（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）ABCD11（5分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）ABCD12（5分）在正四面体（每一个面都是正三角形的四面体）ABCD中，E，F分别在校AB，AC上，满足BE3，EF4，且EF与平面BCD平行，则DEF的面积为（）A2B2C2D12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分请把答案直接填写在答题卡相应位置上13（5分）某市有大型超市200家、中型
4、超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况现按分层抽样方法抽取一个容最为200的样本，应抽取中型超市 家14（5分）一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8（单位；t/hm2），则这组样本数据的方差为 15（5分）已知正四棱锥的底面边长为4，高为2则该正四棱锥的侧面积为 16（5分）在ABC中，AB5，AC7，BC6，A的平分线AD交边BC于点D，则AD 三、解答题：共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如表是一个容最为20的样本数据分组后的频率分布表：分组8.5，11.5）
5、11.5，14.5）14.5，17.5）17.5，20.5频数4268（1）请估计样本的平均数；（2）若从数据在8.5，l1.5）与11.5，14.5）的样本中随机抽取2个，求恰有1个样本落在1l.5，14.5）的概率18（12分）已知锐角ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2asinC（1）求角A；（2）若ABC的面积为2，且a5，求ABC的周长19（12分）如图，在三棱锥SABC中，SBSC，E是BC上的点，且SEBC（1）若F是SC的中点，求证：直线EF平面SAB；（2）若ABAC，求证：平面SAE平面SBC20（12分）（1）如图1，已知a，a，l，求证：al；（2）
6、如图2，已知，l，求证：l21（12分）如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D处，已知ACD为边长等于3km的正三角形，当目标出现于B处时，测得CDB45，BCD75，试求炮击目标的距离AB（单位：km）22（12分）如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，AC1与A1C交于点O，A1AACA1C4BC3，AB5（1）若E是棱AB上一点，且OE平面BCC1B1，求CE；（2）若二面角BA1CA是直二面角，求四棱锥A1BCC1B1的体积2018-2019学年江苏省连云港市赣榆区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中
7、，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上1（5分）在ABC中，b4，B60，A45，则a（）A6B7C8D9【分析】由已知利用正弦定理即可解得a的值【解答】解：b4，B60，A45，由正弦定理，可得：，解得：a8故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题2（5分）有4条线段其长度分别为1，3，5，7现从中任取3条，则取出的3条线段能构成三角形的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数，取出的3条线段能构成三角形的只有一种：（3，5，7），由此能求出取出的3条线段能构成三角形的概率【解答】解：有4条线段其长度分别为1，3，5，7现从中任取
8、3条，基本事件总数，取出的3条线段能构成三角形的只有一种：（3，5，7），则取出的3条线段能构成三角形的概率为p故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在50，60）的汽车大约有（）A30辆B60辆C300辆D600辆【分析】根据频率分步直方图可以看出在50，60）之间的小长方形的长和宽，做出对应的频率，用频率乘以样本容量得到结果【解答】解：有频率分步直方图可以看出在50，60）之间的频率是0.03100.3，时速在50，60）的汽车大约有20000.3600故选
9、：D【点评】频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，本题是已知样本容量和频率求频数，这种问题会出现在选择和填空中4（5分）在ABC中，若b2+c2a2bc，则A（）A30B60C120D150【分析】利用余弦定理表示出cosA，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：在ABC中，b2+c2a2bc，由余弦定理得：cosA，又A（0，180），A30故选：A【点评】此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题5（5分）若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个
10、球的体积是另两个球的体积之和的（）倍AB2CD3【分析】利用三个球的体积之比等于半径比的立方，即可得出答案【解答】解：因为半径之比是1：2：3，由球的体积可知，三球体积之比为1：8：27可知半径最大的球的体积是其余两球的3倍，故选：D【点评】本题考查学生对于球的体积公式的使用，相似比公式的应用，是基础题6（5分）已知ABC满足条件acosBbcosA，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等边三角形【分析】利用正弦定理化简已知的等式，得到sinAcosBsinBcosA，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式得到sin（AB）的值为0，由A和B为三角形的内角，可得
11、出AB0，即AB，根据等角对等边可得到三角形为等腰三角形【解答】解：由正弦定理得：2R，a2RsinA，b2RsinB，代入acosBbcosA得：sinAcosBsinBcosA，即sinAcosBcosAsinBsin（AB）0，又A和B为三角形的内角，AB0，即AB，则ABC为等腰三角形故选：A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键7（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D由增加的长度决定【分析】先设出原来的三边
12、为a、b、c且c2a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大而（a+x）2+（b+x）2（c+x）2x2+2（a+bc）x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦0，则为锐角，那么它为锐角三角形故选：C【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力8
13、（5分）在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，三个不重合的平面，（1）着ba，ca，则bc；（2）若a，b，a，b，则：（3）若a，b，则ab；（4）若，a，b，则ab其中正确命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】在（1）中，b与c相交、平行或异面；在（2）中，与相交或平行；在（3）中，由线面垂直的性质定理得ab；在（4）中，由面面平行的性质定理得ab【解答】解：在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，三个不重合的平面，在（1）中，若ba，ca，则b与c相交、平行或异面，故（1）错误；在（2）中，若a，b，a，b，则与相交或平行，故（2）错误：在（3）中，若a，b，则由线面垂直的性质定理得
14、ab，故（3）正确；在（4）中，若，a，b，则面面平行的性质定理得ab，故（4）正确故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9（5分）连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为16的概率为（）ABCD【分析】连续抛掷同一颗骰子3次，基本事件总数n666216，利用列举法求出3次掷得的点数之和为16包含的基本事件（a，b，c）有6个，由此能求出3次掷得的点数之和为16的概率【解答】解：连续抛掷同一颗骰子3次，基本事件总数n666216，3次掷得的点数之和为16包含的基本事件（a，b，c）有：（4，6，6），（6，4，
15、6），（6，6，4），（5，6，5），（6，5，5），（5，5，6），共6个则3次掷得的点数之和为16的概率为P故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）ABCD【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案【解答】解：对于选项B，由于ABMQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于ABMQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于ABNQ，结合线面
16、平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题11（5分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）ABCD【分析】设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项【解答】解：设圆柱高为h，则底面半径为由题意知，Sh2，h，V（）2h故选：D【点评】本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型12（5分）在正四面体（每一个面都是正三角形的四面体）ABCD中，E，F分别在校AB，AC上，满足BE3，
17、EF4，且EF与平面BCD平行，则DEF的面积为（）A2B2C2D12【分析】设正四面体的棱长为a，因为ABCD无正四面体，所以每个面都是正三角形，EF与平面BCD平行，EF平面ABC，平面ABC平面BCDBC，所以EFBC，所以三角形AEF为等边三角形，所以AEAFEF4，ABAE+BE3+47又三角形ADE三角形ADF，所以三角形DEF为等腰三角形，然后求边长，面积即可【解答】解：依题意，ABCD无正四面体，所以每个面都是正三角形，EF与平面BCD平行，EF平面ABC，平面ABC平面BCDBC，所以EFBC，所以三角形AEF为等边三角形，所以AEAFEF4，ABAE+BE3+47又因为三角
18、形ADE三角形ADF，所以由余弦定理DEDF，取EF中点G，连接DG，则DG所以三角形DEF的面积S故选：A【点评】本题借助正四面体考查了空间直线的位置关系、三角形的全等、余弦定理等知识，考查空间想象能力和计算能力属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分请把答案直接填写在答题卡相应位置上13（5分）某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况现按分层抽样方法抽取一个容最为200的样本，应抽取中型超市40家【分析】抽样比为，所以抽取中型超市的家数为400，【解答】解：依题意，抽样比为，而中型超市有400家，故应抽取中型超市40040家故填
19、：40【点评】本题考查了分层抽样，属于基础题14（5分）一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8（单位；t/hm2），则这组样本数据的方差为0.244【分析】先求出这组样本数据的平均数，由此能求出这组样本数据的方差【解答】解：一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8（单位；t/hm2），这组样本数据的平均数为：（9.4+9.7+9.8+10.3+10.8）10，这组样本数据的方差为：（9.410）2+（9.710）2+（9.810）2+（10.310）2+（10.810）20.244故答案为：0.2
20、44【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）已知正四棱锥的底面边长为4，高为2则该正四棱锥的侧面积为32【分析】由正四棱锥的高为2，底面边长为，可得侧棱长为2，所以斜高为4，则侧面积可求【解答】解：如图在正四棱锥SABCD中，O为底面正方形的中心，E为BC的中点，连接OE，SO，SE，OB则SO平面ABCD，又BC平面ABCD，所以BCSO，在三角形ABC中，O，E分别为AC，BC的中点，所以OEAB，又因为ABBC，所以BCOE又OESO0，所以BC平面SOE，因为SE平面SOE，所以SEBC，即SE为侧面SBC的斜高，底面边长为4
21、，所以OBBD2，所以SB2，三角形SBE为直角三角形，所以SE4所以该正四棱锥的侧面积S全4SSBC4232故填：32【点评】本题考查了正四棱锥的侧面积，根据已知条件求出侧面的斜高，是解决此类问题的关键本题属于基础题16（5分）在ABC中，AB5，AC7，BC6，A的平分线AD交边BC于点D，则AD【分析】由已知利用余弦定理可得cosB的值，利用角平分线的性质及已知可得，解得BD的值，在ABD中，由余弦定理可得AD的值【解答】解：AB5，AC7，BC6，A的平分线AD交边BC于点D，由余弦定理可得：cosB，解得：BD，在ABD中，由余弦定理可得：AD故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理
22、，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题：共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如表是一个容最为20的样本数据分组后的频率分布表：分组8.5，11.5）11.5，14.5）14.5，17.5）17.5，20.5频数4268（1）请估计样本的平均数；（2）若从数据在8.5，l1.5）与11.5，14.5）的样本中随机抽取2个，求恰有1个样本落在1l.5，14.5）的概率【分析】（1）由频率分布表能估计样本的平均数（2）记事件A：“恰有一个样本落在11.5，14.5）”设落在8.5，11.5）的样
23、本为甲，乙，丙，丁，落在11.5，14.5）的样本为 a，b，利用列举法能求出恰有1个样本落在11.5，14.5）的概率【解答】解：（1）估计样本的平均数为：15.7（4分）（2）记事件A：“恰有一个样本落在11.5，14.5）”设落在8.5，11.5）的样本为甲，乙，丙，丁，落在11.5，14.5）的样本为 a，b，则基本事件有：甲乙，甲丙，甲丁，甲a，甲b，乙丙，乙丁，乙a，乙b，丙丁，丙a，丙b，丁a，丁b，ab，共15个基本事件7个事件A包含了8个基本事件故P（A），（9分）故恰有1个样本落在11.5，14.5）的概率为（10分）【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查列举法、古典概型
24、等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（12分）已知锐角ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2asinC（1）求角A；（2）若ABC的面积为2，且a5，求ABC的周长【分析】（1）由正弦定理化简已知可求sinA，结合A为锐角，可求A（2）由题意利用三角形的面积公式可求bc8，结合余弦定理可求b+c7，即可得解三角形的周长【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，故：，又因为c2asinC，可得：，则，即sinA，（3分）又因为锐角ABC，故A（5分）（2）由题意可得：bcsinA2，又sinA，解得：bc8，（8分）又a2b2+c22bccosA（b+c）22bc
25、2bccosA，即：25（b+c）2162，解得：b+c7，故ABC的周长是12（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题19（12分）如图，在三棱锥SABC中，SBSC，E是BC上的点，且SEBC（1）若F是SC的中点，求证：直线EF平面SAB；（2）若ABAC，求证：平面SAE平面SBC【分析】（1）由等腰三角形三线合一可知E为BC的中点，故而EFSB，于是直线EF平面SAB；（2）连接AE，则AEBC，结合SEBC可得BC平面AE，故而平面SAE平面SBC【解答】证明：（1）因为，在ABC中，SBSC，
26、且SEBC，所以，点E是BC的中点，又因为F是SC的中点，故EFSB，又因为SB平面SAB，EF平面SAB，故直线EF平面SAB，（2）因为，在ABC中，ABAC，且E是BC的中点，故AEBC，又因为SEBC，且AESEE，故BC平面SAE又因为BC平面SBC，故平面SAE平面SBC【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题20（12分）（1）如图1，已知a，a，l，求证：al；（2）如图2，已知，l，求证：l【分析】（1）在平面内取一点P（Pl），则与点P可确定一个平面，记为设m，推导出a，设过的平面交平面与直线n，同理n，从而mn，由此能证明al（2）在内取一点P，且P，
27、P，设m，n，过点P作PMm，PNn，垂足分别为M和N，推导出PM，PMl，PNl，由此能证明l【解答】证明：（1）在平面内取一点P（Pl），则与点P可确定一个平面，记为设m，因为a，a，故a，（2分）同理设过的平面交平面与直线n，同理n，从而mn，又因为m，n，故m，（4分）又因为m，l，故ml，又因为am，故al（6分）（2）在内取一点P，且P，P，设m，n，过点P作PMm，PNn，垂足分别为M和N因为，m，PMm，PM，故PM，又因为l，所以PMl（9分）同理PNl，又因为PM，PN，PMPNP，所以l（12分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置
28、关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D处，已知ACD为边长等于3km的正三角形，当目标出现于B处时，测得CDB45，BCD75，试求炮击目标的距离AB（单位：km）【分析】在BCD中利用正弦定理计算BC，再在ABC中利用余弦定理计算AB【解答】解：在BCD中，CBD180457560由正弦定理得：，故BC，在ABC中，ACB60+75135由余弦定理得：AB2AC2+BC22ACBCcosACB9+62（）15+6，故AB，答：炮击目标的距离AB是 km【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题22（12
29、分）如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，AC1与A1C交于点O，A1AACA1C4BC3，AB5（1）若E是棱AB上一点，且OE平面BCC1B1，求CE；（2）若二面角BA1CA是直二面角，求四棱锥A1BCC1B1的体积【分析】（1）由线面平行的性质可得OEBC1，故而E为AB的中点，证明ABC是直角三角形得出CEAB；（2）证明BC平面A1AC，故V2V2V【解答】解：（1）连接BC1，因为OE平面BCC1B1，OE平面ABC1，平面ABC1平面BCC1B1BC1，OEBC1，又因为斜三棱柱ABCA1B1C1，故O是AC1的中点，E是AB的中点，在ABC中，因为AC4，BC3，AB5，AC2+BC2AB2，ACBCCEAB（2）A1AAC，O是A1C的中点，AOA1C又二面角BA1CA是直二面角，平面A1BC平面A1ACA1C，AO平面A1BC，又BC平面A1BC，BCAO，又BCAC，ACAOA，BC平面A1AC，VV，且V+VV，V2V2V24238即四棱锥的A1BCC1B1的体积为8【点评】本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题
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