2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

1、2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高一（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1（5分）在等比数列an中，已知a12，q3，则公比a5   2（5分）不等式x2+2x+80的解集为   3（5分）直线l与直线x+2y+30垂直，且过点A（2，2），则直线l的方程为   4（5分）已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a4，c2，则ABC的面积为   5（5分）在等差数列an中，若a316，S2020，则公差d   6（5分）已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则 &nbs

2、p; 7（5分）在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是   三角形8（5分）在ABC中，已知sinA：sinB：sinC3：5：7，则此三角形的最大内角等于   9（5分）若关于x的不等式ax2+ax+a10的解集为R，则实数a的取值范围是   10（5分）数列an的前n项和为Snn2+2n1，则an   11（5分）已知数列an的通项公式为an，则此数列前10项和S10   12（5分）已知数列an满足a1，an1an，（n2），则该数列的通项公式an   13（5分）对任意m1，1，函数f（x）x2+（m4

3、）x+42m的值恒大于零，求x的取值范围   14（5分）在平面四边形ABCD中，ABC75BC2，则AB的取值范围是   二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15（14分）已知直线l1：x+y30和l2：5x+2y120的交点为A（1）若直线l3：（a26）x+ay10与l1平行，求实数a的值；（2）求经过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程16（14分）在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b，a+c4，求ABC的面积17（15分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北

4、偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？18（15分）已知数列an的首项，（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和为Sn19（16分）已知函数f（x）x2+3x+a，g（x）（1）若不等式f（x）0的解集是x|ax1，求a的值；（2）当g（b）b+，其中ab0，求4a+b的最大值；（3）若对任意x2，+），不等式g（x）1恒成立，求实数a的取值范围20（16分）已知n为正整数，数列an满足an0，4（n+1）an2nan+120，设数列bn满足bn（1）求证：数列为

5、等比数列；（2）若数列bn是等差数列，求实数t的值：（3）若数列bn是等差数列，前n项和为Sn，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n216bm成立，求满足条件的所有整数a1的值2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1（5分）在等比数列an中，已知a12，q3，则公比a5162【分析】直接根据等比数列的通项公式求出即可【解答】解：a5a1q4234162，故答案为：162【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题2（5分）不等式x2+2x+80的解集为2，4【分析】不等式化为

6、x22x80，求出解集即可【解答】解：不等式x2+2x+80化为x22x80，即（x+2）（x4）0，解得2x4，不等式的解集为2，4故答案为：2，4【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题3（5分）直线l与直线x+2y+30垂直，且过点A（2，2），则直线l的方程为2xy20【分析】由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得直线l的斜率，运用点斜式方程可得所求直线方程【解答】解：直线x+2y+30的斜率为，直线l与直线x+2y+30垂直，可得直线l的斜率为2，过点A（2，2），可得直线l的方程为y22（x2），即为2xy20，故答案为：2xy20【点评】本题考查两直线垂直的条件

7、：斜率之积为1，考查直线的方程求法，考查运算能力，属于基础题4（5分）已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a4，c2，则ABC的面积为2【分析】根据等差数列的定义求出B的大小，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A+C2B，即A+B+C3B，即B，a4，c2，ABC的面积SsinB2，故答案为：2【点评】本题主要考查三角形面积的计算，根据等差数列求出B的大小是解决本题的关键5（5分）在等差数列an中，若a316，S2020，则公差d2【分析】在等差数列an中，若a316，S2020，可得a1+2d16，20a1+d20，联立解得d【解答】

8、解：在等差数列an中，若a316，S2020，则a1+2d16，20a1+d20，联立解得d2，a120故答案为：2【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（5分）已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则2【分析】由题意可得，解之可得a12d0，变形可得答案【解答】解：由题意可得：，即d（2da1）0，因为公差d不为0，故2da10，解得a12d0，故2，故答案为：2【点评】本题考查等差数列的通项公式，涉及等比数列的概念，属基础题7（5分）在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是等腰三角形【分析】等式即

9、  2cosBsinAsin（A+B），展开化简可得sin（AB）0，由AB，得 AB0，故三角形ABC是等腰三角形【解答】解：在ABC中，若2cosBsinAsinC，即 2cosBsinAsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，sinAcosBcosAsinB0，即 sin（AB）0，AB，AB0，故ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰【点评】本题考查两角和正弦公式，诱导公式，根据三角函数的值求角，得到sin（AB）0，是解题的关键8（5分）在ABC中，已知sinA：sinB：sinC3：5：7，则此三角形的最大内角等于【分析】根据正弦定理化简已知的比例式，得到三边之

10、比，然后设出三角形的三边长，利用大边对大角找出最大角，根据余弦定理表示出最大角的余弦值，把三边长代入即可求出余弦值，由三角形内角的范围，根据特殊角的三角函数值即可求出最大角的度数【解答】解：由sinA：sinB：sinC3：5：7，根据正弦定理得：a：b：c3：5：7，设a3k，b5k，c7k，显然C为最大角，根据余弦定理得：cosC，由C（0，），得到C故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理及特殊角的三角函数值掌握正弦定理，余弦定理的特征是解此类题的关键同时注意要会根据比例式设出各边长9（5分）若关于x的不等式ax2+ax+a10的解集为R，则实数a的取值范围是（，+）【分析】根据题

11、意知，由此求出a的取值范围【解答】解：关于x的不等式ax2+ax+a10的解集为R，即，化简得，解得，即a，实数a的取值范围是（，+）故答案为：（，+）【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题10（5分）数列an的前n项和为Snn2+2n1，则an【分析】Snn2+2n1，n2时，anSnSn1，n1时，a1S1，即可得出【解答】解：Snn2+2n1，n2时，anSnSn1n2+2n1（n1）2+2（n1）12n+1，n1时，a1S12则an故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）已知数列an的通项公式为an，则此数列

12、前10项和S10【分析】an，利用裂项求和方法即可得出【解答】解：an，则此数列前10项和S10故答案为：【点评】本题考查了数列通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知数列an满足a1，an1an，（n2），则该数列的通项公式an【分析】根据条件，进行转化，利用裂项法以及累加法即可得到结论【解答】解：由an1an得，即，n2，即1，等式两边同时相加得1+1，即1+1+23，则an，n2，当n1时，a1满足an，故该数列的通项公式an，故答案为：【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推数列，利用裂项法结合累加法是解决本题的关键13（5分）对任意m1，1

13、，函数f（x）x2+（m4）x+42m的值恒大于零，求x的取值范围（，1）（3，+）【分析】令g（k）k（x2）+x24x+40，则，解得答案【解答】解：任意k1，1，函数f（x）x2+（k4）x2k+40，恒成立，令g（k）k（x2）+x24x+40，则，即（x2）+x24x+40，（x2）+x24x+40，解得x1或x3，故答案为（，1）（3，+）【点评】此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于k的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，最此类恒成立题要注意14（5分）在平面四边形ABCD中，ABC75BC2，则AB的取值范围是（，+）【分析】如图所示，延长BA，CD交于

14、点E，设ADx，AEx，DEx，CDm，求出x+m+，即可求出AB的取值范围【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在ADE中，DAE105，ADE45，E30，设ADx，AEx，DEx，CDm，BC2，（x+m）sin151，x+m+，0x4，而ABx+mx+x，AB的取值范围是（，+）故答案为：（，+）方法二：如下图，作出底边BC2的等腰三角形EBC，BC75，倾斜角为150的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，直线接近点C时，AB趋近最小，为；直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（，+）

15、【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15（14分）已知直线l1：x+y30和l2：5x+2y120的交点为A（1）若直线l3：（a26）x+ay10与l1平行，求实数a的值；（2）求经过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程【分析】（1）由l1l3得a26a，解方程求得a的值；（2）由两直线相交求得交点坐标，求出直线过原点时和不过原点时对应的直线方程即可【解答】解：（1）由l1l3，得a26a，解得a3或a2，（4分）经检验，当a3或a2时，l3l1；（7分）（2）由，解得，点A的坐标为（2，1）；

16、（8分）当A过原点时，斜率为k，直线方程为y；（10分）当A不过原点时，令+1，解得a2+13，则直线方程为x+y30；（13分）综上，所求的直线方程为x+y30或yx（14分）【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题16（14分）在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b，a+c4，求ABC的面积【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值

17、，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值【解答】解：（1）由正弦定理得：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，将上式代入得，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB0，即2sinAcosB+sin（B+C）0，A+B+C，sin（B+C）sinA，2sinAcosB+sinA0，即sinA（2cosB+1）0，sinA0，cosB，B为三角形的内角，B（2）将b，a+c4，B代入余弦定理b2a2+c22accosB得：b2（a+c）22a

18、c2accosB，即即13162ac（1），ac3，SABCacsinB【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形熟练掌握定理及公式是解本题的关键属于中档题17（15分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？【分析】（1）由方向坐标求得DAB、DBA，利用三角形内角和定理与正弦定理求得BD的值；（2）BCD中，利用余弦定理求得DC的值，再计算救援船到达D所需的时间【解答

19、】解：（1）由D在A的北偏东45，在B的北偏西60，DAB45，DBA30，（1分）ADB105；由正弦定理得，（3分）；又sin75sin（30+45）sin30cos45+cos30sin45，（5分）BD10；（6分）答：轮船D与观测点B的距离为10海里；（7分）（2）BCD中，BD10，BC20，DBC60，DC2BD2+BC22BDBCcos60300+120021020，（10分）DC2900，解得DC30；（13分）t1（小时）；（14分）答：救援船到达D所需的时间为1小时（15分）【点评】本题考查了正弦、余弦定理的实际应用问题，是基础题18（15分）已知数列an的首项，（1）证

20、明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和为Sn【分析】（1）把已知数列递推式两边取倒数，可得，又，得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）求出数列得通项公式，得到，进一步得到数列的通项公式，然后利用数列的分组求和及错位相减法求解【解答】（1）证明：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）得，即，设，则，由得：，又数列的前n项和【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和与数列的分组求和，是中档题19（16分）已知函数f（x）x2+3x+a，g（x）（1）若不等式f（x）0的解集是x|ax1，求a的值；（2）当g（b）b+，其中ab

21、0，求4a+b的最大值；（3）若对任意x2，+），不等式g（x）1恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）根据题意可得a，1是方程x2+3x+a0的两个根，解得即可，（2）由题意可得4b+aab，求出a的范围，再根据4a+b4（a4）+17，利用基本不等式即可求出，（3）不等式g（x）1恒成立转化为ax2+2x1在x2，+）恒成立，根据二次函数的性质即可求出【解答】解（1）不等式f（x）0的解集是x|ax1，a，1是方程x2+3x+a0的两个根，a+13，解得a4，（2）g（b）b+，b2+3b+ab2+b+ab+，4b+aab，b，ab0，0，解得a4，a40，4a+b4a+4（a4）+17

22、4（2）+179，当且仅当a3时取等号4a+b的最大值是9，（3）当x2，+）时，1恒成立，x2+3x+ax+1在x2，+）恒成立，x2+2x+a10在x2，+）恒成立，ax2+2x1在x2，+）恒成立，yx2+2x1的对称轴x1，故yx2+2x1在2，+）单调递增，y4+417，a7，a7【点评】本题考查了不等式的解法基本不等式的应用，不等式恒成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20（16分）已知n为正整数，数列an满足an0，4（n+1）an2nan+120，设数列bn满足bn（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列bn是等差数列，求实数t的值：（3）若数列bn是等差数列，前n

23、项和为Sn，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n216bm成立，求满足条件的所有整数a1的值【分析】（1）数列an满足an0，4（n+1）an2nan+120，化为：2，即可证明（2）由（1）可得：，可得n4n1数列bn满足bn，可得b1，b2，b3，利用数列bn是等差数列即可得出t（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sna14n216bm，即可得出a1【解答】（1）证明：数列an满足an0，4（n+1）an2nan+120，an+1，即2，数列是以a1为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1）可得：，n4n1bn，b1，b2，b3，数列bn是等差数列，2+，+，化为：16tt2+48，解得t12或4（3）解：数列bn是等差数列，由（2）可得：t12或4t12时，bn，Sn，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n216bm成立，a14n216，n1时，化为：0，无解，舍去t4时，bn，Sn，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n216bm成立，a14n216，n4m，a1a1为正整数，k，kN*满足条件的所有整数a1的值为a1|a12，nN*，mN*，且k，kN*【点评】本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题