1、2018-2019学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小題，每小题5分，共60分在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若直线l过两点A（1，2），B（3，6），则l的斜率为（）ABC2D22（5分）将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（）A20B40C60D1003（5分）在ABC中，若a3，sinA，sinB，则b等于（）A3B4C5D64（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有（）A8条B6条C4条D2条5（5分）若直线x+3y+10
2、与直线2x+（a+1）y+10互相平行，则a的值为（）A4BC5D6（5分）已知x1，2，3，4，y1，2，3，则点P（x，y）在直线x+y5上的概率为（）ABCD7（5分）甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下：甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8根据以上数据估计（）A甲比乙的射击技术稳定B乙比甲的射击技术稳定C两人没有区别D两人区别不大8（5分）若P（3，1）为圆x2+y22x240的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）Ax+2y50Bxy20C2xy50D2x+y709（5分）圆心为C（2，0）的圆C与圆x2+y2+4x6y+40相外切，则圆C的
3、方程为（）Ax2+y24x0Bx2+y24x+20Cx2+y2+4x+20Dx2+y2+4x010（5分）将两个长、宽、高分别为5，4，3的长方体垒在一起，使其中两个面完全重合，组成一个大长方体，则大长方体的外接球表面积的最大值为（）A150B125C98D7711（5分）直线xy+20被圆x2+y24截得的劣弧与优弧的长之比是（）A1：5B1：6C1：3D1：412（5分）已知直线l1：mxy3m+10与l2：x+my3m10相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）24的一条动弦，且AB2，则|的最小值是（）A2B4C22D42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（
4、5分）空间一点A（1，2，3）到坐标原点的距离是 14（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在2500，3000）（元）内应抽出 人15（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有以下结论：BD平面CB1D1；AD平面CB1D1；AC1BD；异面直线AD与CB1所成的角为60则其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）16（5分）已知正三角形ABC的边长是2，点P为AB边上的高所在直线上的任意一点
5、，Q为射线AP上一点，且1，则|的取值范围是 三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）求经过点（1，2）且分别满足下列条件的直线的一般式方程（1）倾斜角为45；（2）在y轴上的截距为5；（3）在第二象限与坐标轴围成的三角形面积为418（10分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点（1）求证：EF平面A1BD；（2）若A1B1A1C1，求证：平面A1BD平面BB1C1C19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+acosB2ccosC（1）求角C的大小；（2）
6、若b3a，且ABC的面积为，求边c的长20（12分）在平面直角坐标系中，已知点C（x，y）与两个定点A（0，0），B（4，0）的距离之比为（1）求点C的坐标所满足的关系式；（2）求ABC面积的最大值；（3）若3x+4y+m0恒成立，求实数m的取值范围21（12分）现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍（1）若AB6m，PO12m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？22（1
7、4分）在平面直角坐标系xOy中，直线xy+10截以坐标原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当DE2时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP，NP分别交x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由2018-2019学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小題，每小题5分，共60分在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若直线l过两点A（1，2），B（3，6），则l的斜率为（）AB
8、C2D2【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得直线的斜率【解答】解：由斜率公式可得，经过两点A（1，2），B（3，6）的直线l的斜率为 2，故选：C【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题2（5分）将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（）A20B40C60D100【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出应从丙层中抽取的个体数【解答】解：甲、乙、丙三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从丙层中抽取的个体数为20040，故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的定义
9、和方法，属于基础题3（5分）在ABC中，若a3，sinA，sinB，则b等于（）A3B4C5D6【分析】根据正弦定理可得【解答】解：由正弦定理得：，得b6故选：D【点评】本题考查了正弦定理，属基础题4（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有（）A8条B6条C4条D2条【分析】判断异面直线的方法：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线，由此判断出正方体中与棱AA1异面的直线【解答】解：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有：BC，CD，C1D1，B1C1故选：C【点评】本题考查了判断两条直线是否为异面的应用问题，是基础题5（5
10、分）若直线x+3y+10与直线2x+（a+1）y+10互相平行，则a的值为（）A4BC5D【分析】由题意利用两条直线平行的性质可得，由此求得a的值【解答】解：直线x+3y+10与直线2x+（a+1）y+10互相平行，求得a5，故选：C【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题6（5分）已知x1，2，3，4，y1，2，3，则点P（x，y）在直线x+y5上的概率为（）ABCD【分析】将所有的基本事件列举出来，数出所有基本事件的个数和事件“点P在直线x+y5上”包含的基本事件个数，代入公式即可【解答】解：所有的基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
11、（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共有12个，设事件A表示“点P在直线x+y5上”，则A包含（2，3），（3，2），（4，1）三个基本事件，所以P（A）故选：B【点评】本题考查了古典概型的概率求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用7（5分）甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下：甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8根据以上数据估计（）A甲比乙的射击技术稳定B乙比甲的射击技术稳定C两人没有区别D两人区别不大【分析】分别求出甲、乙两人的平均数、方差，由此能求出结果【解答】解：甲的平均数为：（9.8+9.9+10.1
12、+10+10.2）10，甲的方差为：（9.810）2+（9.910）2+（10.110）2+（1010）2+（10.210）20.02，乙的平均数为：（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）10，乙的方差为：（9.410）2+（10.310）2+（10.810）2+（9.710）2+（9.810）20.244，甲比乙的射击技术稳定故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）若P（3，1）为圆x2+y22x240的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）Ax+2y50Bxy20C2xy50D2x+y70【分析】求出圆的圆心和半径，由弦
13、的性质可得CPAB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，由点斜式求得直线AB的方程【解答】解：圆x2+y22x240即（x1）2+y225，表示以C（1，0）为圆心，以5为半径的圆由于P（3，1）为圆x2+y22x240的弦AB的中点，故有CPAB，CP的斜率为，故AB的斜率为2，由点斜式求得直线AB的方程为y12（x3），即：2x+y70，故选：D【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，两直线垂直的性质，用点斜式求直线方程，求出AB的斜率为2是解题的关键，是基础题9（5分）圆心为C（2，0）的圆C与圆x2+y2+4x6y+40相外切，则圆C的方程为（）Ax2+y24x0Bx2+y24x+20Cx
14、2+y2+4x+20Dx2+y2+4x0【分析】根据两圆关系求出圆C的半径，从而得出圆C的方程【解答】解：圆x2+y2+4x6y+40的圆心为M（2，3），半径为r3，CM5，圆C的半径为532，圆C的标准方程为：（x2）2+y24，即x2+y24x0故选：A【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题10（5分）将两个长、宽、高分别为5，4，3的长方体垒在一起，使其中两个面完全重合，组成一个大长方体，则大长方体的外接球表面积的最大值为（）A150B125C98D77【分析】把两个完全相同的长方体重叠在一起组成一个新的长方体，可能有三种情形：分别是长、宽、高各加长原来的两倍，再分别计算出三种
15、情况的体对角线后比较大小，然后利用球的表面积公式求解【解答】解：两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况，分别计算三种情况的体对角线为、或、或最长对角线的长为5，即大长方体的外接球的最大半径为，则大长方体的外接球表面积的最大值为故选：B【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题11（5分）直线xy+20被圆x2+y24截得的劣弧与优弧的长之比是（）A1：5B1：6C1：3D1：4【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知直线的距离d，求出劣弧所对的圆心角的大小，化弧长比为角度比得答案【解答】解：过O作OCAB，垂足为点C，由圆的方程x2+y24
16、，得到圆心O的坐标为（0，0），半径r2，圆心到直线xy+20的距离d|OC|，BOC，即AOB，直线被圆截的劣弧与优弧的长之比是1：5故选：A【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的弧长公式的应用，根据条件求出劣弧所对的圆心角的大小是解决本题的关键，是中档题12（5分）已知直线l1：mxy3m+10与l2：x+my3m10相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）24的一条动弦，且AB2，则|的最小值是（）A2B4C22D42【分析】由已知得到l1l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），从而得到点P轨迹为圆（x2）2+（y2）22，设圆心为M，半径为r2，作垂直线段
17、CDAB，求得CD1，设圆C的半径为r1，求得的最小值，再由|2|得答案【解答】解：设圆C的半径为r1，直线l1：mxy3m+10与l2：x+my3m10垂直，又l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），P轨迹为圆（x2）2+（y2）22，设圆心为M，半径为r2，作垂直线段CDAB，CD1，|CM|r1r231，则|2|2|，|的最小值为42故选：D【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，考查向量模的最值的求法，理解题意是关键，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）空间一点A（1，2，3）到坐标原点的距离是【分析】根据空间两点间的距离公式，计算即可【解答】解：空
18、间点A（1，2，3）到坐标原点的距离是|OA|故答案为：【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式应用问题，是基础题14（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在2500，3000）（元）内应抽出25人【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可【解答】解：由直方图可得2500，3000）（元）月收入段共有100000.00055002500人按分层抽样应抽出250025人故答案为：25【点评】本题考查
19、频率分布直方图与分层抽样的规则，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数15（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有以下结论：BD平面CB1D1；AD平面CB1D1；AC1BD；异面直线AD与CB1所成的角为60则其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）【分析】利用直线与平面平移以及垂直的关系，结合异面直线所成角判断命题的真假即可【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，BDB1D1，B1D1平面CB1D1；BD平面CB1D1；所以BD平面CB1D1；正确；AD平面CB1D1；ADA1D1，所以AD平面CB1D1；不
20、正确；AC1在底面ABCD上的射影AC，BDAC；所以AC1BD；正确；异面直线AD与CB1所成的角为45，所以异面直线AD与CB1所成的角为60不正确；故答案为：【点评】本题考查空间直线与直线，直线与平面平面与平面的位置关系的判断，是基本知识的考查16（5分）已知正三角形ABC的边长是2，点P为AB边上的高所在直线上的任意一点，Q为射线AP上一点，且1，则|的取值范围是，【分析】以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，AB的垂线为y轴，建立直角坐标系，求得A，C的坐标，设出P，Q的坐标，运用向量数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，化简整理，运用判别式法，解不等式可得模的取值范
21、围【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，AB的垂线为y轴，建立直角坐标系Oxy，如图所示；则A（1，0），C（0，），设P（0，t），可得（1，t），设n，可得Q（n1，nt），由1，可得n（1+t2）1，即n，则（n1）2+（nt）2（1）2+（）24，由y，可得yt22t+y10，当y0时，t成立；当y0时，124y（y1）0，解得y，则444，即4，所以|的取值范围是，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量数量积的性质和运算问题，也考查了函数最值的求法与应用问题，注意运用判别式法，是中档题三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17（10
22、分）求经过点（1，2）且分别满足下列条件的直线的一般式方程（1）倾斜角为45；（2）在y轴上的截距为5；（3）在第二象限与坐标轴围成的三角形面积为4【分析】（1）由直线倾斜角求得斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式即可；（2）由两点坐标求得斜率，写出直线方程的点斜式，再化为一般式；（3）设直线的斜率为k（k0），则直线方程为y2k（x+1），分别求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，求解k，则答案可求【解答】解：（1）由倾斜角为45，得直线的斜率k1，得点斜式方程为y2x+1，即xy+30；（2）直线在y轴上的截距为5，即直线过点（0，5），则斜率k，点斜式方程为y23（x+1），
23、即3xy+50；（3）设直线的斜率为k（k0），则直线方程为y2k（x+1），取x0，得yk+2，取y0，得x则S，解得k2点斜式方程为y22（x+1），即2xy+40【点评】本题考查直线方程的求法，训练了点斜式与一般式的互化，是基础题18（10分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点（1）求证：EF平面A1BD；（2）若A1B1A1C1，求证：平面A1BD平面BB1C1C【分析】（1）由E，F分别是AB，AA1的中点，得EFA1B，由此能证明EF平面A1BD（2）推导出A1DB1C1，A1DBB1，从而A1D平面BB1C1C，由此能证明平面A1B
24、D平面BB1C1C【解答】证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是AB，AA1的中点EFA1B，EF平面A1BD，A1B平面A1BD，EF平面A1BD；（2）A1B1A1C1，D是B1C1的中点A1DB1C1，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面A1B1C1，A1DBB1，B1C1BB1B1，A1D平面BB1C1CA1D平面A1BD，平面A1BD平面BB1C1C【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+a
25、cosB2ccosC（1）求角C的大小；（2）若b3a，且ABC的面积为，求边c的长【分析】（1）由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB2sinCcosC，化简可得cosC，从而可求C的值；（2）由已知利用三角形的面积公式可得ab9，结合已知可解得a，b的值，从而由余弦定理可解得c的值【解答】解：（1）由bcosA+acosB2ccosC，及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB2sinCcosC，即sin（A+B）2sinCcosC，由A，B，C是三角形内角，可知sin（A+B）sinC0，可得：cosC，故可得C（2）由ABC的面积可得：absinCab，解得：
26、ab9，b3a，解得a，b3，由余弦定理可得：c2a2+b22abcosC3+272321，c【点评】本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20（12分）在平面直角坐标系中，已知点C（x，y）与两个定点A（0，0），B（4，0）的距离之比为（1）求点C的坐标所满足的关系式；（2）求ABC面积的最大值；（3）若3x+4y+m0恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）运用两点的距离公式，化简整理可得C的轨迹方程；（2）由圆的性质，以及三角形的面积公式可得所求最大值；（3）由题意可得m3x+4y的最小值，运用圆的参数方程，以及辅助角公
27、式和正弦函数的值域，可得所求最小值，即可得到所求范围【解答】解：（1）点C（x，y）与两个定点A（0，0），B（4，0）的距离之比为，可得|AC|CB|，即为，化简可得x2+y2+x20，即为（x+）2+y2，即有C的轨迹方程为（x+）2+y2，为圆心（，0），半径为的圆；（2）ABC面积的最大值为43；（3）3x+4y+m0恒成立，即为m3x+4y的最小值，由（1）可设x+cos，ysin，则3x+4y+cos+6sin+sin（+），当+2k，kZ时，sin（+）取得最小值1，即3x+4y的最小值为9，可得m9，即m9【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的运用，以及换元法和三角函数的
28、恒等变换，考查运算能力，属于中档题21（12分）现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍（1）若AB6m，PO12m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO12m时，O1O8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO1xm，则O1O4xm，O1O4xm，A1O1m，A1B1m，求出侧面积的表达式，利用基本不等式可得
29、最大值【解答】解：（1）PO12m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍O1O8m，答：仓库的容积V622+628312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1xm，则O1O4xm，A1O1m，A1B1m，正四棱柱侧面积S44x（0x6），S，当且仅当x，即x时，答：当PO1m时，正四棱柱侧面积最大，最大为【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积和利用基本不等式求最大值，属中档题22（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线xy+10截以坐标原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当DE2时，求直线l的方程；（3）
30、设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP，NP分别交x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【分析】（1）根据点到直线的距离以及勾股定理可得；（2）设出直线l的截距式，根据圆心到直线的距离等于半径列数可解得；（3）设出M，P的坐标，推出N的坐标，可得直线MP和NP的方程求出m，n，再相乘变形可得【解答】解：（1）圆心O到直线xy+10的距离d，2，2，r22，所以圆O的方程为x2+y22（2）设直线l的方程为：+1，（a0，b0），依题意可列方程组：，解得ab2，所以直线l的方程为x+y20（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，y1），x12+y122，x22+y222，直线MP与x轴交点为（，0），即m，直线NP与x轴交点为（，0），即n，所以mn2，故mn2为定值【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题
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