1、2018-2019学年江苏省连云港市灌云县高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在等题卡相应位置上）1（5分）某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取（）人A30B40C50D602（5分）在ABC中，若1，则A等于（）A150B120C90D603（5分）如果直线a和直线b是异面直线，直线ca，那么直线b与c（）A异面B相交C平行D异面或相交4（5分）在ABC中，已知c2acosB
2、，且A45，则角B的度数是（）A90B60C45D405（5分）甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为（）A0.5B0.3C0.2D0.16（5分）下列叙述中正确命题的个数是（）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两个平面相互平行；若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行A1B2C3D47（5分）一个不透明袋子中装有形状、大小都相同的红色小球4个，白色小球2个，现从中摸出2个，则摸出的两个都是红球的概率
3、为（）ABCD8（5分）若ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为，则其外接圆的面积为（）ABCD9（5分）若ABC的内角A、B、C满足2sinA3sinB4sinC，则cosB（）ABCD10（5分）在ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，B60，a4，其面积S20，则c（）A15B16C20D411（5分）已知正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6，则该棱柱外接球的表面积为（）A21B42C84D8412（5分）在ABC中，若AB4，AC5，BCD为等边三角形（A、D两点在BC两侧），则当四边形ABDC的面积最大时，BAC（）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，
4、共计20分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）13（5分）已知数据x1，x2，xn的平均数为4，则数据3x1+7，3x2+7，3xn+7的平均数为 14（5分）在ABC中，cos2，则ABC是 三角形15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC1与面A1BD所成的角是 16（5分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，E为PD上一点，且PE2ED设三棱锥PACE的体积为V1，三棱锥PABC的体积为V2，则V1：V2 三、解答题：（本大题共6小题，共计70分请在管题低指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明
5、过程或演算步骤.）17（10分）甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：甲86786591047乙6778678795（l）分别计算两组数据的平均数及方差；（2）现要从甲、乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试结果，你认为应该派谁去合适？并且说明理由18（12分）在ABC中，BC，AC3，sinC2sinA（1）求AB的值；（2）求sin（A）的值19（12分）如图，在三棱锥SABC中，BC平面SAC已知SAAC，点H，E，F分别为SC，AB，BC的中点（1）求证：EF平面SAC；（2）求证：AH平面SBC20（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别
6、为a、b、c，（a+b+c）（ab+c）3ac（l）求角B的大小；（2）已知acb2，且ABC的外接圆的半径为，若ac，求的值21（12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，F为棱BB1的任一点（1）求证：D1FAC；（2）若正方体的棱长为a，求三校维D1ADC的体积和表面积22（12分）如图，有一位于A处的雷达观察站发现其北偏东45，与A相距20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于A点北偏东45+（其中cos），且与A相距5海里的C处（1）求该船的行驶速度；（2）在A处的正南方向20海里E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积）如果货船继续行驶，它是否有触礁的危险？说明理
7、由2018-2019学年江苏省连云港市灌云县高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在等题卡相应位置上）1（5分）某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取（）人A30B40C50D60【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取10040，故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条
8、件建立比例关系是解决本题的关键比较基础2（5分）在ABC中，若1，则A等于（）A150B120C90D60【分析】根据正弦定理可得b2+c2a2，因此三角形ABC为直角三角形【解答】解：1，b2+c2a2，A90，故选：C【点评】本题考查了正弦定理和勾股定理，属基础题3（5分）如果直线a和直线b是异面直线，直线ca，那么直线b与c（）A异面B相交C平行D异面或相交【分析】直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面【解答】解：直线a与b是异面直线，直线ca，直线b和c有可能在同一平面上，也
9、有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面故选：D【点评】本题考查两条直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养4（5分）在ABC中，已知c2acosB，且A45，则角B的度数是（）A90B60C45D40【分析】由正弦定理可得 sin（A+B）2sinAcosB，化简可得AB0【解答】解：c2acosB，sinC2sinAcosB，sin（A+B）2sinAcosB，sinAcosB+cosAsinB2sinAcosB，sin（AB）0，又AB，AB0，A45，B45故选：C【点评】本题
10、考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到 sin（AB）0，是解题的关键，属基础题5（5分）甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为（）A0.5B0.3C0.2D0.1【分析】设甲胜的概率为P1，乙胜的概率为P2，和棋的概率为P3，根据甲胜、乙胜和P1+P2+P31列方程组可解得【解答】解：设甲胜的概率为P1，乙胜的概率为P2，和棋的概率为P3，则P1+P30.8，P2+P30.7，两式相加得P1+P2+2P30.8+0.71.5，又P1+P2+P31，所以P31.510.5故选：A【点评】本题考查了古典概型及其概
11、率计算公式，属基础题6（5分）下列叙述中正确命题的个数是（）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两个平面相互平行；若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行A1B2C3D4【分析】利用线面平行的判定定理即可判断出正误；由面面垂直的判定定理即可判断出正误；由线面垂直的性质定理、面面平行的判定定理即可判断出正误正确；由两个平面垂直的性质定理、线面平行的判定定理即可判断出正误【解答】解：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，因此不正确；若一个平面经过
12、另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，由面面垂直的判定定理可知：正确；垂直于同一直线的两个平面相互平行，正确；若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行，不一定正确，此直线可能另一个平面内叙述中正确命题的个数是2故选：B【点评】本题考查了空间位置关系判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）一个不透明袋子中装有形状、大小都相同的红色小球4个，白色小球2个，现从中摸出2个，则摸出的两个都是红球的概率为（）ABCD【分析】根据古典概型概率公式可得【解答】解：摸出的两个都是红球的概率为：故选：A【点评】本题考查了古典概型的概率公式，属基础
13、题8（5分）若ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为，则其外接圆的面积为（）ABCD【分析】利用同角三角函数的基本关系求得三角形边长分别为2、3的夹角的正弦值为，由余弦定理可求第三边的长，根据正弦定理即可求得外接圆的直径，进而可求其半径，利用圆的面积公式即可计算得解【解答】解：ABC的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为，故其夹角的正弦值为，由余弦定理可得第三边的长为：3，则利用正弦定理可得：ABC的外接圆的直径为，可得：ABC的外接圆的直径为，可得ABC的外接圆的面积为故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，三角形的面积公式，属于基础题9（5分）若ABC的内角A、B、C满
14、足2sinA3sinB4sinC，则cosB（）ABCD【分析】根据正弦定理可得2a3b4c，然后再用余弦定理求出cosB即可【解答】解：2sinA3sinB4sinC，2a3b4c，令c3m（m0），则b4m，a6m，由余弦定理得，cosB，故选：B【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理，属基础题10（5分）在ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，B60，a4，其面积S20，则c（）A15B16C20D4【分析】利用三角形的面积公式SacsinB来解答【解答】解：由题意得：acsinB20，即4csin6020，解得c20故选：C【点评】本题考查余弦定理及三角形的面积公式，属基础题，熟
15、记相关公式并灵活运用是解决该类问题的基础11（5分）已知正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6，则该棱柱外接球的表面积为（）A21B42C84D84【分析】利用外接球球心为上下底面中心的中点，求出外接球的半径，进而得到该棱柱外接球表面积【解答】解：如图，M，N为上下底面正三角形的中心，O为MN的中点，即外接球球心，正三棱柱A1B1C1ABC的所有棱长都是6，AM2，OM3，球半径ROA，该棱柱外接球的表面积为S484故选：C【点评】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，考查正三棱柱的结构特征、外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（5分）在ABC中，若AB4，AC5，BC
16、D为等边三角形（A、D两点在BC两侧），则当四边形ABDC的面积最大时，BAC（）ABCD【分析】求出三角形BCD的面积，求出四边形ABCD的面积，运用三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，求出满足条件的角的值即可【解答】解：设BCa，c4，b5，BCD是正三角形，SBCDa2，由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，SABCDSBCD+SABCa2+cbsinA（25+1640cosA）+20sinA+10sinA10cosA+20sin（A），A时，四边形ABCD的面积最大，此时ABAC故选：D【点评】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，考查两角的和差公式和正弦函数的值域，考查化简运算能
17、力，是一道中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）13（5分）已知数据x1，x2，xn的平均数为4，则数据3x1+7，3x2+7，3xn+7的平均数为19【分析】根据平均数的定义和公式进行计算即可【解答】解：数据x1，x2，xn的平均数为4，即数据（x1+x2+xn）4n，则数据3x1+7，3x2+7，3xn+7的平均数12+719，故答案为：19【点评】本题主要考查平均数的计算，结合平均数的公式是解决本题的关键14（5分）在ABC中，cos2，则ABC是直角三角形【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，表示出
18、cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等变形后，利用勾股定理即可对于三角形形状做出判断【解答】解：在ABC中，cos2，即cosA+1+1，cosA，由余弦定理得：cosA，即，整理得：b2+c2a22b2，即c2a2+b2，则ABC为直角三角形，故答案为：直角【点评】此题考查了余弦定理，以及勾股定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC1与面A1BD所成的角是90【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与面A1BD所成的角【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z
19、轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），（1，1，1），（1，0，1），（1，1，0），设平面A1BD的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设AC1与面A1BD所成的角是，则sin1，90，AC1与面A1BD所成的角是90故答案为：90【点评】本题考查线线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题16（5分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，E为PD上一点，且PE2ED设三棱锥PAC
20、E的体积为V1，三棱锥PABC的体积为V2，则V1：V22：3【分析】设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为，则V2VPABCVPACD，V1VPACEVPACDVEACD由此能求出V1：V2【解答】解：四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，E为PD上一点，且PE2ED设P到平面ACD的距离为h，则E到平面ACD的距离为，设三棱锥PACE的体积为V1，三棱锥PABC的体积为V2，则V2VPABCVPACD，V1VPACEVPACDVEACDVACDhV1：V22：3故答案为：2：3【点评】本题考查几何体的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算
21、求解能力，考查数形结合思想，是中档题三、解答题：（本大题共6小题，共计70分请在管题低指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：甲86786591047乙6778678795（l）分别计算两组数据的平均数及方差；（2）现要从甲、乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试结果，你认为应该派谁去合适？并且说明理由【分析】（1）根据平均数和方差的公式分别进行计算即可；（2）结合平均数和方差的大小进行比较判断即可【解答】解：（1）甲的平均数为（8+6+7+8+6+5+9+10+4+7）7，乙的平均
22、数为（6+7+7+8+6+7+8+7+9+5）7，甲的方差为（87）2+（67）2+（77）2+（87）2+（67）2+（57）2+（97）2+（107）2+（47）2+（77）2（1+1+1+1+4+4+9+9）3，乙的方差为（67）2+（77）2+（77）2+（87）2+（67）2+（77）2+（87）2+（77）2+（97）2+（57）2（1+1+1+1+4+4）1.2，（2）由于，则两人平均数相同，则甲数据不如乙数据稳定，故应选派乙参加比赛【点评】本题主要考查平均数和方差的计算，结合平均数和方差的公式进行计算是解决本题的关键18（12分）在ABC中，BC，AC3，sinC2sinA（1
23、）求AB的值；（2）求sin（A）的值【分析】（1）将sinC2sinA利用正弦定理化简得到c2a，根据a的值求c的值，即为AB的长；（2）由余弦定理表示出cosA，将a，b，c的值代入求出cosA的值，进而求出sinA的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）在ABC中，sinC2sinA，利用正弦定理化简得：c2a，BCa，则ABc2a2；（2）a，b3，c2，cosA，sinA，则sin（A）sinAcosA【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键19（12分）如图，在三
24、棱锥SABC中，BC平面SAC已知SAAC，点H，E，F分别为SC，AB，BC的中点（1）求证：EF平面SAC；（2）求证：AH平面SBC【分析】（1）由已知可证EFAC，利用线面平行的判定定理即可证明EF平面SAC；（2）由线面垂直的性质可证BCAH，由等腰三角形的性质可证AHSC，利用线面垂直的判定定理即可证明AH平面SBC【解答】证明：（1）E，F分别为AB，BC的中点，EFAC，又AC平面SAC，EF平面SAC，EF平面SAC；（2）BC平面SAC，AH平面SACBCAH，SAAC，点H分别为SC的中点，AHSC，又BCSCC，AH平面SBC【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂
25、直的性质和判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题20（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（a+b+c）（ab+c）3ac（l）求角B的大小；（2）已知acb2，且ABC的外接圆的半径为，若ac，求的值【分析】（1）由题意可得，a2+c2b2ac，结合余弦定理可求cosB，结合B的范围可求B的值（2）由已知利用正弦定理可得b2，可求ac，由余弦定理可解得a+c2，联立可得a，c的值，利用余弦定理可求cosA的值，根据平面向量数量积的运算即可计算得解【解答】解：（1）（a+b+c）（ab+c）3aca2+c2b2ac（3分）由余弦定理可得，cosB，0B，B（2）
26、B，ABC的外接圆的半径为，由正弦定理可得：2，可得：b2，acb2，由余弦定理可得：4a2+c2ac（a+c）23ac（a+c）23，解得：a+c2，联立可得：，或，由ac，可得：，cosA，bccosA24【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题21（12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，F为棱BB1的任一点（1）求证：D1FAC；（2）若正方体的棱长为a，求三校维D1ADC的体积和表面积【分析】（1）推导出DD1AC，ACBD，从而AC平面BDD1B1，由此能证明D1FAC（2）三棱维D1ADC的体积V，三棱维D1A
27、DC的表面积S3SADC+SADC，由此能求出结果【解答】证明：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，F为棱BB1的任一点DD1AC，ACBD，BDDD1D，AC平面BDD1B1，D1F平面BDD1B1，D1FAC解：（2）正方体的棱长为a，三棱锥D1ADC的体积：V三棱锥D1ADC的表面积：S3SADC+SADC3+【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积、表面积的求法，考查正方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）如图，有一位于A处的雷达观察站发现其北偏东45，与A相距20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于A点北偏
28、东45+（其中cos），且与A相距5海里的C处（1）求该船的行驶速度；（2）在A处的正南方向20海里E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积）如果货船继续行驶，它是否有触礁的危险？说明理由【分析】（1）利用余弦定理，即可求得结论；（2）（2）由（1）知，在ABC中，cosB，sinB，设BC延长线交AE于F，则AFB45B，ACF+B，在AFC中，由正弦定理，即可求得结论【解答】解：（1）由题意，AB，AC，BACcos，由余弦定理可得BC2AB2+AC22ABACcos125，BC5航行时间为20分钟该船的行驶速度v（海里/小时）；（2）由（1）知，在ABC中，cosB，sinB设BC延长线交AE于F，则AFB45B，ACF+B，在AFC中，由正弦定理可得，cos，AF20（海里）F与E重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定三角形，属于中档题
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