1、2018-2019学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）函数y3sin（2x+）的最小正周期是（）ABCD2（5分）已知集合A2，1，0，1，2，Bx|2x1，则AB（）A1，0B0，1C1，0，1D0，1，23（5分）幂函数f（x）x的图象经过点（2，），则等于（）A2B2CD4（5分）角的终边经过点（3，4），则cos等于（）ABCD5（5分）已知平面向量，的夹角为，|2，|1，则等于（）A1BC1D6（5分）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）Ayx2By2xCylogD
2、ylgx7（5分）设sin，（，），则tan的值为（）ABCD8（5分）已知向量（1，2），（1，1），+，如果，那么实数（）A4B3C2D19（5分）2002年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大锐角为，则cos2等于（）ABCD10（5分）将函数f（x）sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到g（x）的图象若g（x1）g（x2）9，且x1，x22，2，则|x1x2|的最大值为（）AB2C3D411（5分）如图，在ABC中，A
3、，AB3，AC5，则的值为（）ABC2D12（5分）已知函数f（x），若函数g（x）f（f（x）2（a+1）f（f（x）+a（aR）恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B0，1C（0，+）D0，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数f（x）log3（x2）的定义域为 14（5分）（1）0+（）+log2等于 15（5分）与是夹角为120的单位向量，则|+2|等于 16（5分）已知函数f（x）x|x|+4x+1，xR，若f（a）+f（a21）2，则实数a的取值范围 三、解答题：本题共6小题，共8
4、0分17（12分）设全集UR，集合Ax|1xm5，Bx|2x4（1）当m1时，求A（UB）（2）若ABA，求实数m的取值范围18（12分）函数f（x）Asin（x+）（A0，0|）在一个周期内的图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间19（12分）知点A（1，0），B（0，1），C（2sin，cos），O为坐标原点（1）若，求的值；（2）若（+2）1，求sincos的值（3）若|，求的值20（12分）如图，OPQ是半径为2圆心角为的扇形，点A在上（异于点P，Q），过点A作ABOP，ACOQ，垂足分别为B，C，记AOB，四边形ACOB的面积为S（1）求S关于的函
5、数关系式；（2）当为何值时，S有最大值，并求出这个最大值21（16分）已知函数f（x）a为奇函数（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（，+）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的tR，不等式ft2（m2）t+f（t2m+1）0恒成立，求实数m的取值范围22（16分）若函数f（x）和g（x）满足：在区间a，b上均有定义；函数yf（x）g（x）在区间a，b上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在a，b上具有关系W（1）若f（x）lnx，g（x）sinx，判断f（x）和g（x）在上是否具有关系W，并说明理由；（2）若f（x）2|x2|和g（x）mx21在1，4上具有关系W，求实数m的取
6、值范围2018-2019学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）函数y3sin（2x+）的最小正周期是（）ABCD【分析】根据函数yAsin（x+）的最小正周期是T，计算即可【解答】解：函数y3sin（2x+）的最小正周期是T故选：A【点评】本题考查了三角函数的最小正周期计算问题，是基础题2（5分）已知集合A2，1，0，1，2，Bx|2x1，则AB（）A1，0B0，1C1，0，1D0，1，2【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A2，1，0，1，2，Bx|2x
7、1，AB1，0，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）幂函数f（x）x的图象经过点（2，），则等于（）A2B2CD【分析】把点的坐标代入幂函数f（x）x中求得的值【解答】解：幂函数f（x）x的图象经过点（2，），2，解得2故选：B【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题4（5分）角的终边经过点（3，4），则cos等于（）ABCD【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos的值【解答】解：角的终边经过点（3，4），则cos，故选：C【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题5（5分）已知平面向量，的夹角为，|2，|1，则等
8、于（）A1BC1D【分析】由向量的数量积公式得：|cos2，得解【解答】解：由向量的数量积公式得：|cos2，故选：B【点评】本题考查了平面向量的数量积公式，属简单题6（5分）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）Ayx2By2xCylogDylgx【分析】A中函数在（0，+）上单调递减；B中函数在（0，+）上单调递减；C 中函数在（0，+）上单调递减；D中函数ylgx在定义域（0，+）上单调递增，从而可判断【解答】解：A中函数在（0，+）上单调递减，不符合题意；B中函数在（0，+）上单调递减，不符合题意；C 中函数在（0，+）上单调递减，不符合题意；D中函数ylgx在定义域（0，+）
9、上单调递增；故D正确故选：D【点评】本题综合考查了基础函数单调性的判断，属于基础试题7（5分）设sin，（，），则tan的值为（）ABCD【分析】根据角的范围，求出cos，再求tan【解答】解：sin，cos，tan故选：B【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，sin，cos是对应三角函数值，理解记忆；是基础题8（5分）已知向量（1，2），（1，1），+，如果，那么实数（）A4B3C2D1【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由，利用向量垂直的条件能求出实数【解答】解：向量（1，2），（1，1），+，（0，3），（1+，2+），03（2+）0，解得2故选：C【点评】本题考查实数值的求法，
10、是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用9（5分）2002年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大锐角为，则cos2等于（）ABCD【分析】根据两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出5cos5sin1，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2的值，然后根据的范围求出2的范围即可判断出cos2的正负，利用同角三角函数间
11、的基本关系由sin2即可求出cos2的值【解答】解：大正方形面积为25，小正方形面积为1，大正方形边长为5，小正方形的边长为15sin5cos1，sincos两边平方得：1sin2，sin2是直角三角形中较小的锐角，cos2故选：B【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题本题的突破点是将已知的两等式两边平方10（5分）将函数f（x）sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到g（x）的图象若g（x1）g（x2）9，且x1，x22，2，则|x1x2|的最大值为（）AB2C3D4【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，正
12、弦函数的图象的特征，得出结论【解答】解：将函数f（x）sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到g（x）sin2（x+）+2sin（2x+）+2的图象，若g（x1）g（x2）9，则g（x1）g（x2）3x1，x22，2，2x+，2x1+2k，2x2+2n，k，nZ故当2x1+，2x2+时，|x1x2|取得最大值为3，故选：C【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题11（5分）如图，在ABC中，A，AB3，AC5，则的值为（）ABC2D【分析】向量的坐标表示及运算可得：A（0，0），B（0，3），C（5，0），由，可得：F（0，），
13、E（3，0），D（，），所以（，），（，），得解【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则有A（0，0），B（0，3），C（5，0），由，可得：F（0，），E（3，0），D（，），所以（，），（，），所以+，故选：D【点评】本题考查了向量的坐标表示及运算，属简单题12（5分）已知函数f（x），若函数g（x）f（f（x）2（a+1）f（f（x）+a（aR）恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B0，1C（0，+）D0，+）【分析】利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法tf（x），作出f（x）的图象，利用数形结合判断根的个数即可，【解答】解：由g（x）f（f（x）2（a+1）f
14、（f（x）+a0得f（f（x）1f（f（x）a0，则f（f（x）1或f（f（x）a，作出f（x）的图象如图，则若f（x）1，则x0或x2，设tf（x），由f（f（x）1得f（t）1，此时t0或t2，当t0时，f（x）t0，有两个根，当t2时，f（x）t2，有1个根，则必须有f（f（x）a，（a1）有5个根，设tf（x），由f（f（x）a得f（t）a，若a0，由f（t）a0得t1，或t1，f（x）1有一个根，f（x）1有两个根，此时有3个根，不满足条件若a1，由f（t）a得t2，f（x）t有一个根，不满足条件若a0，由f（t）a得2t1，f（x）t有一个根，不满足条件若0a1，由f（t）a得1t
15、10，或0t21或，0t21，当1t10时，f（x）t1，有一个根，当0t21时，f（x）t2，有3个根，当1t32时，f（x）t3，有一个根，此时有1+3+15个根，满足条件故0a1，即实数a的取值范围是（0，1），故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键综合性较强，难度较大二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数f（x）log3（x2）的定义域为（2，+）【分析】可看出，要使得f（x）有意义，则需满足x20，从而得出f（x）的定义域【解答】解：要使f（x）log3（x2）有
16、意义，则：x20；x2；f（x）的定义域为（2，+）故答案为：（2，+）【点评】考查函数定义域的概念及求法，对数的真数大于014（5分）（1）0+（）+log2等于3【分析】进行分数指数幂和对数的运算即可【解答】解：原式故答案为：3【点评】考查分数指数幂和对数式的运算，对数的运算性质15（5分）与是夹角为120的单位向量，则|+2|等于【分析】计算（+2）2，再得出|+2|的值【解答】解：11cos120，（+2）2+4+412+43|+2|故答案为：【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题16（5分）已知函数f（x）x|x|+4x+1，xR，若f（a）+f（a21）2，则实数a的取
17、值范围（，）【分析】设g（x）x|x|+4x，则g（x）为R上的奇函数，且为增函数；把不等式f（a）+f（a21）2化为g（a）+g（a21）0，得出关于a的不等式，求出解集即可【解答】解：设g（x）x|x|+4x，xR，则g（x），又g（x）（x）|x|+4（x）（x|x|+4x）g（x），g（x）为R上的奇函数，且为增函数；由f（x）g（x）+1，不等式f（a）+f（a21）2可化为g（a）+g（a21）0，即g（a21）g（a），g（a21）g（a），a21a，a2+a10，解得aa的取值范围是（，）故答案为：（，）【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的性质与应用问题，
18、是中档题三、解答题：本题共6小题，共80分17（12分）设全集UR，集合Ax|1xm5，Bx|2x4（1）当m1时，求A（UB）（2）若ABA，求实数m的取值范围【分析】（1）当m1时，可得：Ax|2x4，解指数不等式得：Bx|212x22x|1x2，由集合的交集、补集运算得：UB，所以A（UB）（2）由ABA，则BA，集合间的包含关系，则有，解得：3m0，得解【解答】解：（1）当m1时，可得：Ax|2x4，又Bx|212x22x|1x2，所以UB，所以A（UB）（2）由ABA，则BA，又Ax|m1xm+5，则有，解得：3m0，【点评】本题考查了指数不等式的解法及集合的交集、补集运算，集合间的
19、包含关系，属简单题18（12分）函数f（x）Asin（x+）（A0，0|）在一个周期内的图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间【分析】（1）从图象中函数的顶点可求A2，利用周期公式可求得2，代入点，（0，1）结合|，得，即可得解函数解析式（2）利用正弦函数的单调性即可求解【解答】解：（1）从图象中可以得出，A2，周期为，从而可得T，得2，故f（x）2sin（2x+），（2分）代入点，由|，得，或，（4分）由f（0）1，得，又由|，得，或，综上，得，从而（6分）（2）令，得：，（10分）所以函数的单调增区间为（12分）【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+
20、）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出的值，考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题19（12分）知点A（1，0），B（0，1），C（2sin，cos），O为坐标原点（1）若，求的值；（2）若（+2）1，求sincos的值（3）若|，求的值【分析】（1）由向量共线的坐标运算得：易得cos2sin，则，（2）由数量积的坐标运算得：，由，得，所以，所以，（3）由正切函数的二倍角公式及，可得化简得：，得：，得解【解答】解：（1），因为，有（1）cos12sin0，得cos2sin，则，（2），由，得2sin+2cos1，即，所以，所以，所以，（
21、3）由，可得化简得：cos2sin，从而，可得：，即，【点评】本题考查了向量共线的坐标运算、数量积的坐标运算及正切函数的二倍角公式，属中档题20（12分）如图，OPQ是半径为2圆心角为的扇形，点A在上（异于点P，Q），过点A作ABOP，ACOQ，垂足分别为B，C，记AOB，四边形ACOB的面积为S（1）求S关于的函数关系式；（2）当为何值时，S有最大值，并求出这个最大值【分析】（1）根据题意，利用直角三角形的边角关系和三角形的面积公式，计算OAB和OAC的面积，求和即可；（2）化函数S为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出S的最大值以及对应的值【解答】解：（1）因为ABOP，所以在RtOA
22、B中，ABOAsin2sin，OBOAcos2cos，（2分）因为，所以；同理：；（4分）从而S关于的解析式为SSABO+SACOsin2+sin（2），（0）；（6分）（不写定义域扣1分）（2）化简函数，（10分）因为，所以，故当，即时S有最大值，最大值为答：当为时，面积S有最大值，最大值为（12分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题21（16分）已知函数f（x）a为奇函数（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（，+）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的tR，不等式ft2（m2）t+f（t2m+1）0恒成立，求实数m的取值范围【
23、分析】（1）直接利用奇函数的定义f（x）f（x），可求出a值；（2）直接利用函数的单调性定义证明即可；（3）利用奇函数与单调性直接转化为t2（m2）tm1t2 对tR恒成立，从而求出m的取值范围【解答】解：（1）由于函数f（x）为奇函数，所以f（x）f（x）；aa+；2a；a1（2）任意x1，x2R，且x1x2；f（x1）f（x2）11+；0；x1x200，所以，f（x1）f（x2）；则f（x）为R上的单调递增函数（3）因为f（x）1为奇函数，且在R上为增函数；所以由f（t2（m2）t）+f（t2m+1）0恒成立，得到：t2（m2）tm1t2 对tR恒成立；化简后：2t2（m2）tm+10；所
24、以（m2）2+8（m1）0；22m2+2；故m的取值范围为：（22，2+2）【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，函数单调性定义证明，以及利用函数的性质求解不等式恒成立问题，属中等题22（16分）若函数f（x）和g（x）满足：在区间a，b上均有定义；函数yf（x）g（x）在区间a，b上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在a，b上具有关系W（1）若f（x）lnx，g（x）sinx，判断f（x）和g（x）在上是否具有关系W，并说明理由；（2）若f（x）2|x2|和g（x）mx21在1，4上具有关系W，求实数m的取值范围【分析】（1）令F（x）f（x）g（x）lnxsinx，通过根据零点存在定理知
25、，函数F（x）在1，3上至少有一个零点，推出函数f（x）和g（x）在1，3上具有关系W（2）令F（x）f（x）g（x）mx2+2|x2|+1，当m0时F（x）0恒成立，当m0时，若函数在1，2上没有零点，推出函数f（x）和g（x）在1，4上具有关系W，得到m的范围【解答】解：（1）函数f（x）和g（x）在1，3上具有关系W理由如下：令F（x）f（x）g（x）lnxsinx，因为，（2分）（4分）所以又函数F（x）的图象在1，3上不间断，根据零点存在定理知，函数F（x）在1，3上至少有一个零点，所以函数f（x）和g（x）在1，3上具有关系W（6分）（2）令F（x）f（x）g（x）mx2+2|x2
26、|+1，当m0时F（x）0恒成立，所以F（x）f（x）g（x）在1，4上不存在零点；（8分）当m0时，当x1，2，二次函数的对称轴为，且开口向下，二次函数在x1，2为减函数，要使函数在1，2上有零点，则解得（12分）若函数在1，2上没有零点，则，当x（2，4时，函数F（x）mx2+2x3的对称轴，开口向下若，则，函数F（x）在（2，4上是增函数，又F（2）4m+10所以函数F（x）在（2，4恒为正，则函数F（x）在（2，4上无零点（14分）若，则函数F（x）在（2，4上为减函数此时F（2）4m+1110，所以函数F（x）在（2，4上恒为负，所以函数F（x）在（2，4上无零点综上，函数f（x）和g（x）在1，4上具有关系W，则（16分）【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，函数与方程的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，考查计算能力
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