高中数学考点13三角函数的图象与性质

1、高中数学考点13 三角函数的图象与性质1理解正弦函数的图象与性质.2理解余弦函数的图象与性质.3理解正切函数的图象与性质.4了解三角函数的周期性.5了解函数的实际意义，掌握的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响.一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性,奇函数，偶函数，奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是

2、中心对称图形但不是轴对称图形.二、函数的图象与性质1函数的图象的画法（1）变换作图法由函数的图象通过变换得到（A0,0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. （2）五点作图法找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： 先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； 令,令X分别取0，,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点； 描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.2函数（A0,0）的性质（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .（3）单

3、调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. （4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.3函数（A0,0）的物理意义当函数（A0,0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.三、三角函数的综合应用（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对

4、于，当且仅当时为奇函数 （5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定【注】函数，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.考向一 三角函数的图象变换函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y=sin x，y=Asin(x)或

5、y=Acos(x)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|个单位，都是相应的解析式中的x变为x|，而不是x变为x|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.典例1 将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A BC D【答案】A【解析】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到的图象，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，则当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A【名师点睛】（1）进行三角函数的图象

6、变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向1为了得到函数的图象，可以将函数的图象A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度考向二 确定三角函数的解析式结合图象及性质求解析式y=Asin(x)B(A0，0)的方法（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.（2）求，已知函数的周期T，则.（3）求，常用方法有：

7、代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，B已知)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为x=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x=；“第四点”(即图象的“谷点”)为x=；“第五点”为x=2.典例2 已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,0）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，|2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数f(x)的图象A关于点对称 B关于点

8、对称C关于直线对称 D关于直线对称考向四 函数的性质与其他知识的综合应用与三角恒等变换、平面向量、解三角形相结合的问题常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函数解析式为y=Asin(x)B的形式，再结合正弦函数y=sinx的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解典例5 已知向量，函数（）的最小正周期是.（1）求的值及函数的单调递减区间；（2）当时,求函数的值域.【解析】（1） ，又的最小正周期为，.令，得，函数的单调递减区间为.（2），,故的值域为.典例6 已知函数fx=23sin24+x+2sin4+xcos4+x.（1）求函数fx的单调递增区间；（2）在AB

9、C中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A满足fA=3+1，若a=3，BC边上的中线长为3，求ABC的面积S.【解析】（1）fx=23sin24+x+2sin4+xcos4+x=31-cos2+2x+sin2+2x=3sin2x+cos2x+3=2sin2x+6+3.令，得，所以函数的单调递增区间为，.（2），因为，所以，所以，则，又BC上的中线长为3，所以AC+AB=6，所以AC2+AB2+2ACAB=36，即b2+c2+2bccosA=36，所以b2+c2+bc=36，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，所以b2+c2-bc=9，由得：bc=272，所以SABC=12b

10、csinA=2738.7已知函数.（1）求的最小正周期；（2）设的内角，的对边分别为，且，若，求，的值.1函数的最小正周期为ABCD2函数f(x)=cos2x2sinx的最大值与最小值的和是A2B0CD3函数的一个单调递增区间是A BC D4函数的图象的大致形状是A B C D 5已知函数,则下列结论中正确的是A既是奇函数又是周期函数 B的图象关于直线对称C的最大值为1 D在区间上单调递减6已知函数的部分图象如图所示，现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为A BC D7已知函数()，若，且，则A B C D8已知函数，则的最小正周期是_，当时，的取值范围是_9

11、已知函数，是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则_10已知函数f(x)=Asin(x+)（其中A0，2）的图象如图所示，为了得到g(x)=sin3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移_个单位长度.11将函数fx=2sin2x+0的图象向左平移3个单位长度，得到偶函数gx的图象，则的最大值是_12已知函数fx=sinx+03,2，若f-12=f512=0，则f=_13已知函数（1）求的值；（2）求函数的最小正周期和单调递增区间14已知函数fx=3sinxcosx+sin2x-1200)两个相邻的极值点，则=A2BC1D3（2019年高考全国卷文数）函数在0，2的零点个数为A2 B3 C4D5

12、4（2019年高考全国卷理数）关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（，）单调递增f(x)在有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A BCD5（2019年高考全国卷理数）下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df(x)=sin|x|6（2019年高考全国卷理数）设函数=sin（）(0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：在（）有且仅有3个极大值点在（）有且仅有2个极小值点在（）单调递增的取值范围是)其中所有正确结论的编号是ABCD7（2019年高考北京卷文数）设函数f（

13、x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8（2019年高考天津卷文数）已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则A2BCD29（2018年高考全国卷文数）函数的最小正周期为ABCD10（2018年高考全国卷文数）已知函数，则A的最小正周期为，最大值为3B的最小正周期为，最大值为4C的最小正周期为，最大值为3D的最小正周期为，最大值为411（2018年高考天津卷文数）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的

14、函数A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减12（2018年高考全国卷文理数）若在是减函数，则的最大值是ABC D13（2017年高考全国卷文数）函数的最小正周期为A BC D 14（2017年高考全国卷文数）函数的最大值为A B1C D 15（2017年高考全国理数）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩

15、短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C216（2017年高考全国理数）设函数，则下列结论错误的是A的一个周期为B的图象关于直线对称C的一个零点为D在(，)单调递减17（2017年高考天津卷文数）设函数，其中若且的最小正周期大于，则ABCD18（2019年高考全国卷文数）函数的最小值为_19（2019年高考北京卷理数）函数f（x）=sin22x的最小正周期是_20（2018年高考江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是_21（2019年高考浙江卷）设函数.（1）已知

16、函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域22（2017浙江）已知函数（1）求的值（2）求的最小正周期及单调递增区间23（2018年高考北京卷文数）已知函数.（1）求的最小正周期； （2）若在区间上的最大值为，求的最小值.24（2017年高考江苏卷）已知向量（1）若ab，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值变式拓展1【答案】B【解析】由题意，函数，所以为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选B【名师点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时的系数是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.先化简函数，再根据三角函数的图象变

17、换，即可求解2【答案】【解析】由图可得，又，又，可得的解析式为，将的图象向右平移个单位后的解析式为.故答案为.【名师点睛】本题考查由的部分图象确定函数解析式，考查函数的图象变化，考查识图与运算能力，属于中档题.求解时，由图可得，可得的值，由，可得的值，从而可得的解析式，利用的图象变换可得答案.3【答案】C【解析】把=2sin（2x）+1的图象向左平移个单位长度，得到函数y=2sin2（x+）+1=2sin（2x+）+1的图象，再向下平移1个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）的图象.对于A，由于T=，故A正确；对于B，由2x+=k+，kZ，解得：x=+，kZ，可得：当k=0时，y

18、=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=，故B正确；对于C，g（）=2sin（2+）=0，故C正确；对于D，由2k+2x+2k+，kZ，解得：k+xk+，kZ，可得函数y=g（x）在区间，上单调递减，故D错误故选C【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，函数y=Asin（x+）的图象的对称性，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题利用两角差的正弦函数公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得g（x），利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解4【解析】（1）由，得所以的单调递增区间为.（2）因为，所以，所以，故,所以的最大值为，由题意得，解

19、得所以实数的值为3.5【答案】D【解析】对于函数，将函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则令，求得，为最小值，可得函数的一条对称轴为，故不是函数的一个对称中心故D正确、而A不正确；令 ，求得，故的值不为最值，且，故B、C错误，故选D6【答案】B【解析】因为函数fx的图象相邻两条对称轴之间的距离为4，所以函数fx的周期为2，则=2T=4，从而fx=sin4x+，将函数fx的图象向左平移316个单位后，得到函数y=sin4x+316+的图象，由题意知该图象关于y轴对称，则4316+=k+2,kZ，即=k-4,kZ，又0,0)的图象求解析式：(1).(2)由函数的周期T求,T=2.(3)利用“五点

20、法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求.7【答案】B【解析】设f(x)的最小正周期为T，由f(x1)=1，f(x2)=0，|x1x2|min=，得,由f() =，得，即.又，则，故选B8【答案】，【解析】函数，函数的最小正周期是；由，得，的取值范围是.故答案为：.9【答案】1【解析】令的最小正周期为，由，可得，由是函数图象上相邻的最高点和最低点，则由勾股定理可得，即，解得，故，可得，故，故答案为.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.解本题时，根据勾股定理可得，求得，从而可得函数解析式，进而可得结果.

21、10【答案】【解析】只与平移有关，没有改变函数图象的形状，=3，又函数的图象的第二个点是（，0），3+=，于是=，则f（x）=sin（3x+），故g（x）=sin3x=sin3（x）+，函数f（x）的图象要向右平移个单位.11【答案】-6【解析】函数fx=2sin2x+0的图象向左平移3个单位长度，得到y=2sin2(x+3)+=2sin(2x+23+)，即g(x)=2sin(2x+23+)的图象，又g(x)为偶函数，所以23+=2+k,kZ，即=-6+k,kZ，又因为0，所以的最大值为-6.12【答案】12【解析】因为周期T=2，023.因为512-(-12)=2， f-12=f512=0，

22、所以(-12,0),(512,0)为相邻的对称中心，所以T=2=22=，所以=2，所以f(x)=sin(2x+).因为f-12=0，所以sin2(-12)+=sin(-6+)=0，所以-6+=k,=6+k(kZ).因为2，所以=6，所以f(x)=sin(2x+6)，所以f()=sin(2+6)=sin6=12.13【答案】（1）；（2）；.【解析】，（1）；（2）的最小正周期，令得：，的单调递增区间是.【名师点睛】本题考查三角函数函数值求解、周期性和单调区间的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，属于常考题型.14【解析】（1）函数，的图象的一条对称轴为，令，可得

23、，则（2）将函数的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的图象，若，则15【解析】（1）由，则，即函数的周期，故的最小正周期为（2）因为，所以，所以，又，所以，所以，又，由余弦定理得：，所以，所以，所以.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和利用余弦定理求解三角形，侧重考查数学运算的核心素养.（1）先根据向量的运算规则求解，然后化简可求；（2）先求角，结合余弦定理求出，可得面积.16【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由图象可知，A2因为，所以T所以，解得2又因为函数f（x）的图象经过点，所以，解得又因为，所以所以 （2）因为 x0，m，所以，当时，即时，f（x）单调递增，所以f（x）f（

24、0）1，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，不符合题意.综上，若对于任意的x0，m，有f（x）1恒成立，则必有，所以m的最大值是【名师点睛】本题主要考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求，确定函数的最小正周期T，则可得；(3)求，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时

25、要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)特殊点法：确定值时，往往以寻找“最值点”为突破口具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时x；“最小值点”(即图象的“谷点”)时x.17【答案】（1）；（2）.【解析】（1），所以的最小正周期为 （2）因为，所以 因为在上是增函数，在上是减函数，所以在上是增函数，在上是减函数 又因为，所以要使得关于的方程在区间内有两个不相等的实数解，只需满足故实数的取值范围是.18【答案】（1）；（2）.【解析】（1）.函数的两个对称中心之间的最小距离为.,得即,得，即，则.（2）令，得,当时,，当且时,才有两个相同的函数值,此时，则，即，即，即实数的取值范围是.【名

26、师点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查三角函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查三角函数值域的求法，属于中档题.19【答案】（1）a=1，-8+k,38+kkZ；（2）-,-1.【解析】（1）fx=2sinxsinx+cosx-a=2sin2x+2sinxcosx-a=1-cos2x+sin2x-a=2sin2x-4+1-a.因为fx经过点2,1，所以2sin-4+1-a=1，a=1，因为y=sinx的单调递增区间为-2+2k,2+2k,kZ，所以-2+2k2x-42+2k,kZ，所以-8+kx38+k,kZ，故fx的单调递增区间为-8+k,38+kkZ.（2）由（1）知

27、fx=2sin2x-4，因为x0,2，所以2x-4-4,34，当2x-4=-4，即x=0时，fxmin=-1，因为fxm恒成立即mfxmin，所以m-,-1.直通高考1【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A又，排除B，C，故选D【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案2【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得故选A【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养利用周期公式

28、，通过方程思想解题3【答案】B【解析】由，得或，在的零点个数是3，故选B【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.4【答案】C【解析】为偶函数，故正确当时，它在区间单调递减，故错误当时，它有两个零点：；当时，它有一个零点：，故在有个零点：，故错误当时，；当时，又为偶函数，的最大值为，故正确综上所述，正确，故选C【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得正确5【答案】A【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C；作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A

29、正确；作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择本题也可利用二级结论：函数的周期是函数周期的一半；不是周期函数.6【答案】D【解析】若在上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故正确；由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故错误；当=sin（）=0时，=k（kZ），所以，因为在上有5个零点，所以当k=5时，当k=6时，解得，故正确.函数=sin（）的增区间为：，.取k=0，当时，单调递增区间为，当时，单调递增区

30、间为，综上可得，在单调递增.故正确.所以结论正确的有.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错7【答案】C【解析】时，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R的函数为偶函数等价于恒成立进行判断.8【答案】C【解析】为奇函数，；的最小正周期为，又，故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值

31、问题，解题关键是求出函数，结合函数性质逐步得出的值即可.9【答案】C【解析】，故所求的最小正周期为，故选C.【名师点睛】函数的性质：(1).(2)最小正周期(3)由求对称轴.(4)由求增区间;由求减区间.10【答案】B【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.11【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误.故