高中数学考点10变化率与导数、导数的计算

1、高中数学考点10 变化率与导数、导数的计算1了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.2会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如f(ax+b)的导数）.一、导数的概念1平均变化率函数从到的平均变化率为，若，则平均变化率可表示为.2瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.3瞬时变化率定义式实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢4导数的概念一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的

2、导数，记作或，即.【注】函数在处的导数是在处的瞬时变化率.5导函数的概念如果函数在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称在区间(a，b)内可导这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数，于是在区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数(简称导数)，记为或，即.二、导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0=f (x0)(xx0)；（2）当点P(x0，y0)

3、不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f (x1)；第二步：写出过P(x1，f (x1)的切线方程为yf (x1)=f (x1)(xx1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf (x1)=f (x1)(xx1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程三、导数的计算1基本初等函数的导数公式函数导数f (x)=C(C为常数)=f (x)=sin xf (x)=cos xf (x)=ln x2导数的运算法则（1）.（2）.（3）.3复合函数的导数复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为yx=y

4、uux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积考向一 导数的计算1导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导（2）方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.2求复合函数的导数的关键环节和方法步骤（1）关键环节： 中间变量的选择应是基本函数结构；正确分析出复合过程；一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；

5、善于把一部分表达式作为一个整体；最后结果要把中间变量换成自变量的函数.（2）方法步骤：分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；求每一层基本初等函数的导数；每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.典例1 求下列函数的导函数：（1）； （2）；（3）； （4）.【解析】（1），；（2），；（3），；（4），.【名师点睛】熟记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导数的基础.（1）运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数在开区间(a,b)内的导数的基本步骤：分析函数的结构和特征；选择恰当的求导公式和运算法则求导；整理得结果.（2）对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数

6、函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导. 1下列函数求导运算正确的个数为；ABCD2已知，则_.考向二 导数的几何意义求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f (x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f (x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y

7、=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f (x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f (x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程（5）在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上典例2 已知函数.（1）求这个函数的图象在处的切线方程；（2）若过点的直线与这个函数图象相切，求直线的方程.【解析】（1），

8、当时，这个函数的图象在处的切线方程为.（2）设直线与这个函数的图象的切点为，则直线的方程为，由直线过点，得，则直线的斜率为，从而直线的方程为.【规律总结】求切线方程的步骤：(1)利用导数公式求导数(2)求斜率(3)写出切线方程注意导数为0和导数不存在的情形 3曲线在点处的切线方程为ABCD1已知为可导函数，且，则ABCD2曲线在点处的切线的倾斜角为ABCD3已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则实数的值为ABCD4曲线在点处的切线方程是A BC D5已知函数f(x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是A0f(2)f(3)f(3)-f(2)B0f(3)f(2)f(3)

9、-f(2)C0f(3)f(3)-f(2)f(2)D0f(3)-f(2)f(2)f(3)6函数的图象在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为A BC D7已知fx是函数fx的导函数，且对任意的实数x都有fx=ex2x-2+fx（e是自然对数的底数），f0=1，则Afx=exx+1 Bfx=exx-1Cfx=exx+12 Dfx=exx-128设过曲线f(x)=ex+x+2a（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)=a2(1-2x)-2sinx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为A-1,1 B-2,2C-1,2 D-2,19已知，则_10已知函数fx的导

10、函数为fx，且满足fx=2xfe+lnx，则fe=_11曲线在处的切线方程为_12设曲线在点处的切线与直线平行，则_13曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_14求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）15已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为（1）求和的值；（2）求函数的解析式1（2019年高考全国卷文数）曲线y=2sinx+cosx在点(，-1)处的切线方程为AB CD2（2019年高考全国卷理数）已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A Ba=e，b=1C D，3（2018年高考全国卷理数）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为ABCD4（20

11、19年高考全国卷理数）曲线在点处的切线方程为_5（2018年高考全国卷理数）曲线在点处的切线方程为_6（2018年高考全国卷理数）曲线在点处的切线的斜率为，则_7（2019年高考天津文数）曲线在点处的切线方程为_.8（2018年高考天津文数）已知函数f(x)=exlnx，f(x)为f(x)的导函数，则f （1）的值为_9（2017年高考全国卷文数）曲线在点（1，2）处的切线方程为_10（2017年高考天津文数）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为_11（2019年高考江苏）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 .12（2019年高考

12、北京理数节选）已知函数（1）求曲线的斜率为1的切线方程；13（2018年高考全国卷文数节选）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；变式拓展1【答案】B【解析】，故错误；，故正确；，故正确；，故错误；，故错误故选B【名师点睛】此题考查了求导的运算，要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题2【答案】【解析】由题可得，令，则，解得，所以，则.【名师点睛】本题考查导函数，解题的关键是先求出，属于一般题.3【答案】C【解析】记，则，所以曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，整理得：，故选：C.【名师点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数计算，考查转化能力，属于较易题.考点

13、冲关1【答案】B【解析】因为，故选B2【答案】B【解析】因为，所以，所以曲线在点处切线的斜率是，故该切线的倾斜角为故选B3【答案】B【解析】因为，所以，解得，故选B4【答案】D【解析】因为，所以曲线上点的坐标为，因为，所以，所以切线方程为，即.所以选D.【名师点睛】本题考查了求导的基本运算，导数的意义及切线方程的求法，属于基础题.根据曲线上点的导数值为在该点处切线方程的斜率，再由点坐标即可得到切线方程.5【答案】C【解析】结合函数的图象可知过点A(2,f(2)的切线的倾斜角较大，过点B(3,f(3)的切线的倾斜角较小，又因为过点A(2,f(2)的切线的斜率k1=f(2)，过点B(3,f(3)的

14、切线的斜率k2=f(3)，直线AB的斜率kAB=f(3)-f(2)3-2=f(3)-f(2)，故f(3)f(3)-f(2)f(2)，应选C.6【答案】C【解析】因为，所以函数在处的切线斜率为，当时，所以切点的坐标为，所以切线方程为，则切线与轴的交点为，与轴的交点为，所以围成的三角形面积为.所以选C.【名师点睛】本题考查了导函数几何意义的简单应用，导函数的意义为在某一点处切线方程的斜率，关键是区分点是否在曲线上，属于简单题.根据导函数在函数上点的斜率为导函数的性质，可求得切线方程为，求出切线方程与x轴、y轴的交点即可求出三角形面积.7【答案】D【解析】令G（x）=，则G（x）=f(x)-f(x)

15、ex=2x-2，可设G（x）=x2-2x+c，G（0）=f（0）=1，c=1f（x）=（x2-2x +1）ex=exx-12.故选D.8【答案】C【解析】因为切线l1，l2的切点分别为(x1,f(x1),(x2,g(x2),而f(x)=ex+1,g(x)=-a-2cosx，所以f(x1)=ex1+1,g(x2)=-a-2cosx2.因为l1l2，所以(ex1+1)(-a-2cosx2)=-1，a+2cosx2=1ex1+1.因为1ex1+1(0，1），a+2cosx2a-2,a+2，所以(0，1)a-2,a+2，因此0a-2,a+21，则-1a2，选C9【答案】-1【解析】对函数f(x) 求导

16、得f(x)=cosx-sinx，所以f()=cos-sin=-1.10【答案】-e-1【解析】求导得fx=2fe+1x，把x=e代入得fe=e-1+2fe，解得fe=-e-111【答案】【解析】由可得，则，即曲线在处的切线斜率为，由点斜式可得曲线在处的切线方程为，化为，故答案为.12【答案】4【解析】由得：又曲线在点处的切线与直线平行，即.故填4.【名师点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，属于中档题.13【答案】【解析】由，得，曲线在点处的切线方程为令，得；令，得切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 14【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】

17、（1）因为，所以（2）（3）（4）因为，所以15【答案】（1），；（2）.（1）在点处的切线方程为，故点在切线上，且切线斜率为，得且 （2）过点，由得，又由，得，联立方程得，解得，故直通高考1【答案】C【解析】则在点处的切线方程为，即故选C【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程2【答案】D【解析】切线的斜率，将代入，得.故选D【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和

18、点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.3【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f(x)=3x2+1，所以f(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f(0)x，化简可得y=x.故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线y=f(x)在某个点(x0,f(x0)处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求

19、得结果.4【答案】【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求5【答案】y=2x【解析】y=2x+1，在点（0,0）处切线的斜率为k=20+1=2，则所求的切线方程为y=2x.【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知的曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.6【答案】-3【解析】，则，所以a=-3.【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.7

20、【答案】【解析】，故所求的切线方程为，即.【名师点睛】曲线切线方程的求法：（1）以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f(x)；求切线的斜率f(x0)；写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简（2）如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程8【答案】e【解析】由函数的解析式可得f(x)=exlnx+ex1x=exlnx+1x，则f(1)=e1ln1+11=e.即f1的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解

21、能力.9【答案】【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为10【答案】【解析】由题可得，则切点为，因为，所以切线l的斜率为，切线l的方程为，令可得，故在轴上的截距为【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率，切线方程为解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解11【答案】4【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由得（舍去），曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.故答案为【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.12【答案】（1）与.【解析】（1）由得.令，即，得或.又，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与.13【答案】（1）.【解析】（1），因此曲线在点处的切线方程是