1、2017-2018学年辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A是棱台B是圆台C是棱锥D不是棱柱2（5分）已知集合Ax|x25x+60，集合Bx|2x4，则集合AB（）Ax|2x3Bx|2x3Cx|2x3Dx|2x33（5分）下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（）ABCD4（5分）直线3x+4y20和直线6x+8y+10的距离是（）ABCD5（5分）如图，ABC水平放置的直观图为A'B'C'
2、;，A'B'，B'C'分别与y'轴、x'轴平行，D'是B'C'边中点，则关于ABC中的三条线段AB，AD，AC命题是真命题的是（）A最长的是AB，最短的是ACB最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB，最短的是ADD最长的是AC，最短的是AD6（5分）已知直线l1；2x+y20，l2：ax+4y+10，若l1l2，则a的值为（）A8B2CD27（5分）如图，网格线上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积是（）A3B2CD8（5分）关于不同的直线m，n与不同的平面，有下列四个命题：m，n，且，则
3、mnm，n，且，则mnm，n，且，则mnm，n，且，则mn其中正确的命题的序号是（）ABCD9（5分）已知圆和圆，则两圆的位置关系为（）A内含B内切C相交D外切10（5分）若直线ykx与圆（x2）2+y21的两个交点关于直线2x+y+b0对称，则k，b的值分别为（）ABCD11（5分）直线yx与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）A1，2）B1，2C（1，2D2，+）12（5分）三棱锥ABCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且ABC，BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥ABCD的体积是（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）计算： &n
4、bsp; 14（5分）已知直线l经过点P（2，5），且与直线4x+3y+20平行，则直线l的方程为 15（5分）已知两定点A（2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|2|PB|，则动点P的轨迹所包围的图形的面积为 16（5分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知ABC中，A（2，1），B（4，3），C（3，2）（1）求BC边上的高所在直线方程的一般式；（2）求ABC的面
5、积18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形ABCD，PC底面ABCD，该四棱锥的正视图和侧视图均为腰长为6的等腰直角三角形（1）画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（2）求证：ADPD；（3）求四棱锥PABCD外接球的直径19（12分）已知点M（3，1），圆（x1）2+（y2）24（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线axy+40与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为，求a的值20（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB、BB1的中点，ABBC（1）证明：BC1平面A1CD；（2）平面A1EC平面ACC1A121（12分）已知函数f（x）lg（x+2）
6、lg（2x）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求不等式f（x）1的解集22（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC2，E是PC的中点，过E点作EFPB交PB于点F（1）证明：PA平面EDB；（2）证明：PB平面EFD；（3）求三棱锥EBCD的体积2017-2018学年辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A是棱台B是圆台C是棱锥D不
7、是棱柱【分析】利用棱锥、棱台、圆台、棱柱的定义，判断选项即可【解答】解：A不满足棱台的定义；B不满足圆台的定义；C是棱锥正确；D是棱柱，不正确；故选：C【点评】本题考查棱柱、棱锥、圆台、棱台的判断，是基本知识的考查2（5分）已知集合Ax|x25x+60，集合Bx|2x4，则集合AB（）Ax|2x3Bx|2x3Cx|2x3Dx|2x3【分析】先分别求出集合A，集合B，由此利用交集定义能求出集合AB【解答】解：集合Ax|x25x+60x|2x3，集合Bx|2x4x|x2，集合ABx|2x3故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用3（5分）下列四个几何体
8、中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（）ABCD【分析】判断满足题意的三视图的视图形状，推出结果即可【解答】解：正方体的三视图都是正方形，不正确；圆锥的正视图与侧视图都时等腰三角形，俯视图是圆，所以正确；三棱台的三视图没有相同的图形，所以不正确；正四棱锥的正视图与侧视图都时等腰三角形，俯视图是轮廓是正方形，所以正确；故选：D【点评】本题考查简单几何体的三视图的判断，是基本知识的考查4（5分）直线3x+4y20和直线6x+8y+10的距离是（）ABCD【分析】直线6x+8y40和直线6x+8y+10，代入两平行线间的距离公式，即可得到答案【解答】解：由题意可得：3x+4y20和直线6
9、x+8y+10，即直线6x+8y40和直线6x+8y+10，结合两平行线间的距离公式得：两条直线的距离是d，故选：B【点评】先把两平行直线的对应变量的系数化为相同的，再利用两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离5（5分）如图，ABC水平放置的直观图为A'B'C'，A'B'，B'C'分别与y'轴、x'轴平行，D'是B'C'边中点，则关于ABC中的三条线段AB，AD，AC命题是真命题的是（）A最长的是AB，最短的是ACB最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB，最短的是ADD最长的是AC，最短的是AD
10、【分析】由斜二测法规则，在原图形ABC中，ABBC，AD为BC边上的中线，从而ABC是直角三角形，AD为BC边上的中线，AC为斜边长，由此能求出结果【解答】解：ABC水平放置的直观图为A'B'C'，A'B'，B'C'分别与y'轴、x'轴平行，D'是B'C'边中点，由斜二测法规则，在原图形ABC中，ABBC，AD为BC边上的中线，ABC是直角三角形，AD为BC边上的中线，AC为斜边长，关于ABC中的三条线段AB，AD，AC中，最长的是AC，最短的是AB故选：B【点评】本题考查三角形中三条线段长的比较，
11、考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题6（5分）已知直线l1；2x+y20，l2：ax+4y+10，若l1l2，则a的值为（）A8B2CD2【分析】由直线方程分别求出l1、l2的斜率，再由l1l2得斜率之积为1，列出方程并求出a的值【解答】解：由题意得，l1：2x+y20，l2：ax+4y+10，则直线l1的斜率是2，l2的斜率是，l1l2，（）（2）1，解得a2，故选：D【点评】本题考查直线垂直的条件应用，属于基础题7（5分）如图，网格线上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积是（）A3B2CD【分析】由几何体的三视图得该几何体是三
12、棱锥SABC，其中SA平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ABAC2，SA1，由此能求出该几何体的体积【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥SABC，其中SA平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ABAC2，SA1，如图，该几何体的体积：V故选：D【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题8（5分）关于不同的直线m，n与不同的平面，有下列四个命题：m，n，且，则mnm，n，且，则mnm，n，且，则mnm，n，且，则mn其中正确的命题的序号是（）ABCD【分析】在中，由线面垂直的性质定理及面面
13、垂直的性质定理得mn；在中，m与n相交、平行或异面；在中，由线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理得mn；在中，m与n相交、平行或异面【解答】解：由不同的直线m，n与不同的平面，知：在中，m，n，且，则由线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理得mn，故正确；在中，m，n，且，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，m，n，且，则由线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理得mn，故正确；在中，m，n，且，则m与n相交、平行或异面，故错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合
14、思想，是中档题9（5分）已知圆和圆，则两圆的位置关系为（）A内含B内切C相交D外切【分析】求出圆的标准方程，结合两圆的位置关系进行判断即可【解答】解：两圆的标准方程为（x）2+（y2）21，x2+（y3）29，圆心坐标分别为C1（，2），C2（0，3），半径分别为R1，r3，则|C1C2|231rR，即两圆相内切，故选：B【点评】本题主要考查两圆位置关系的判断，求出圆的标准方程是解决本题的关键10（5分）若直线ykx与圆（x2）2+y21的两个交点关于直线2x+y+b0对称，则k，b的值分别为（）ABCD【分析】直线2x+y+b0的斜率为2，并且直线经过圆的圆心，圆心（2，0）在直线2x+y+
15、b0上，由此能出结果【解答】解：因为直线ykx与圆（x2）2+y21的两个交点关于直线2x+y+b0对称，直线2x+y+b0的斜率为2，所以k并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b0上，所以4+0+b0，b4故选：A【点评】本题考查实数值的求法，考查圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解，考查函数与方程思想，是基础题11（5分）直线yx与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）A1，2）B1，2C（1，2D2，+）【分析】由直线yx与函数的图象恰有三个公共点，作出图象，结合图象，能得到实数m的取值范围【解答】解：解方程组，得，或，由直线yx与函数的图象
16、恰有三个公共点，作出图象，结合图象，知1m2实数m的取值范围是（1，2故选：C【点评】本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用12（5分）三棱锥ABCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且ABC，BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥ABCD的体积是（）ABCD【分析】利用等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式即可得出【解答】解：如图所示，连接OB，OCABC、BCD都是边长为1的等边三角形，OBAD，OCAD，OBOCOB2+OC2BC2，BOC90三棱锥ABCD的体积VAD故选：B【点评】熟练掌握等
17、边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式是解题的关键二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）计算：3【分析】直接利用对数与指数的运算法则化简求解即可【解答】解：lg100+13故答案为：3【点评】本题考查指数与对数的运算法则的应用，考查计算能力14（5分）已知直线l经过点P（2，5），且与直线4x+3y+20平行，则直线l的方程为4x+3y70【分析】设直线l的方程为：4x+3y+m0，把点P（2，5）代入解得m即可得出【解答】解：设直线l的方程为：4x+3y+m0，把点P（2，5）代入可得：8+15+m0，解得m7直线l的方
18、程为4x+3y70故答案为：4x+3y70【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题15（5分）已知两定点A（2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|2|PB|，则动点P的轨迹所包围的图形的面积为4【分析】设P点的坐标为（x，y），利用两点间的距离公式代入等式|PA|2|PB|，化简整理得（x2）2+y24，所以点P的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所求图形的面积【解答】解：设P点的坐标为（x，y），A（2，0）、B（1，0），动点P满足|PA|2|PB|，2，平方得（x+2）2+y24（x1）2+y2，化简得（x2）2+y2
19、4，点的轨迹是以（2，0）为圆心、2为半径的圆，因此，点P的轨迹所包围的图形的面积S224故答案为：4【点评】本题给出动点的轨迹，求轨迹所包围的图形的面积着重考查了两点间的距离公式、圆的标准方程、圆的面积公式和动点轨迹的求法等知识，属于中档题16（5分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为8【分析】设ACa，CC1b，有截面BC1D是面积为6的直角三角形，求出a，b然后求出体积【解答】解：设ACa，CC1b，截面BC1D是面积为6的直角三角形，则由（a2+b2）2a2+b2，得b22a2，又a26，a28，V848故答
20、案为：8【点评】本题考查棱柱的体积的求法，考查计算能力，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知ABC中，A（2，1），B（4，3），C（3，2）（1）求BC边上的高所在直线方程的一般式；（2）求ABC的面积【分析】（）利用斜率计算公式可得kBC5，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得BC边上的高AD所在直线斜率，再利用点斜式即可得出（） 利用点斜式可得BC的直线方程，利用点到直线的距离公式可得点A到直线BC的距离，再利用两点之间的距离公式可得|BC|，即可得出ABC的面积【解答】解：（）因为kBC5，所以BC边上的高AD所在直
21、线斜率k所以AD所在直线方程为即x+5y+30（） BC的直线方程为：点A到直线BC的距离为，ABC的面积S3【点评】本题考查了直线的点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形ABCD，PC底面ABCD，该四棱锥的正视图和侧视图均为腰长为6的等腰直角三角形（1）画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（2）求证：ADPD；（3）求四棱锥PABCD外接球的直径【分析】（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线），边长为6的正方形，由此能求出该俯视图的面积（2）由PC底面ABCD，
22、得PCAD，由底面为正方形ABCD，得DCAD，从而AD面PCD，由此能证明ADPD（3）由侧视图得由正视图可知AD6，在RtAPD中，由此能求出四棱锥PABCD外接球的直径【解答】解：（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线），边长为6的正方形，如图，其面积为36证明：（2）因为PC底面ABCD，AD底面ABCD，所以PCAD，由底面为正方形ABCD，所以DCAD，DCCPC，DC面PCD，PC面PCD，所以AD面PCD，PD面PCD，所以ADPD解：（3）由侧视图可求得由正视图可知AD6，所以在RtAPD中，所以四棱锥PABCD外接球的直径为：2R【点评】本题考查俯视图的作法，考查线线垂直的证
23、明，考查四棱锥外接球的直径的求法，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题19（12分）已知点M（3，1），圆（x1）2+（y2）24（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线axy+40与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为，求a的值【分析】（1）根据点到直线的距离等于半径进行求解即可（2）根据直线和圆相交时的弦长公式进行求解【解答】解：（1）由题意知圆心的坐标为（1，2），半径r2，当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x3由圆心（1，2）到直线x3的距离312r
24、知，此时，直线与圆相切当过点M的直线的斜率存在时，设方程为y1k（x3），即kxy+13k0由题意知，解得，方程为3x4y50故过点M的圆的切线方程为x3或3x4y50（2）圆心到直线axy+40的距离为，解得【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切和相交时的弦长公式是解决本题的关键20（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB、BB1的中点，ABBC（1）证明：BC1平面A1CD；（2）平面A1EC平面ACC1A1【分析】（1）连结AC1，交A1C点O，连DO，推出ODBC1，即可证明BC1平面A1CD（2）取AC的中点F，连结EO，OF，FB，证明
25、四边形BEOF是平行四边形，证明BFAC，BFCC1，得到BF平面ACC1A1，然后证明平面A1EC平面ACC1A1【解答】解：（1）连结AC1，交A1C点O，连DO，则O是AC1的中点，因为D是AB的中点，故ODBC1（2分）因为OD平面A1CD，BC1平面A1CD（3分）所以BC1平面A1CD（4分）（2）取AC的中点F，连结EO，OF，FB，因为O是AC1的中点，故OFAA1且AA1（5分）显然BEAA1且AA1所以OFBE且OFBE（6分）则四边形BEOF是平行四边形（7分）所以EOBF（8分）因为ABBC所以BFAC（9分）又BFCC1所以直线BF平面ACC1A1（10分）因为EOB
26、F所以直线EO平面ACC1A1（11分）所以平面A1EC平面ACC1A1（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查逻辑推理能力21（12分）已知函数f（x）lg（x+2）lg（2x）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求不等式f（x）1的解集【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明（3）根据对数函数的单调性进行判断【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义则，解得2x2故所求函数f（x）的定义域为（2，2）（2）由（）知f（x）的定义域为（
27、2，2），设x（2，2），则x（2，2）且f（x）lg（x+2）lg（2+x）f（x），故f（x）为奇函数（3）因为f（x）在定义域（2，2）内是增函数，因为f（x）1，所以，解得x所以不等式f（x）1的解集是（，2）【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，结合函数奇偶性单调性的性质是解决本题的关键22（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC2，E是PC的中点，过E点作EFPB交PB于点F（1）证明：PA平面EDB；（2）证明：PB平面EFD；（3）求三棱锥EBCD的体积【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE证明OEPA推出PA平面
28、EDB（2）证明PDBCCDBC转化证明CD平面PCD，通过证明DEBCDEPC证明DE平面PBC推出DEPB 又EFPB，证明PB平面EFD（3）利用求解即可【解答】证明：（1）连接AC交BD于点O，连接OE底面ABCD是正方形，点O是AC的中点又E为PC的中点，OEPA又OE平面EDB，PA平面EDB，PA平面EDB（2）PD底面ABCD，BC平面ABCD，PDBC底面ABCD是正方形，CDBC又PDDCD，PD平面PCD，CD平面PCD，BC平面PCD又DE平面PCD，DEBCPDDC，E是PC的中点，DEPC又PC平面PBC，BC平面PBC，PCBCC，DE平面PBC而PB平面PBCDEPB 又EFPB，且DEEFE，又DE平面DEF，EF平面DEF，PB平面EFD（3）解：E是PC的中点，【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力
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