2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

1、2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Mx|x0，Nx|（x+1）（x3）0，则MN（）A（1，3）B（1，+）C（0，3）D0，3）2（5分）倾斜角为60，在y轴上的截距为1的直线方程是（）ABCD3（5分）函数f（x）ax2+bx+8满足条件f（1）f（3），则f（2）的值（）A5B6C8D与a，b值有关4（5分）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（）A32B48C

2、64D5（5分）直线与圆x2+y24的位置关系是（）A相交B相切C相离D位置关系不确定6（5分）下列命题中真命题的个数为（）平行于同一平面的两直线平形；平行于同一平面的两个平面平行；垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面垂直A0个B1个C2个D3个7（5分）一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为yaebt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一A8B16C24D328（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A

3、5BC7D9（5分）已知三点A（1，3），B（4，2），C（1，7），则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A10BC5D10（5分）九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PA3，AB4，AC5，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A17B25C34D5011（5分）已知函数f（x）（xR）是奇函数且当x（0，+）时是减函数，若f（1）0，则函数yf（x22|x|）的零点共有（）A4个B5个C6个D7个12（5分）已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥ABCD，则在折叠过程中，不

4、能出现（）ABDACB平面ABD平面CBDCDABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若直线2x+my2m+40与直线mx+2ym+20平行，则实数m   14（5分）已知幂函数的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值为   15（5分）已知圆和两点A（0，m），B（0，m）（m0），若圆C上存在点P，使得APB90，则实数m的取值范围为   16（5分）已知函数f（x）|loga|x1|（a0，a1），若x1x2x3x4，且f（x1）f（x2）f（x3）f（x4），则 +   三、解答题（本大题共6小题，

5、共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知三个集合，CxR|x2ax+a2190（1）求AB；（2）已知AC，BC，求实数a的取值范围18（12分）如图，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC60的棱形，M为PC的中点（1）求证：PCAD；（2）求VDMAC19（12分）设函数f（x）（2k1）axax（a0且a1）是定义域为R的奇函数（1）求k的值；（2）若，不等式f（3xt）+f（2x+1）0对x1，1恒成立，求实数t的最小值20（12分）已知两个定点A（4，0），B（1，0），动点P满足|PA|2|PB|设动点P的

6、轨迹为曲线E，直线l：ykx4（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C，D两点，且COD90（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点21（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PADPAB，AC交BD于O，（ I）求证：平面PAC平面PBD（ II）延长BC至G，使BCCG，连结PG，DG试在棱PA上确定一点E，使PG平面BDE，并求此时的值22（12分）设函数f（x）loga（x3a）（a0且a1），当点P（x，y）是函数yf（x）图象上的点时，点Q（x2a，y）是函数yf

7、（x）图象上的点（1）写出函数g（x）的解析式；（2）把yf（x）的图象向左平移a个单位得到yh（x）的图象，函数F（x）ah（x）2+2ah（x），是否存在实数m，n（mn），使函数F（x）的定义域为（m，n），值域为（m，n）如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由；（3）若当xa+2，a+3时，恒有|f（x）g（x）|1，试确定a的取值范围2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集

8、合Mx|x0，Nx|（x+1）（x3）0，则MN（）A（1，3）B（1，+）C（0，3）D0，3）【分析】推导出集合Mx|x0，Nx|1x3，由此能求出MN【解答】解：集合Mx|x0，Nx|（x+1）（x3）0x|1x3，MNx|x1（1，+）故选：B【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题2（5分）倾斜角为60，在y轴上的截距为1的直线方程是（）ABCD【分析】求出斜率k，由斜截式写出直线方程，再化为一般式方程【解答】解：倾斜角为60，斜率ktan60，在y轴上的截距为b1，直线方程是yx1，化为一般式方程为xy10故选：A【点评】

9、本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题3（5分）函数f（x）ax2+bx+8满足条件f（1）f（3），则f（2）的值（）A5B6C8D与a，b值有关【分析】由函数f（x）ax2+bx+8满足条件f（1）f（3），得到b2a，由此能求出f（2）的值【解答】解：函数f（x）ax2+bx+8满足条件f（1）f（3），ab+89a+3b+8，b2a，f（2）4a+2b+88故选：C【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题4（5分）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（）A32B48C64D【分析】作出

10、正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角POE由此能求出结果【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角POEOE2cm，OPE30，斜高PE4，S正棱锥侧Ch44432故选：A【点评】本题考查四棱锥的侧面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养属于中档题5（5分）直线与圆x2+y24的位置关系是（）A相交B相切C相离D位置关系不确定【分析】求出圆心到直线的距离，由此能判断直线与圆的位置关系【解答】解：圆x2+y24的圆心O（0，0），半径r2，圆心O（0，0）到直线的距离：d2，直线与圆x2+y24相交故选：A【点评】本题考查直线与圆的位

11、置关系的判断，考查直线方程、圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题6（5分）下列命题中真命题的个数为（）平行于同一平面的两直线平形；平行于同一平面的两个平面平行；垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面垂直A0个B1个C2个D3个【分析】根据空间中的平行与垂直关系，对题目中的命题进行分析、判断正误即可【解答】解：对于，平行于同一平面的两直线平行或相交或异面，错误；对于，平行于同一平面的两个平面平行，根据平行公理知正确；对于，垂直于同一平面的两直线平行，根据直线与平面垂直的性质定理知正确；对于，垂直于同一平面的两平面

12、平行或相交或垂直，错误；综上，正确的命题是，共2个【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题7（5分）一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为yaebt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一A8B16C24D32【分析】依题意有aeb8a，解得b，yaet，由此能出结果【解答】解：依题意有aeb8a，b，yaet，若容器中只有开始时的时，则有：aeta，解得t24再经过24816 min容器中的沙子只有开始时的八分之一故选：B【点评】本题考查函数在生产生活中

13、的实际应用，考查函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题8（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A5BC7D【分析】由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体在上方切去一个棱长为1的小正方体，由此能求出该几何体的体积【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是棱长为2的正方体在上方切去一个棱长为1的小正方体，如图，该几何体的体积为：V23137故选：C【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题9（5分）已知三点A（1，3），B（4，2），C（1，7），

14、则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A10BC5D【分析】设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f0（d2+e24f0），代入三点的坐标，解方程可得d，e，f，再化为标准式，可得圆的圆心坐标，进而得到到原点的距离【解答】设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f0（d2+e24f0），圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，7），可得，解方程可得d2，e4，f20，即圆的方程为x2+y22x+4y200，即为（x1）2+（y+2）225，故该圆的圆心坐标为（1，2），故圆心到原点的距离为，故选：D【点评】本题考查圆的直径的求法，注意运用待定系数法，解方程求得圆的标准式，是解题的关键，属于基础

15、题10（5分）九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PA3，AB4，AC5，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A17B25C34D50【分析】由题意，PC为球O的直径，球O的半径R，由此能求出球O的表面积【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC，球O的半径R，球O的表面积S4R234故选：C【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查新定义、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11（5分）已知函数f（x）（xR）是奇函数且当x（0，+）时是减函数，若f（1）0，则函数yf（x22

16、|x|）的零点共有（）A4个B5个C6个D7个【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）0，结合函数的奇偶性与单调性可得函数在（0，+）与（，0）上各有一个零点，则yf（x）共有3个零点，依次为1、0、1，对于yf（x22|x|），依次令x22x1、0、1，解可得x的值，即可得函数的零点数目，即可得答案【解答】解：根据题意，函数yf（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）0，当x（0，+）时是减函数，且f（1）0，则函数在（0，+）上只有一个零点，若函数yf（x）是奇函数且当x（0，+）时是减函数，则f（x）在（，0）为减函数，又由f（1）0，则f（1）f（1）0，则函数在（，0）上只有一个零

17、点，故函数yf（x）共有3个零点，依次为1、0、1，对于yf（x22x），x0，当x22x1，解可得x1，当x22x0，解可得x0或2，当x22x1，解可得x1+或1（舍去），故yf（x22x）x0，的零点共有4个；对于yf（x2+2|x|）为偶函数，可得x0的零点为1，2，1共3个，则函数yf（x22|x|）的零点共有7个，故选：D【点评】本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数yf（x）的零点数目12（5分）已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥ABCD，则在折叠过程中，不能出现（）ABDACB平面ABD平面CBDC

18、DABCD【分析】作出直观图，根据空间线面位置关系判断即可【解答】解：设正方形中心为O，则BDOC，BDOA，BD平面AOC，BDAC，故A正确；AOC为二面角ABDC的平面角，当AOC时，平面ABD平面CBD，故B正确；当AOC时，VABCD取得最大值，三棱锥ABCD的体积的取值范围是（0，故C正确；若ABCD，又BCCD，则CD平面ABC，CDAC，ADCD，显然这与ADCD矛盾，故AB与CD不垂直故选：D【点评】本题考查了空间线面位置故选的判断，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若直线2x+my2m+40与直线mx+2ym+20平行，则实数m2【

19、分析】利用直线平行的性质直接求解【解答】解：直线2x+my2m+40与直线mx+2ym+20平行，解得实数m2故答案为：2【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题14（5分）已知幂函数的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值为1【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再验证m是否满足题意即可【解答】解：为幂函数，m22m21，解得m1或m3；当m1时，函数yx3的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，当m3时，函数yx21的图象关于原点对称，与x轴、y轴有交点，综上整数m的值为1故答案为：1【点评】本题考查了

20、幂函数的定义与应用问题，是基础题15（5分）已知圆和两点A（0，m），B（0，m）（m0），若圆C上存在点P，使得APB90，则实数m的取值范围为1，3【分析】根据圆心C到原点O的距离，可得圆C上的点到点O的距离最大、最小值，再由APB90，可得POABm的取值范围【解答】解：圆C：（x1）2+（y）21的圆心C（1，），半径为1，圆心C到O（0，0）的距离为2，圆C上的点到点O的距离的最大值为3，最小值为1，再由APB90，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得POABm，故有1m3，实数m的取值范围是1，3故答案为：1，3【点评】本题考查了实数值的取值范围以及圆的性质与应用问题，是中档题16（

21、5分）已知函数f（x）|loga|x1|（a0，a1），若x1x2x3x4，且f（x1）f（x2）f（x3）f（x4），则 +2【分析】不妨设a1，令f（x）|loga|x1|b0，从而可得x1ab+1，x2ab+1，x3ab+1，x4ab+1，从而解得【解答】解：不妨设a1，则令f（x）|loga|x1|b0，则loga|x1|b或loga|x1|b；故x1ab+1，x2ab+1，x3ab+1，x4ab+1，故+，+；故+2；故答案为：2【点评】本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10

22、分）已知三个集合，CxR|x2ax+a2190（1）求AB；（2）已知AC，BC，求实数a的取值范围【分析】（1）分别求出集合A，B，由此能求出AB（2）由AC，BC，2C，2C，3C，CxR|x2ax+a2190，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：（1）AxR|x25x+932，3BxR|x2402，2，AB2（2）AC，BC，2C，2C，3C，CxR|x2ax+a2190，即，解得2a3所以实数a的取值范围是2，3【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题18（12分）如图，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与

23、底面垂直，底面ABCD是ABC60的棱形，M为PC的中点（1）求证：PCAD；（2）求VDMAC【分析】（1）取AD中点O连接OP，OC，AC，证明OCAD，OPAD推出AD平面POC，即可证明PCAD（2）说明PO平面ABCD，OP为三棱锥PACD的高求出底面面积，然后利用等体积法求解几何体的体积【解答】（1）证明：取AD中点O连接OP，OC，AC，依题意可知PAD，ACD均为正三角形，OCAD，OPAD，又OCOPO，OC平面POC，OP平面POC，AD平面POC，又PC平面POC，PCAD（2）解：由（1）可知OPAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD

24、，PO平面ABCD，即OP为三棱锥PACD的高又PAD是边长为2的正三角形，由，又，VPADC1，又M为PC的中点，1【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力19（12分）设函数f（x）（2k1）axax（a0且a1）是定义域为R的奇函数（1）求k的值；（2）若，不等式f（3xt）+f（2x+1）0对x1，1恒成立，求实数t的最小值【分析】（1）根据函数的奇偶性求出k的值即可；（2）由，得到关于a的方程，解出a的值，求出函数f（x）的解析式，根据函数的单调性得到tx+1在1，1上恒成立，求出t的最小值即可【解答】解：（1）f（x）是定义在

25、R上的奇函数，f（0）2k110，解得k1（2）由（1）知f（x）axax，因为，所以，解得或（舍去），故，则易知函数yf（x）是R上的减函数，f（3xt）+f（2x+1）0，f（3xt）f（2x1），3xt2x1，即tx+1在1，1上恒成立，则t2，即实数t的最小值是2【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，考查导数的性质，是一道中档题20（12分）已知两个定点A（4，0），B（1，0），动点P满足|PA|2|PB|设动点P的轨迹为曲线E，直线l：ykx4（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C，D两点，且COD90（O为坐标原点），求直线l的

26、斜率；（3）若是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点【分析】（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由题意可得三角形COD为等腰直角三角形，运用弦长公式和点到直线的距离公式，计算即可得到所求直线的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设，运用直径式圆的方程，及圆上点的切线方程和切点弦方程，结合直线系方程，即可得到所求定点【解答】解：（1）设点P坐标为（x，y），由|PA|2|PB|，得：，平方可得x2+y2+8x+164（x2+y2+2x+1），整理得：曲线E的

27、轨迹方程为x2+y24；（2）直线l的方程为ykx4，依题意可得三角形COD为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为|CD|，则，；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设，以OQ为直径的圆的方程为，即：，又M，N在曲线E：x2+y24上，可得MN的方程为tx+（t4）y40，即，由得，直线MN过定点【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，注意运用圆上的点的切线方程和切点弦方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题21（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PADPAB，AC交BD于O，（

28、I）求证：平面PAC平面PBD（ II）延长BC至G，使BCCG，连结PG，DG试在棱PA上确定一点E，使PG平面BDE，并求此时的值【分析】（ I）只需证明POBD，ACBD，可得BD平面PAC，即可证平面PAC平面PBD（ II）连接AG交BD于M，在PAG中，过M作MEPG交PA于E，连接ED和EB，可得ADMBGM，PGME，得，即 【解答】解：（ I）PADPAB，ADAB，PADPAB，得PBPD，O为BD中点，POBD，（2分）底面ABCD为菱形，ACBD，ACPOO，BD平面PAC，（4分）BD平面PBD，平面PAC平面PBD（6分）（ II）连接AG交BD于M，在PAG中，过

29、M作MEPG交PA于E，连接ED和EB，PG平面BDE，ME平面BDE，PG平面BDE（8分）ADBG，BG2AD，ADMBGM，（10分）PGME，即 （12分）【点评】本题考查了空间线面、面面位置关系，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力属于中档题22（12分）设函数f（x）loga（x3a）（a0且a1），当点P（x，y）是函数yf（x）图象上的点时，点Q（x2a，y）是函数yf（x）图象上的点（1）写出函数g（x）的解析式；（2）把yf（x）的图象向左平移a个单位得到yh（x）的图象，函数F（x）ah（x）2+2ah（x），是否存在实数m，n（mn），使函数F（x）的定义

30、域为（m，n），值域为（m，n）如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由；（3）若当xa+2，a+3时，恒有|f（x）g（x）|1，试确定a的取值范围【分析】（1）根据题意，设点Q的坐标为（x'，y'），分析x、y与x、y的关系，即可得P的坐标，将P的坐标代入函数f（x）的解析式，整理变形即可得答案；（2）由对数的运算性质可得F（x）的解析式，结合二次函数的性质分析可得F（x）在（m，n）上单调递增，进而分析可得m、n为F（x）x即x2+2xx的两相异的非负的实数，解可得m、n的值；（3）根据题意，分析f（x）g（x）的解析式，令函数，由二次函数的性质分析r（x）x24a

31、x+3a2的最值，解可得u（x）的最值，分析可得a的取值范围【解答】解：（1）根据题意，设点Q的坐标为（x'，y'），则x'x2a，y'y，即xx'+2a，yy'点P（x，y）在函数yloga（x3a）图象上，y'loga（x'+2a3a），即，（2）F（x）x2+2x（x0），F（x）（，1，（m，n）（，1，故n1，F（x）在（m，n）上单调递增，即m、n为F（x）x即x2+2xx的两相异的非负的实数若x2+2xx，解得m0，n1（3）函数由题意xa+2，a+3，则（a+2）3a2a+20，又a0，且a1，0a1，令r（x）x24ax+3a2其对称轴为x2a，0a1，a+22a，则r（x）x24ax+3a2在a+2，a+3上为增函数，函数在a+2，a+3上为减函数，从而u（x）maxu（a+2）loga（44a）u（x）minu（a+3）loga（96a）又0a1，则，【点评】本题考查函数的最值问题，涉及函数的恒成立以及对数函数的性质问题，注意分析函数的单调性，求出函数的最值