1、2018-2019学年辽宁省实验中学、东北育才学校、大连八中、鞍山一中等高一（下）期末数学试卷一、选择题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）下列事件中，是必然事件的是（）A任意买一张电影票，座位号是2的倍数B13个人中至少有两个人生肖相同C车辆随机到达一个路口，遇到红灯D明天一定下雨2（5分）记复数z的虚部为 Im（z），已知z满足iz1+2i，则 Im（z）为（）A1BiC2D2i3（5分）己知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在射线y2x，（x0）上，则sin（）ABCD4（5分）已知ABC中，若，则的坐标为（）ABC（1，
2、12）D（5，4）5（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数6（5分）已知向量|1，与的夹角为60，则|2|（）A3B2CD17（5分）已知为第一象限，sin+cos，则cos（）ABCD8（5分）某市举行“精英杯”数学挑战赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格
3、，某校所有学生的成绩均在区间（30，150内，其频率分布直方图如图所示，该校有130名学生获得了复赛资格，则该校参加初赛的人数约为（）A200B400C2000D40009（5分）已知A，B为锐角，且满tanA+tanB+tanAtanB，则cos（A+B）（）ABCD10（5分）在庆祝“东北育才70年华诞”活动中，某班级学生画了6幅国画作品为校庆献礼，分别为人物、山水，花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）ABCD11（5分）已知函数f（X）sin（x）+1，那么下列式子中恒成立的是（）f（x+2）f（x2）f（x+2）f（2x） f（x）f（x）ABCD
4、12（5分）设P是ABC所在平面上的一点，若|2|2，则+的最小值为（）AB1CD1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）袋子中有四个小球，分别写有“五、校、联、考”四个字，从中任取一个小球，有放回抽取，直到把“五”“校”两字都取出就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“五、校、联、考”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数232 321 230 023 123 021 132 220231 130 133 231 331 320 120 233由此
5、可以估计，恰好第三次就停止的概率为 14（5分）在ABC中，P是直线BD上一点，若m+，则实数m的值为 15（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若ba，且ABC的面积为2R2sinB（1cos2A），则cosB 16（5分）若函数f（x）2+|x|+，则f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤17（10分）已知z是复数，z+2i与均为实数（1）求复数z；（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围18（12分）已知向量（cos，），（sin，）（）若，求；（），求tan19（
6、12分）某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄（单位：岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数的估计值（均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，再从这20人中年龄在30，35）和45，50的人群里，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在30，35）内的概率20（12分）将函数yf（x）的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以
7、得到函数y2sinx的图象（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若f（x0），x0，求cos值21（12分）已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2c2+ac（）求证：B2C；（）若ABC是锐角三角形，求的取值范围22（12分）如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系yf（t）均近似地满足函数f（t）Asin（x+）+b（A0，0，0）（1）根据图象，求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m（m0）小时投产，求m的最小值2018-2019学年辽宁省实验中学、东北育才学
8、校、大连八中、鞍山一中等高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）下列事件中，是必然事件的是（）A任意买一张电影票，座位号是2的倍数B13个人中至少有两个人生肖相同C车辆随机到达一个路口，遇到红灯D明天一定下雨【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件【解答】解：A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项错误；B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”
9、是随机事件，故此选项错误；D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误；故选：B【点评】考查了随机事件，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法2（5分）记复数z的虚部为 Im（z），已知z满足iz1+2i，则 Im（z）为（）A1BiC2D2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：iz1+2i，则z2i，则Im（z）为1，故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）己知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在射线y2x，（x0）上，则sin（）ABCD【分析】由题意利用任意
10、角的三角函数的定义，求得sin的值【解答】解：角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在射线y2x，（x0）上，在的终边上任意取一点（1，2）则sin，故选：D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题4（5分）已知ABC中，若，则的坐标为（）ABC（1，12）D（5，4）【分析】根据题意，求出向量的坐标，又由，可得，即可得的坐标，又由+，计算可得答案【解答】解：根据题意，则（5，4），若，则（，2），则+（，6）；故选：A【点评】本题考查平面向量的坐标计算，关键是分析M为BC的中点，属于基础题5（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车
11、的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度【解答】解：表示一组数据x1，x2，xn的稳定程度是方差或标准差故选：B【点评】本题考查了利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度，是基础题6（5分）已知向量|1，与的夹角为60，则|2|（）A3B2CD1【分析】根据平面向量的模长与夹角，求出数量积和对应的模长即可【解答】解：向量|1，
12、与的夹角为60，则11cos60，4+414+413，|2|故选：C【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，是基础题7（5分）已知为第一象限，sin+cos，则cos（）ABCD【分析】利用诱导公式以及二倍角的三角函数化简求解即可【解答】解：为第一象限，sin+cos，可得2sincos则cossin22sincos故选：B【点评】本题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查8（5分）某市举行“精英杯”数学挑战赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校所有学生的成绩均在区间（30，150内，其频率分布直方图如图所示，该校有130
13、名学生获得了复赛资格，则该校参加初赛的人数约为（）A200B400C2000D4000【分析】由频率分布直方图得初赛成绩大于90分的频率，再由该校有130名学生获得了复赛资格，能求出该校参加初赛的人数【解答】解：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校所有学生的成绩均在区间（30，150内，其频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图得初赛成绩大于90分的频率为：1（0.0025+0.0075+0.0075）200.65，该校有130名学生获得了复赛资格，该校参加初赛的人数约为：200（人）故选：A【点评】本题考查该校参加初赛的人数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基
14、础题9（5分）已知A，B为锐角，且满tanA+tanB+tanAtanB，则cos（A+B）（）ABCD【分析】由题意利用两角和的正切公式求得A+B的值，可得cos（A+B）的值【解答】解：已知A，B为锐角，且满tanA+tanB+tanAtanB，A+B（0，），tan（A+B），A+B，则cos（A+B）coscos，故选：D【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题10（5分）在庆祝“东北育才70年华诞”活动中，某班级学生画了6幅国画作品为校庆献礼，分别为人物、山水，花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）ABCD【分析】
15、分别从人物画中取一幅，从山水画中取一幅，或人物画中取一幅，从花鸟画中取一幅，或从花鸟画中取一幅，从山水画中取一幅，由古典概率的计算公式可得所求【解答】解：恰好抽到2幅不同种类的概率为故选：B【点评】本题考查古典概率求法，注意运用分类讨论思想，考查运算能力，属于基础题11（5分）已知函数f（X）sin（x）+1，那么下列式子中恒成立的是（）f（x+2）f（x2）f（x+2）f（2x） f（x）f（x）ABCD【分析】根据三角函数的解析式，逐一判断各个等式是否成立，从而得出结论【解答】解：函数f（X）sin（x）+1的周期是4，f（x+2）sin（x+2）+1sin（x）+1f（x2）sin（x）
16、+1sin（x）+1，正确；，f（x）sin（）sin（）sin（），故成立f（2x）sin（）sin（），f（x+2）sin（+）sin（），故不成立f（x）sin（）sinf（x），故不成立故选：A【点评】本题主要考查三角函数的性质，属于中档题12（5分）设P是ABC所在平面上的一点，若|2|2，则+的最小值为（）AB1CD1【分析】设BC边上的中线为D，求出BC边上的中线AD的长为：1，+（）2（）22，设|x，与的夹角为，由此能求出+的最小值【解答】解：P是ABC所在平面上的一点，|2|2，|2|2，设BC边上的中线为D，则BC边上的中线AD的长为：1，P是ABC所在平面上的一点，+（
17、）2（）22，设|x，与的夹角为，+2x22xcos2（x）2，当x时，+取最小值，最小值为，当cos1时，+取最小值为故选：C【点评】本题考查向量加减的几何意义，考查向量的数量积公式、二次函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）袋子中有四个小球，分别写有“五、校、联、考”四个字，从中任取一个小球，有放回抽取，直到把“五”“校”两字都取出就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“五、校、联、考”这四个字，以每三个随机数为一
18、组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数232 321 230 023 123 021 132 220231 130 133 231 331 320 120 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为【分析】由古典概率公式，可得所求【解答】解：由题意可得共有16组随机数，可得021，130，120符合题意，可得由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为故答案为：【点评】本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题14（5分）在ABC中，P是直线BD上一点，若m+，则实数m的值为【分析】可以画出图形，根据即可得出，从而可以得出，这样根据B，P，D三点共线即可得出，解出m即可【解
19、答】解：如图，；又；B，P，D三点共线；故答案为：【点评】考查向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，三点A，B，C共线时，可由得出+115（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若ba，且ABC的面积为2R2sinB（1cos2A），则cosB【分析】运用三角形的面积公式和二倍角的余弦公式，以及正弦定理、余弦定理，计算可得所求值【解答】解：由三角形的面积为SabsinC2RsinA2RsinBsinC2R2sinB（1cos2A）4R2sinBsin2A，化简可得sinC2sinA，即c2a，由ba，可得cosB，故答案为：【点评】本题考查三角形的正弦定理、
20、余弦定理的运用，考查化简运算能力，属于中档题16（5分）若函数f（x）2+|x|+，则f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f10【分析】容易得出f（x）+f（x）4+2|x|，从而可以求出，从而可求出原式10【解答】解：f（x）+f（x）4+2|x|，且，lg20，lg50；4+2lg2，；原式4+2lg2+4+2lg58+210故答案为：10【点评】考查对数的运算性质，以及已知函数求值的方法三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤17（10分）已知z是复数，z+2i与均为实数（1）求复数z；（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围【分析】（1）设
21、zx+yi（x，yR），然后代入z+2i结合已知求出y的值，再代入，利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知可求出x的值，则复数z可求；（2）把z42y代入（z+ai）2化简结合已知条件列出不等式组，求解即可得答案【解答】解：（1）设zx+yi（x，yR），则z+2ix+（y+2）i为实数，y2为实数，解得x4则z42i；（2）（z+ai）2（42y+ai）2（12+4aa2）+8（a2）i在第一象限，解得2a6【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是中档题18（12分）已知向量（cos，），（sin，）（）若，求；（），求tan【分析】（）由题意利用两个
22、向量共线的性质求得tan的值，可得 的值（）由题意利用两个向量垂直的性质，求得tan的值【解答】解：（）若，向量（cos，），（sin，），cossin0，tan2，3（）若，则sincos+0，即sincos，解得 tan2，或 tan【点评】本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题19（12分）某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄（单位：岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数的估计值（均精确到个位）；（2
23、）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，再从这20人中年龄在30，35）和45，50的人群里，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在30，35）内的概率【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数和中位数即可；（2）用分层抽样法抽取4人位于30，35）年龄段内，2人位于45，50年龄段内，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（1）根据频率分布直方图，计算平均值为：（27.50.01+32.50.04+37.50.07+42.50.06+47.50.02）538.539；由频率分布直方图知，5（0.01+0.04）0.250.5
24、，5（0.06+0.02）0.40.5，所以中位数位于区间35，40）年龄段中，设中位数为x，所以0.25+0.07（x35）0.5，解得x39；（2）用分层抽样的方法，抽取的20人，应有4人位于30，35）年龄段内，记为A、B、C、D，2人位于45，50年龄段内，记为e、f；现从这6人中随机抽取2人，设基本事件空间为，则中的基本事件为AB、AC、AD、Ae、Af、BC、BD、Be、Bf、CD、Ce、Cf、De、Df、ef共15种不同取法；设2名市民年龄都在30，35）为事件A，则A中包含的基本事件为AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种；所以所求的概率为P（A）【点评】本题考查了频率分布直
25、方图以及列举法求古典概型的概率问题，是基础题20（12分）将函数yf（x）的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数y2sinx的图象（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若f（x0），x0，求cos值【分析】（）根据题意可得f（x）的解析式，然后利用整体法求出f（x）的单调增区间；（）根据f（x0），求出的值，然后求出，再根据求值【解答】解：（）由题意，得f（x），令，则，f（x）的单调增区间为（）f（x0），又x0，【点评】本题考查了yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象与性质和三角函数求值，考查了运算能力，属中档题21（12
26、分）已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2c2+ac（）求证：B2C；（）若ABC是锐角三角形，求的取值范围【分析】（）运用三角形的正弦定理和和差公式、诱导公式，化简可得所求结论；（）由锐角三角形可得C的范围，sinC的范围，再由正弦定理以及倍角公式，计算可得所求范围【解答】解：（）证明：b2c2+ac，可得sin2Bsin2C+sinAsinC，由sin（+）sin（）（sincos+cossin）（sincoscossin）sin2cos2cos2sin2sin2（1sin2）（1sin2）sin2sin2sin2，可得sin（B+C）sin（BC）sinAsinC，
27、即sinAsin（BC）sinAsinC，由sinA0，可得sinCsin（BC），即有CBC或C+BC（舍去），可得B2C；（）若ABC是锐角三角形，可得0A，0B，0C，即为03C，02C，可得C，sinC，则34sin2C（1，2）【点评】本题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题22（12分）如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系yf（t）均近似地满足函数f（t）Asin（x+）+b（A0，0，0）（1）根据图象，求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业
28、甲推迟m（m0）小时投产，求m的最小值【分析】（1）根据图象最值求A，b，根据周期求出，利用特殊点求出的值，可求函数f（t）的解析式（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时，依题意，有f（t+m）+f（t）cos（t+m）+cost+89恒成立，展开由三角函数恒等变换化简整理可得：cosm，依据余弦函数图象得：+2km+2k，（kZ），取k0得m的范围，从而可求m的最小值【解答】（本题满分为14分）解：（1）由图知T12，（1分）A+b5，bA3，可得：A1，b4，（3分）f（t）sin（x+）+4，代入（0，5），得+2k，又0，（5分） 即f（t）sin（t+）+
29、4，（6分）（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：f（t）cost+4；同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：f（t+m）cos（t+m）+4；两企业用电负荷量之和f（t+m）+f（t）cos（t+m）+cost+8（t0）；（8分）依题意，有f（t+m）+f（t）cos（t+m）+cost+89恒成立，即cos （t+m）+cos t1恒成立，展开有：（cos m+1）costsinmsint1恒成立，（10分）（cos m+1）cos tsin msin tAcos（t+），（其中，A，cos；sin）；A1，（11分）整理得到：cos m，（12分）依据余弦函数图象得：+2km+2k，（kZ），即12k+4m12k+8，取k0得：4m8m的最小值为4（14分）【点评】本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识，考查建立三角函数模型，数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力，考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，属于中档题
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