1、2018-2019学年辽宁省六校协作校高一（下）期初数学试卷（2月份）一选择题：（本题共11道小题，共44分，每小题4分，18题为单选题，911题为多选题，多选题选对一个得2分，全部选对得满分，选错一个或不选得0分）1（4分）设集合A1，0，1，2，B0，1，则（AB）A（）A1，2B0，1C1，0，1，2D1，22（4分）函数的定义域为（）A（0，+）B（1，+）C（0，1D（0，1）（1，+）3（4分）如果log3m+log3n4，那么m+n的最小值是（）AB4C9D184（4分）如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA平面ABC，则四面体PABC的四个面中，直角三角形
2、的个数有（）A4个B3个C2个D1个5（4分）函数f（x）ex+x2的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）6（4分）对于空间中的直线m，n以及平面，下列说法正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，mn，则nC若，m，n，则mnDmn，m，则n7（4分）命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba4Ca5Da58（4分）设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A1，1，3B，1C1，3D1，39（4分）能得出成立的是（）A0baBba0Ca0bDab010（4分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1x2，有1，且f
3、（1）1，下列命题正确的是（）Af（x）+x是单调递减函数Bf（x）是单调递增函数C不等式f（log2|3x1|）2log2|3x1|的解集为（，0）（0，1）D不等式f（log2|3x1|）2log2|3x1|的解集为（，1）11（4分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如：3.54，2.12，已知函数，则关于函数g（x）f（x）的叙述正确的是（）Ag（x）是偶函数Bg（x）是奇函数Cg（x）的值域是1，0，1Dg（x）的值域是1，
4、0二.填空题：（每题4份，共16分）12（4分）函数yax3+3恒过定点 13（4分）已知集合A为数集，则“A0，10”是“A0”的 条件14（4分）若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 15（4分）已知函数，当x1x2时，则实数a的取值范围是 三.解答题：（本大题共6小题，每题15分，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16（15分）不用计算器求下列各式的值（1）（2）lg25+lg4+2log317（15分）（1）函数f（x）log3（x2+6x8）的定义域为集合A，求集合A；（2）函
5、数g，求g（x）的值域18（15分）如图：一个圆锥的底面半径为1，高为3，在其中有一个半径为x的内接圆柱（1）试用x表示圆柱的高；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？19（15分）某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数ykx+b的关系（图象如图所示）（1）根据图象，求一次函数ykx+b的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润销售总价成本总价）为S元，求S关于x的函数表达式；求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价20（15分）如图，直三棱
6、柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点（1）求证：AE平面A1BD；（2）求三棱锥B1A1BD的体积21（15分）已知函数（1）用定义证明函数f（x）在R上是增函数；（2）探究是否存在实数a，使得函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，解不等式f（t2+1）+f（2t4）02018-2019学年辽宁省六校协作校高一（下）期初数学试卷（2月份）参考答案与试题解析一选择题：（本题共11道小题，共44分，每小题4分，18题为单选题，911题为多选题，多选题选对一个得2分，全部选对得满分，选错一个或不选得0分）1（4分）设集
7、合A1，0，1，2，B0，1，则（AB）A（）A1，2B0，1C1，0，1，2D1，2【分析】求出B的补集，从而求出其和A的交集即可，【解答】解：A1，0，1，2，B0，1，则（AB）1，2，（AB）A1，2，故选：A【点评】本题考查了集合的运算，考查对应思想，是一道基础题2（4分）函数的定义域为（）A（0，+）B（1，+）C（0，1D（0，1）（1，+）【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解【解答】解：由，解得x1函数的定义域为（1，+）故选：B【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题3（4分）如果log3m+log3n4，那么m+n的最小值是（）A
8、B4C9D18【分析】利用对数的运算法则及对数的性质求出mn的范围，利用基本不等式求出m+n的最值【解答】解：log3m+log3n4m0，n0，mn3481m+n答案为18故选：D【点评】本题考查对数的运算法则、对数方程的解法、利用基本不等式求最值4（4分）如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA平面ABC，则四面体PABC的四个面中，直角三角形的个数有（）A4个B3个C2个D1个【分析】AB是圆O的直径，得出三角形ABC是直角三角形，由于PA垂直于圆O所在的平面，根据线面垂直的性质定理得出PA垂直于AC，BC，从而得出两个直角三角形，可以证明BC垂直于平面PAC，从而得
9、出三角形PBC也是直角三角形，从而问题解决【解答】证明：AB是圆O的直径ACB90即BCAC，三角形ABC是直角三角形又PA圆O所在平面，PAC，PAB是直角三角形且BC在这个平面内，PABC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，BC平面PAC，PBC是直角三角形从而PAB，PAC，ABC，PBC中，直角三角形的个数是：4故选：A【点评】本题考查面面垂直的判定定理的应用，要注意转化思想的应用，将面面垂直转化为线面垂直5（4分）函数f（x）ex+x2的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）0（a
10、，b为区间两端点）的为答案【解答】解：因为f（0）10，f（1）e10，所以零点在区间（0，1）上，故选：C【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解6（4分）对于空间中的直线m，n以及平面，下列说法正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，mn，则nC若，m，n，则mnDmn，m，则n【分析】对于A，m，n可能异面；对于B，可能有n；对于C，m，n的夹角不一定为90；故对D，由，m，得m，由mn，得n【解答】解：对于A选项，m，n可能异面，故A错误；对于B选项，可能有n，故B错误；对于C选项，m，n的夹角不一
11、定为90，故C错误；故对D选项，因为，m，故m，因为mn，故n，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7（4分）命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba4Ca5Da5【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件a|a4，从集合的角度充分不必要条件应为a|a4的真子集，由选择项不难得出答案【解答】解：命题“x1，2，x2a0”为真命题，可化为x1，2，ax2，恒成立即只需a（x2）max4，即“x1，2，x2a0”为真命题的充要条件为a4，而要找的一个充分不必要条件即为集合a|a4的
12、真子集，由选择项可知C符合题意故选：C【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题8（4分）设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A1，1，3B，1C1，3D1，3【分析】根据幂函数的性质，我们分别讨论a为1，1，3时，函数的定义域和奇偶性，然后分别和已知中的要求进行比照，即可得到答案【解答】解：当a1时，函数的定义域为x|x0，不满足定义域为R；当a1时，函数yx的定义域为R且为奇函数，满足要求；当a函数的定义域为x|x0，不满足定义域为R；当a3时，函数yx的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D【点评】本题考查的知识点是奇函数，函数的定义域及其求法
13、，其中熟练掌握幂函数的性质，特别是定义域和奇偶性与指数a的关系，是解答本题的关键9（4分）能得出成立的是（）A0baBba0Ca0bDab0【分析】根据不等式的性质和关系进行求解判断即可【解答】解：由得0，则当ab0时，不等式0，成立，其余不成立，故选：D【点评】本题主要考查不等式的关系和性质的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键10（4分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1x2，有1，且f（1）1，下列命题正确的是（）Af（x）+x是单调递减函数Bf（x）是单调递增函数C不等式f（log2|3x1|）2log2|3x1|的解集为（，0）（0，1）D不等式f（log2|3x1|）2lo
14、g2|3x1|的解集为（，1）【分析】根据题意，设g（x）f（x）+x，将1变形可得0，由函数单调性的定义可得函数g（x）在R上为增函数，利用f（1）的值求出g（1）的值，据此分析原不等式可以转化为0|3x1|2，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，设g（x）f（x）+x，若函数f（x）满足对任意x1x2，有1，则0，则函数g（x）在R上为增函数，又由f（1）1，则g（1）1+12，f（log2|3x1|）2log2|3x1|f（log2|3x1|）+log2|3x1|2g（log2|3x1|）g（1）log2|3x1|10|3x1|2，解可得：x1且x0，该不等式的解集为（，
15、0）（0，1）；则A、B、D错误，C正确；故选：C【点评】本题考查函数单调性的判断与分析，关键是构造新函数g（x）f（x）+x，关键是掌握函数单调性的定义11（4分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如：3.54，2.12，已知函数，则关于函数g（x）f（x）的叙述正确的是（）Ag（x）是偶函数Bg（x）是奇函数Cg（x）的值域是1，0，1Dg（x）的值域是1，0【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）的解析式，分析可得f（x
16、）f（x）且f（x）f（x），则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，可得A、B错误；由函数的解析式分析函数的值域，可得f（x），结合高斯函数的定义分析可得C错误，D正确，即可得答案【解答】解：根据题意，则f（x），则f（x）f（x）且f（x）f（x），则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，A、B错误；函数，又由ex0，则1+ex1，则有f（x），则g（x）f（x）1，0，C、错误，D正确；故选：D【点评】本题考查函数值域的计算，涉及“高斯函数”的定义，关键是掌握“高斯函数”的定义，属于基础题二.填空题：（每题4份，共16分）12（4分）函数yax3+3恒过定点（3，4）【分析】利用函数图象
17、平移，找出指数函数的特殊点定点，平移后的图象的定点容易确定【解答】解：因为函数yax恒过（0，1），而函数yax3+3可以看作是函数yax向右平移3个单位，图象向上平移3个单位得到的，所以yax3+3恒过定点 （3，4）故答案为：（3，4）【点评】本题是基础题，利用函数图象的平移，确定函数图象过定点，是解决这类问题的常用方法，牢记基本函数的特殊性是解好题目的关键13（4分）已知集合A为数集，则“A0，10”是“A0”的必要不充分条件【分析】由集合交集的运算及必要充分条件得：“A0”可推出“A0，10”，“A0，10”不能推出“A0”，即可得解【解答】解：由“A0”可推出“A0，10”，由“A0
18、，10”不能推出“A0”，故“A0，10”是“A0”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件【点评】本题考查了集合交集的运算及必要充分条件，属简单题14（4分）若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是24【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积【解答】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：，球的直径是：，所以这个球的表面积是：故答案为：24【点评】本题考查正四棱柱的外接球的表面积考查计算能力，是基础题15（4分）已知函数，当x1x2时，则实数a的取值范围是
19、（0，【分析】根据题意，由函数的解析式分析函数的定义域，结合函数单调性的定义可得函数f（x）在（0，+）上为减函数，进而可得，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数的定义域为（0，+）若f（x）满足当x1x2时，则函数f（x）在（0，+）上为减函数，则必有，解可得0a，即a的取值范围为（0，；故答案为：（0，【点评】本题考查分段函数的单调性的判断，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题三.解答题：（本大题共6小题，每题15分，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16（15分）不用计算器求下列各式的值（1）（2）lg25+lg4+2log3【分析】（1）利用指数
20、运算性质即可得出（2）利用对数运算性质即可得出【解答】解：（1）原式11（2）原式lg100+2+15【点评】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17（15分）（1）函数f（x）log3（x2+6x8）的定义域为集合A，求集合A；（2）函数g，求g（x）的值域【分析】（1）由题意可得，x2+6x80，解不等式可求；（2）结合对数的运算性质先对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解【解答】解：（1）由题意可得，x2+6x80解不等式可得，2x4Ax|2x4；（2）g，令tlog2x，则t（1，2），g（t）t2+t+2在（1，2）上单调递减，g（2）g（t
21、）g（1），即0g（t）2，即g（x）的值域为（0，2）【点评】本题主要考查了对数函数的性质及对数运算性质的简单应用，二次函数性质的应用是求解本题的关键18（15分）如图：一个圆锥的底面半径为1，高为3，在其中有一个半径为x的内接圆柱（1）试用x表示圆柱的高；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？【分析】（1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的高的表达式（2）由（1）求出的侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值【解答】解：（1）设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图：BO1，PO3，圆柱的高为：h由图得，即h33x（2）S
22、圆柱侧2hx2（33x）x（5分）6（xx2），当x时，函数取得最大值为：当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为（10分）【点评】本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想19（15分）某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数ykx+b的关系（图象如图所示）（1）根据图象，求一次函数ykx+b的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润销售总价成本总价）为S元，求S关于x的函数表达
23、式；求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价【分析】（1）首先根据一次函数ykx+b的表达式代入数值化简，然后求出k，b并求出一次函数表达式（2）通过（1）直接写出s的表达式并化简根据二次函数判断最值【解答】解：（1）由图象可知，解得，所以yx+1000（500x800）（2）由（1）Sxy500y（x+1000）（x500）x2+1500x500000，（500x800）由可知，S（x750）2+62500，其图象开口向下，对称轴为x750，所以当x750时，Smax62500即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件【点评】本题考查函数模型的应用
24、，以及一元二次函数，二次函数的应用，属于基础题20（15分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点（1）求证：AE平面A1BD；（2）求三棱锥B1A1BD的体积【分析】（1）推导出BDAC，从而平面AA1C1C平面ABC，进而BD平面AA1C1C，BDAE，再求出A1DAE，由此能证明AE平面A1BD（2）连结AB1交A1B于O，点B1到平面A1BD的距离等于点A到平面A1BD的距离（10分）三棱锥B1A1BD的体积【解答】证明：（1）ABBCCA，D是AC的中点，BDAC，（2分）直三棱柱ABCA1B1C1中AA1平面ABC，平面AA1C1C平面AB
25、C，BD平面AA1C1C，BDAE（4分）又在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，A1DAE（6分）又A1DBDD，AE平面A1BD（7分）解：（2）连结AB1交A1B于O，O为AB1的中点，点B1到平面A1BD的距离等于点A到平面A1BD的距离（10分）三棱锥B1A1BD的体积：（15分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥PABC的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（15分）已知函数（1）用定义证明函数f（x）在R上是增函数；（2）探究是否存在实数a，使得函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，
26、请说明理由；（3）在（2）的条件下，解不等式f（t2+1）+f（2t4）0【分析】（1）根据函数解析式，求出函数的导函数，根据导函数值大于0恒成立，可得函数是定义在R上的增函数（2）根据奇函数的定义，我们令f（x）+f（x）0，由此构造关于a的方程，解方程可得a的值（3）根据（2）中条件可得函数的解析式，根据指数函数的性质及二次函数的性质及恒成立的实际意义，可得实数t的取值范围【解答】解：（1）任取x1，x2R且x1x2，则f（x1）f（x2），y3x在R上是增函数，且x1x2，0，+10，+10，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），函数f（x）在R上是增函数（2）f（x）a是奇函数，则f（x）f（x），即a（a），2a+1，故a，当a时，f（x）是奇函数（3）在（2）的条件下，f（x）是奇函数，则由f（t2+1）+f（2t4）0，可得：f（t2+1）f（2t4）f（42t），又f（x）在R上是增函数，则得t2+142t，3t1，故原不等式的解集为：t|3t1【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，函数恒成立问题，其中熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义及证明方法是解答的关键
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