1、专题 05 函数图像与方程考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.函数图象的判断在掌握基本初等函数图象的基础上,利用函数变化的快慢、函数的定义域、奇偶性、单调性、函数图象过定点等特点对函数图象作出判断2.函数图象的变换掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换和翻折变换,熟悉各种变换的过程和特点,并由此解决相关问题3.函数图象的应用利用函数图象研究函数的性质,根据性质解决相关问题以及利用函数图象解决最值问题、判断方程解的个数选择题、填空题分析解读1.高考主要考查由函数解析式画出函数的图象,两个函数图象的交点出现的情况.近几年考查了用图象表示函数.2.在数学中,由“形” 到“
2、数”比较明显,由“数”到“ 形”需要意识,而试题中主要是由“数”到“形”.在解答题中,要注意推理论证的严密性,避免出现以图代证的现象,利用图象研究函数的性质,特别是在判断非常规方程根的个数时,此法有时“妙不可言”,这是数形结合思想在 “数”中的重要体现.考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度函数零点与方程的根1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系2.判断一元二次方程根的存在性与根的个数3.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解 选择题 分析解读函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,由于函数图象与 x 轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数
3、、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为 5 分左右,属于难度较大题.在备考时,注意以下几个问题:1.结合函数与方程的关系,求函数的零点;2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或范围是高考中的热点问题 .命题探究练扩展2018 年高考全景展示1 【2018 年浙江卷】函数 y= sin2x 的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择.详解：令 ， 因为 ，所以为奇函数，排除选项 A,B;因为 时， ，所以排除选项 C，选 D.点睛
4、：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复2 【2018 年理新课标 I 卷】 已知函数 若 g（x ）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+ ） D. 1，+）【答案】C详解：画出函数 的图像， 在 y 轴右侧的去掉，再画出直线 ，之后上下移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像
5、有两个交点，即方程 有两个解，也就是函数 有两个零点，此时满足 ，即 ，故选 C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 3 【2018 年理数全国卷 II】 函数 的图像大致为A. A B. B C. C D. D【答案】B点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化
6、趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 4.【2018 年理数天津卷】已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2 个互异的实数解，则 的取值范围是_.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论 和 两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当 时，方程 即 ，整理可得： ，很明显 不是方程的实数解，则 ，当 时，方程 即 ，整理可得： ，很明显 不是方程的实数解，则 ，令 ，其中， ，原问题等价于函数 与函数 有两个不同的交点，求 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象，同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件，结合
7、观察可得，实数 的取值范围是 .点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性 )才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点5 【2018 年江苏卷】若函数 在 内有且只有一个零点，则 在上的最大值与最小值的和为_【答案】3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在
8、上有且仅有一个零点的条件，求出参数 a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 6 【2018 年全国卷理】函数 在 的零点个数为_【答案】【解析】分析：求出 的范围，再由函数值为零，得到 的取值可得零点个数。详解： ， ，由题可知 ，或 ，解得,或 ，故有 3 个零点。点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。2017 年高考全景展示1.【2017 山东，理 10】已知当 0,1x时，
9、函数 21ymx的图象与 yxm的图象有且只有一个交点，则正实数 m的取值范围是（A） 0,123, （B） 0,3,（C） , （D） 2【答案】B【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解2016 年高考全景展示1.【2016 高考新课标 1 卷】函数 在 的图像大致为2xye,（A） （B）（C
10、） （D）【答案】D【解析】函数 f(x)=2x2e|x|在2,2上是偶函数,其图象关于 轴对称,因为 ,y22()8,01fe所以排除 选项；当 时, 有一零点,设为 ,当 时, 为减函,AB04xye0x()fx数,当 时, 为增函数故选 D.0(2)(f考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.2.【2016 高考天津理数】已知函数 f（x ）= （a0,且 a1）在 R 上单调2(4,0log1)3axx
11、递减，且关于 x 的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）|()|2f（A） （0， （B） ， （C） ， （D） ， ） 2334234324【答案】C考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解3. 【2016 年高考北京理数】设函数 .3,()2xaf若 ，则 的最大值为_；0a()fx若 无最大值，则实
12、数 的取值范围是_.()fa【答案】 ， .2,1)【解析】试题分析：如图作出函数 与直线 的图象，它们的交点是 ，3()gx2yx(1,2)A， ，由 ，知 是函数 的极大值点，(0,)O(1,2)B2 1()g当 时， ，因此 的最大值是 ；a3,0xf()fx12f由图象知当 时， 有最大值是 ；只有当 时，由 ，因此1()f12fa32a无最大值，所求 的范围是 ，故填： ， ()fxa,)(,1)考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求
13、函数的周期若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程【2016 高考山东理数】已知函数 其中 ，若存在实数 b，使得关于2|,()4,xxmf 0x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.【答案】 3,【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即fxb，解得 224,30mm3m考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
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