2017-2018学年青海省西宁四中高一（下）第一次月考数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年青海省西宁四中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知在ABC中，bcosAacosB，则ABC为（）A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形D等边三角形2（5分）如图，灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站的北偏东40方向，灯塔B在观察站的南偏东60方向，则灯塔A在灯塔B的（）A北偏东10B北偏西10C南偏东10D南偏西103（5分）在等差数列an中，若a25，a6a4+6，则a1等于（）A4B5C7D84（5分）数列an的前n项和为Sn，若Sn2n218

2、n，则当Sn取得最小值时，n的值为（）A4或5B5或6C4D55（5分）已知等比数列an满足a1+a23，a2+a36，则a7（）A64B81C128D2436（5分）已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c+2成等比数列，则a等于（）A2或8B2C8D2或87（5分）数列an的前n项和Sn2n23n（nN*），则a4等于（）A11B15C17D208（5分）公比为2的等比数列an 的各项都是正数，且a3a1116，则a5（）A4B2C1D89（5分）在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为（）A2B6C7D810（5分）Sn12+34+56+（1）n+1n，则S

3、100+S200+S301等于（）A1B1C51D5211（5分）ABC中，c2，A30，B120，则ABC的面积为（）ABC3D312（5分）在ABC中，a：b：c2：5：6，则sinA：sinB：sinC等于（）A2：5：6B6：5：2C6：2：5D不确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卷相应位置上）13（5分）已知数列前n项和Sn2n23n+1，nN*，则它的通项公式为 14（5分）设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c2a，3sinA5sinB，则角C 15（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首

4、项为 16（5分）三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为 三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17（10分）已知数列an为公差不为0的等差数列，Sn为前n项和，a5和a7的等差中项为11，且a2a5a1a14令bn，数列bn的前n项和为Tn求an及Tn18（12分）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（）求A的大小；（）若sinB+sinC1，试判断ABC的形状19（12分）已知数列an是一个等差数列，且a21，a55（）求an的通项an；（）求an前n项和Sn的最大值20

5、（12分）在ABC中，D在边BC上，且BD2，DC1，B60，ADC150，求AC的长及ABC的面积21（12分）在等比数列an中，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求an的公比；（2）若a1a33，求an的前n项和Sn22（12分）在ABC中，a5，B45，C105，求边c2017-2018学年青海省西宁四中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知在ABC中，bcosAacosB，则ABC为（）A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形D等边三角形【分析】直接利用正弦定

6、理，化简表达式，通过两角和与差的三角函数化简，即可判断三角形的形状【解答】解：因为在ABC中，bcosAacosB，由正弦定理可知，sinBcosAsinAcosB，所以sin（AB）0，所以AB，或AB，因为A，B是三角形内角，所以AB，三角形是等腰三角形故选：B【点评】本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型2（5分）如图，灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站的北偏东40方向，灯塔B在观察站的南偏东60方向，则灯塔A在灯塔B的（）A北偏东10B北偏西10C南偏东10D南偏西10【分析】通过两座灯塔A和B与海岸观察站的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站的南

7、偏东60，得到三角形的形状，直接判断灯塔A在灯塔B的方位角即可【解答】解：两座灯塔A和B与海岸观察站的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站的南偏东60，如图：三角形是等腰三角形，AB50，则灯塔A在灯塔B的北偏西10故选：B【点评】本题是基础题，考查三角函数解三角形问题，方位角的应用，注意三角形是等腰三角形是解题的关键3（5分）在等差数列an中，若a25，a6a4+6，则a1等于（）A4B5C7D8【分析】由题意可得，解方程可求【解答】解：由题意可得，解方程可求，a18故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题4（5分）数列an的前n项和为Sn，若S

8、n2n218n，则当Sn取得最小值时，n的值为（）A4或5B5或6C4D5【分析】利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：Sn2n218n2，则当Sn取得最小值时，n4或5故选：A【点评】本题考查了数列求和公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）已知等比数列an满足a1+a23，a2+a36，则a7（）A64B81C128D243【分析】由a1+a23，a2+a36的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解【解答】解：由a2+a3q（a1+a2）3q6，q2，a1（1+q）3，a11，a72664故选：A【点评】本题主要考查了等比数列的通项及整体运算6（5

9、分）已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c+2成等比数列，则a等于（）A2或8B2C8D2或8【分析】运用等差数列的中项性质和等比数列中项性质，解方程即可得到所求值【解答】解：等差数列a，b，c三项之和为12，可得a+c2b，a+b+c12，a，b，c+2成等比数列，可得a（c+2）b2，解得b4，a2或8故选：A【点评】本题考查等差数列的性质和等比数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题7（5分）数列an的前n项和Sn2n23n（nN*），则a4等于（）A11B15C17D20【分析】根据数列an的前n项和Sn2n23n（nN*），由能够求出a4的值【解答】解：a4S4S

10、3（21634）（2933）11故选：A【点评】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式的灵活运用8（5分）公比为2的等比数列an 的各项都是正数，且a3a1116，则a5（）A4B2C1D8【分析】利用等比数列的通项公式求解【解答】解：公比为2的等比数列an 的各项都是正数，且a3a1116，且a10，解得，a51故选：C【点评】本题考查等比数列的第5项的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用9（5分）在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为（）A2B6C7D8【分析】数字1有1个，数字2有2个，数字3有3个，数字n6时有1+2+3+4+5+621个，

11、由此可得答案【解答】解：数字共有n个，当数字n6时，有1+2+3+4+5+621项，所以第25项是7，故选：C【点评】本题考查数列的函数特性，考查学生的观察分析能力，属基础题10（5分）Sn12+34+56+（1）n+1n，则S100+S200+S301等于（）A1B1C51D52【分析】利用数列和的特点进行并项求解即可【解答】解：Sn12+34+56+（1）n+1n，S10012+34+56+99100（12）+（34）+（99100）111+（1）15050S20012+34+56+199200（12）+（34）+（199200）111+（1）1100100S30112+34+56+299

12、300+3011+（32）+（54）+（301300）1+1150151S100+S200+S30150100+1511，故选：A【点评】本题主要考查数列求和的问题，根据数列特点，利用并项法是解决本题的关键11（5分）ABC中，c2，A30，B120，则ABC的面积为（）ABC3D3【分析】利用正弦定理列出关系式，将c，sinC，sinB，sinA的值代入求出a与b的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积【解答】解：ABC中，c2，A30，B120，即C30，由正弦定理4，即a4sinA2，b4sinB2，则SABCabsinC，故选：B【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面

13、积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键12（5分）在ABC中，a：b：c2：5：6，则sinA：sinB：sinC等于（）A2：5：6B6：5：2C6：2：5D不确定【分析】根据正弦定理，可得三角形的三条边的比等于它们所对角的正弦值的比，由此可得本题答案【解答】解：根据正弦定理得，sin A：sin B：sin Ca：b：c2：5：6，故选：A【点评】本题给出三角形的三条边的比值，求三角内角的正弦的比值着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卷相应位置上）13（5分）已知数列前n项和Sn2n23n+1，nN*，则它的通项

14、公式为an【分析】数列前n项和Sn2n23n+1，nN*，n2时，anSnSn1n1时，a1S1【解答】解：数列前n项和Sn2n23n+1，nN*，n2时，anSnSn12n23n+12（n1）23（n1）+14n5n1时，a1S10则它的通项公式为an故答案为：an【点评】本题考查了数列递推关系、数列通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c2a，3sinA5sinB，则角C【分析】由3sinA5sinB，根据正弦定理，可得3a5b，再利用余弦定理，即可求得C【解答】解：3sinA5sinB，由正弦定理，可

15、得3a5b，ab+c2a，ccosCC（0，）C故答案为：【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题15（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a10102解得a5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题16（5分）三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为【分析】解方程5x27x60可得cos，利用余弦定理求出第三边的长即可【解答】解：解方程5

16、x27x60可得此方程的根为2或，故夹角的余弦cos，由余弦定理可得三角形的另一边长为：2故答案为：2【点评】本题主要考查余弦定理的应用，求出cos，是解题的关键考查计算能力三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17（10分）已知数列an为公差不为0的等差数列，Sn为前n项和，a5和a7的等差中项为11，且a2a5a1a14令bn，数列bn的前n项和为Tn求an及Tn【分析】设等差数列an的公差为d，依题意，可求得数列an的首项与公差，从而可得其通项an；再由bn，利用裂项法可求得数列bn的前n项和为Tn【解答】解：因为an为等差数列，设公差为d，则由题意得，整理得，所以an1+（n1）22

17、n1，又，所以【点评】本题考查数列的求和，着重考查解方程组求通项与裂项法求和的应用，属于中档题18（12分）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（）求A的大小；（）若sinB+sinC1，试判断ABC的形状【分析】（）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A（）把（）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出BC，可知ABC是等腰的钝角三角形【解答】解：（）由已知，根据正弦定

18、理得2a2（2b+c）b+（2c+b）c即a2b2+c2+bc由余弦定理得a2b2+c22bccosA故，A（0，）A120（）由（）得sin2Asin2B+sin2C+sinBsinC变形得（sinB+sinC）2sinBsinC又sinB+sinC1，得sinBsinC上述两式联立得因为0B60，0C60，故BC30所以ABC是等腰的钝角三角形【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的19（12分）已知数列an是一个等差数列，且a21，a55（）求an的通项an；（）求an前n项和Sn的最大值【分析】（）根据等差数列

19、通项公式ana1+（n1）d变形有anam+（nm）d，则公差，可得公差d，再由通项公式ana2+（n2）d，即可得到所求；（）根据等差数列前n项和公式，配方得，根据二次函数图象及性质可知，当n2时，前n项和取得最大值，最大值为4【解答】解：（）由题意可得公差，所以ana2+（n2）d1+（n2）（2）2n+5；（）a13，（n2）2+4，当n2时，前n项和取得最大值，最大值为4【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题20（12分）在ABC中，D在边BC上，且BD2，DC1，B60，ADC150，求AC的长及ABC的面积【分析】在ABC中，根据B60，BC3，AD

20、C150，可得AB1，结合正弦定理可得AC的长利用面积公式求ABC的面积【解答】解：由题意，B60，BC3，ADC150，可知ABD是直角三角形，AB1，AD在ADC中，由余弦定理：AC2AD2+DC22ADDCcos1507AC；ABC的面积为【点评】本题考查了正余弦定理的应用和计算属于基础题21（12分）在等比数列an中，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求an的公比；（2）若a1a33，求an的前n项和Sn【分析】（1）利用数列是等差数列，列出方程即可求出数列的公比（2）利用关系式求出数列的首项，然后求解数列的前n项和Sn【解答】解：（1）由题意S1，S3，S2成等差数列知：a1+（a1+a1q）2（a1+a1q+a1q2）得2q2+q0，q（6分）（2）由a1a33，可得a1a1（）23，解得a14，Sn1（）n（12分）【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列特定项的求法以及数列求和，考查计算能力22（12分）在ABC中，a5，B45，C105，求边c【分析】先求出A，然后由正弦定理，可求【解答】解：由三角形内角和定理，知A+B+C180，故A180（B+C）180（45+105）30由正弦定理，c【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形的内角和定理的简单应用，属于基础试题