2017-2018学年青海师大二附中高一（下）第一次月考数学试卷（含详细解答）

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1、2017-2018学年青海师大二附中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边 a，b，c应满足的条件是（）Aa2b2+c2Ba2b2+c2Ca2b2+c2Da2b2+c22（5分）已知等差数列an中，a7+a916，S11，则a12的值是（）A15B30C31D643（5分）在ABC中，若a，b1，B30，则角A的值为（）A30B60C120D60或1204（5分）在ABC中，a2b2+c2+bc，则角A为（）A30B45C120D15

2、05（5分）在ABC中，若，则ABC的形状是（）A直角三角形B等腰或直角三角形C不能确定D等腰三角形6（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2，a2c23bc则角A（）A150B120C60D307（5分）数列1，1，2，3，5，x，13，中的x等于（）A6B7C8D118（5分）已知Sn为等比数列an的前n项和，a12，若数列1+an也是等比数列，则Sn等于（）A2nB3nC2n+12D3n19（5分）若数列an为等差数列，公差为，且S100145，则a2+a4+a100的值为（）A60B其它值CD8510（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，若8，则（）A8B9C1

3、5D1611（5分）等差数列an（nN*）中，已知a15，且在前n项和Sn中，仅当n10时，S10最大，则公差d满足（）AdBdCD12（5分）算法统宗是中国古代数学名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升A9.0

4、B9.1C9.2D9.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）在数列an中，若a11，an+12an+3（n1），则该数列的通项an 14（5分）等差数列an的前n项和是Sn，若a1+a25，a3+a49，则S10的值为 15（5分）如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救在A处南偏西30且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B处求助，则sinACB 16（5分）如图，在ABC中，BAC120，ADAB，BCBD，AD1，则AC 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）对于数列an

5、，若Sn2an3n（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn18（12分）在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b，a+c4，求ABC的面积19（12分）在ABC中，AB，BC1，cos C（1）求sin A的值：（2）求的值20（12分）an是公比大于l的等比数列，Sn是an的前n项和若S37，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列（）求an的通项公式（）令bnlog2a2n，求数列bn的前n项和Tn21（12分）已知数列an的首项a11，且满足an+1（）设bn，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（）设cnbn2n，

6、求数列cn的前n项和Sn22（12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）1（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积，b5，求sinBsinC的值；（3）若a1，求ABC的周长l的取值范围2017-2018学年青海师大二附中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边 a，b，c应满足的条件是（）Aa2b2+c2Ba2b2+c2Ca2b2+c2Da2b2+c2【分析】根据余弦定

7、理cosA的式子进行正反论证，可得A为钝角的充要条件是a2b2+c2，得出答案【解答】解：不等边ABC中，若A为钝角，则由余弦定理可得：cosA0，b2+c2a20，即a2b2+c2反之，若a2b2+c2，也可以得到cosA0，得A为钝角故选：C【点评】本题给出不等边ABC，判断使A为钝角的条件着重考查了利用余弦定理解三角形和余弦函数的值域等知识，属于基础题2（5分）已知等差数列an中，a7+a916，S11，则a12的值是（）A15B30C31D64【分析】根据 a7+a916求得 a88，再由 求得 a6，设公差等于d，则有8+2d，求得d的值，再由a12a8+4d 求得结果【解答】解：等

8、差数列an中，a7+a9162a8，a8811a6，a6设公差等于d，则有8+2d，故 da12a8+4d15，故选：A【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于基础题3（5分）在ABC中，若a，b1，B30，则角A的值为（）A30B60C120D60或120【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sinA，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值【解答】解：在ABC中，若a，b1，B30，由正弦定理，得化简得sinAsin30ab1AB，可得A60或120故选：D【点评】本题给出三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角大小着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属

9、于基础题4（5分）在ABC中，a2b2+c2+bc，则角A为（）A30B45C120D150【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解：cosA，解得A120故选：C【点评】本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）在ABC中，若，则ABC的形状是（）A直角三角形B等腰或直角三角形C不能确定D等腰三角形【分析】把已知等式的左边利用同角三角函数间的基本关系切化弦，右边利用正弦定理变形，然后根据二倍角的正弦函数公式化简，由A和B为三角形的内角，根据正弦函数图象与性质得到A与B角度之间的关系，根据角度之间的关系即可得到三角形ABC的形状【解答】解：由正弦定理得：2R，（R为三角形

10、外接圆的半径）a2RsinA，b2RsinB，变形为：，化简得：2sinBcosB2sinAcosA，即sin2Bsin2A，由A和B为三角形的内角，得到2A2B或2A+2B180，即AB或A+B90，则ABC的形状是等腰三角形或直角三角形故选：B【点评】此题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换及正弦函数图象与性质根据正弦定理及同角三角函数公式化简已知的等式是本题的突破点6（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2，a2c23bc则角A（）A150B120C60D30【分析】由条件得到a，b，c之间的等量关系，结合余弦定理进行求解即可【解答】解：2，即b2c，则由a2c23b

11、c得a2c26c2，得a27c2，即ac，则由余弦定理得cosA，则A120，故选：B【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系进行求解是解决本题的关键7（5分）数列1，1，2，3，5，x，13，中的x等于（）A6B7C8D11【分析】根据数列的规律进行求解即可【解答】解：数列的规律为每两项相加的数值为后一项，则3+5x8，故选：C【点评】本题主要考查数列的项的判断，比较基础8（5分）已知Sn为等比数列an的前n项和，a12，若数列1+an也是等比数列，则Sn等于（）A2nB3nC2n+12D3n1【分析】根据an为等比数列可知a1a3a22，由数列an+1也是等

12、比数列可知（a1+1）（a3+1）（a2+1）2，两式联立可得a1a3，推断an是常数列，每一项是2，进而可得Sn【解答】解：an为等比数列，则a1a3a22，数列an+1也是等比数列，则（a1+1）（a3+1）（a2+1）2得：a1+a32a2（a1+a3）24（a2）24（a1a3）（a1a3）20a1a3即 an是常数列，ana12an+1也是常数列，每一项都是3故 Sn2n故选：A【点评】本题主要考查了等比数列中等比中项的应用属基础题9（5分）若数列an为等差数列，公差为，且S100145，则a2+a4+a100的值为（）A60B其它值CD85【分析】设Sa2+a4+a100，Ta1+

13、a3+a99，由题意可得S+T145，ST50，解S和T的方程组可得【解答】解：设Sa2+a4+a100，Ta1+a3+a99，由题意可得S100S+T145，ST50，联立解得S85，T60故a2+a4+a100的值为：85故选：D【点评】本题考查等差数列的求和公式，整体法是解决问题的关键，属基础题10（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，若8，则（）A8B9C15D16【分析】由题意易得数列的公比q2，由求和公式化简要求的式子，代值计算可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，则q38，解得q2，1+q39故选：B【点评】本题考查等比数列的求和公式，属基础题11（5分）等差数列an（nN

14、*）中，已知a15，且在前n项和Sn中，仅当n10时，S10最大，则公差d满足（）AdBdCD【分析】由等差数列an（nN*）中，a15，且在前n项和Sn中，仅当n10时，S10最大，可得a100，a110解出即可【解答】解：等差数列an（nN*）中，a15，且在前n项和Sn中，仅当n10时，S10最大，a100，a110即a1+9d0，a1+10d0，解得故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其性质，属于中档题12（5分）算法统宗是中国古代数学名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上

15、梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升A9.0B9.1C9.2D9.3【分析】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组求出a1，d，由此能求出中间两节可盛米的容积，可得结论【解答】解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端

16、第一节盛米a1升，由题意得，解得a11.36，d0.06，中间两节可盛米的容积为：a4+a5（a1+3d）+（a1+4d）2a1+7d2.3这根八节竹筒盛米的容积总共为：2.3+3.9+39.2（升）故选：C【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）在数列an中，若a11，an+12an+3（n1），则该数列的通项an2n+13【分析】由题意知an+1+32（an+3）（n1），由此可知该数列的通项an2n+13【解答】解：在数列an中，若a11，an+12an+3（n1

17、），an+1+32（an+3）（n1），即an+3是以a1+34为首项，2为公比的等比数列，an+342n12n+1，所以该数列的通项an2n+13【点评】本题考查数列的性质和应用，解题电动机发注意公式的灵活运用14（5分）等差数列an的前n项和是Sn，若a1+a25，a3+a49，则S10的值为65【分析】根据题意，设等差数列an的公差为d，由等差数列的性质可得（a3+a4）（a1+a2）4d4，解可得d的值，进而计算可得a1的值，由等差数列的前n项和公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为d，若a1+a25，a3+a49，则（a3+a4）（a1+a2）4d4，解可得d1

18、，又由a1+a25，即2a1+d5，解可得a12，则S1010a1+d65；故答案为：65【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，关键是求出a1与公差d15（5分）如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救在A处南偏西30且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B处求助，则sinACB【分析】连接BC，在三角形ABC中由余弦定理得求得BC，进而利用正弦定理求得sinACB的值【解答】解：在ABC中，AB40，AC20，ABC120由余弦定理，得BC2AB2+AC22ABACcos1202800，所以由正弦定理，得故答案为

19、：【点评】本题主要考查了余弦定理的应用和正弦定理作为解三角形常用的余弦和正弦定理公式，平时应熟练记忆，属于基础题16（5分）如图，在ABC中，BAC120，ADAB，BCBD，AD1，则AC2【分析】过C作CEAD交AD延长线于E，利用相似三角形得出DE，即可求出AE，从而得出AC【解答】解：如图，过C作CEAD交AD延长线于E则ABDECD1DE1，AEAD+DECAEBACBAD30，AC2故答案为：2【点评】本题考查了解三角形的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）对于数列an，若Sn2an3n（1）求数列an的通项公式；

20、（2）求数列an的前n项和Sn【分析】（1）运用数列的递推式：n1时，a1S1，n2时，anSnSn1，结合等比数列的通项公式，即可得到所求通项；（2）由数列的分组求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）Sn2an3n，n1时，a1S12a13，即有a13，n2时，anSnSn12an3n2an1+3（n1），化为an2an1+3，即有an+32（an1+3），则an+362n132n，即an32n3；（2）前n项和Sn3（2+4+8+2n）3n33n62n63n【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：分组求和，

21、考查运算能力，属于中档题18（12分）在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b，a+c4，求ABC的面积【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值【解答】解：（1）由正弦定理得：a

22、2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，将上式代入得，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB0，即2sinAcosB+sin（B+C）0，A+B+C，sin（B+C）sinA，2sinAcosB+sinA0，即sinA（2cosB+1）0，sinA0，cosB，B为三角形的内角，B（2）将b，a+c4，B代入余弦定理b2a2+c22accosB得：b2（a+c）22ac2accosB，即即13162ac（1），ac3，SABCacsinB【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形熟练掌握定理及公式是解本题的关键属于中档题19（12分）在ABC中，AB，B

23、C1，cos C（1）求sin A的值：（2）求的值【分析】（1）利用正弦定理即可求解sinA的值；（2）利用向量的夹角公式化简，结合余弦定理即可求解【解答】解：（1）由题意：ABc，BCa1，cos C则sinC由正弦定理：，可得sinA（2）由abcosC，c，BCa1，cos C余弦定理：c2b2+a22bacosC，解得：b2由abcosC【点评】本题考查了正余弦定理的灵活应用和向量夹角的公式的计算属于基础题20（12分）an是公比大于l的等比数列，Sn是an的前n项和若S37，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列（）求an的通项公式（）令bnlog2a2n，求数列bn的前n项和T

24、n【分析】（）利用S37，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，组成方程组，求出首项与公比，即可求an的通项公式（）求得数列bn的通项，利用等差数列的求和公式求前n项和Tn【解答】解：（）设an的公比为q（q1），则 2分即，也即，解得故数列an的通项为6分（）由（）得，故，8分故bn是以1为首项，以2为公差的等差数列 10分12分【点评】本题考查等比数列与等差数列的通项，考查数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题21（12分）已知数列an的首项a11，且满足an+1（）设bn，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（）设cnbn2n，求数列cn的前n项和Sn【分析】（

25、I）为等差数列的证明，由取倒数，得到，即bn+1bn4，故数列bn是以1为首项，4为公差的等差数列，易求通项公式（II）为数列的求和，由可知数列的每一项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，故可由错位相减法求和【解答】解：（），即，bn+1bn4数列bn是以1为首项，4为公差的等差数列4n3，数列an的通项公式为（）由（）知（4n3）2n，同乘以2得，得，2（4n3）2n+1+162n11614+2n+1（44n+3）14+（74n）2n+1数列cn的前n项和【点评】本题为数列的综合问题：（1）为等差数列的证明，关键是证明bn+1bn为与n无关的常数（2）为数列的求和，由错位相减法求

26、和可得结果，注意运算过程中的等比数列的求和22（12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）1（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积，b5，求sinBsinC的值；（3）若a1，求ABC的周长l的取值范围【分析】（1）、根据题意，由cos2A3cos（B+C）1利用倍角公式和诱导公式变形可得2cos2A+3cosA20，解可得cosA的值，结合A的范围，即可得答案；（2）、由三角形面积公式可得bc20，结合题意进而可得b、c的值，又由余弦定理可得a的值，由正弦定理得2，计算可得sinB、sinC的值，相乘即可得答案；（3）、根据题意，由余弦定理可

27、得1b2+c22bccosAb2+c2bc，将其变形可得b2+c2bc+1，由基本不等式可得（b+c）21+3bc1+3（）2，解可得b+c的最大值，结合三角形三遍关系可得b+c的取值范围，又由la+b+c1+b+c计算可得答案【解答】解：（1）由cos2A3cos（B+C）1，得2cos2A+3cosA20，即（2cosA1）（cosA+2）0，解得cosA或cosA2（舍去）因为0A，所以A；（2）根据题意，SbcsinAbc5，即bc20，又由b5，则c4；由余弦定理得a2b2+c22bccosA25+162021，故a，又由正弦定理得2，sinB，sinC，sinBsinC；（3）根据题意，周长la+b+c1+b+c，由（1）A，则有1b2+c22bccosAb2+c2bc，即b2+c2bc+1，（b+c）21+3bc1+3（）2，解可得b+c2，又由b+ca1，即1b+c2，故有2l3，ABC的周长l的取值范围为（2，3【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、均值不等式等基础知识，（3）不要忽略三角形的三边关系