2018-2019学年山东省潍坊市高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年山东省潍坊市高一（下）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）sin（）ABCD2（3分）已知向量（m，1），（3，3），且（），则m（）A3B4C5D63（3分）若cossin，则sin2（）ABCD4（3分）已知向量（sin，），（，cos）（0），且，则cos（）（）ABCD5（3分）圆C1：（x+1）2+（y1）24与圆C2：（x3）2+（y4）225的位置关系是（）A相离B相交C相切D内含6（3分）若将函数ycos2x的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）Axk，kZBxk+，kZCxk，kZDxk+，

2、kZ7（3分）位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中OA与地面垂直，垂足为点D，某乘客从D处进入A处的观景舱，顺时针转动t分钟后，第1次到达B点，此时B点与地面的距离为114米，则t（）A16分钟B18分钟C20分钟D22分钟8（3分）若f（x）sin（x）+cos（x）在a，a上是增函数，则a的最大值是（）ABCD9（3分）已知直线mx+y30与圆O：x2+y23交于A，B两点（O为坐标原点），且|AB|，则m（）AB

3、CD310（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为OC的中点，连接BE，并延长交CD于F，则（）A+B+C+D+11（3分）“圆材埋壁”是九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦AB1尺，弓形高CD1寸，则阴影部分面积约为（注：3.14，sin22.5，1尺10寸）（）A6.33平方寸B6.35平方寸C6.37平方寸D6.39平方寸12（3分）已知O是ABC内一点，且

4、，点M在OBC内（不含边界），若+，则+2的取值范围是（）A（1，）B（1，2）C（）D（）二、填空题（将答案填在答题纸上）13（3分）sin20cos10+cos20sin10   14（3分）已知向量（1，2），（4，3），则向量的单位向量为   ，向量在方向上的正射影的数量为   15（3分）已知定义域为R的函数f（x）同时满足以下三个条件：函数的图象不过原点；对任意xR，都有f（x）f（x）；对任意xR，都有f（x+）f（x）请写出一个符合上述条件的函数表达式为f（x）   （答案不唯一，写出一个即可）16（3分）给出以下四个结论：函数ysin（

5、x+）是偶函数；当x0，时，函数f（x）2cos（2x+）的值域是2，；若扇形的周长为15cm，圆心角为rad，则该扇形的弧长为6cm；已知定义域为R的函数f（x），当且仅当2kx2k+（kZ）时，f（x）0成立则上述结论中正确的是   （写出所有正确结论的序号）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知|2，2，（1）求|；（2）求，18已知4（1）求tan的值；（2）求tan（2）的值19已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）（1）求cos（+）的值；（2）将点P与原点距离保持不变，逆时针旋转（0）角到点Q（3，4），求cos

6、的值20已知向量（cosx，2sinx），（2cosx，cosx），函数f（x），其图象的两条相邻对称轴间的距离为（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到yg（x）的图象，求g（x）在0，上的单调递增区间21建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28C时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调如图是该市夏季一天的气温（单位：C）随时间（0t24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数yAsin（t+）+b（A0，0，|）关系（1）求

7、函数yf（x）的表达式；（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？22已知C：x2+y2+Dx+Ey120关于直线x+2y40对称，且圆心在y轴上（1）求C的标准方程；（2）已经动点M在直线y10上，过点M引C的两条切线MA、MB，切点分别为A，B记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；证明直线AB恒过定点2018-2019学年山东省潍坊市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）sin（）ABCD【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：s

8、insin（+）sin，故选：C【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键2（3分）已知向量（m，1），（3，3），且（），则m（）A3B4C5D6【分析】根据向量减法的坐标运算，表示出，再由向量垂直的坐标关系即可求得m的值【解答】解：；m5故选：C【点评】本题考查了向量减法和乘法的坐标运算，向量垂直的充要条件，属于基础题3（3分）若cossin，则sin2（）ABCD【分析】将cossin左右两边同时平方，结合同角三角函数关系式及正弦的二倍角公式即可求得sin2的值【解答】解：因为cossin，左右两边同时平方得：cos22sincos+sin2，因为cos2+s

9、in21，化简可得2cossin1，即sin2故选：A【点评】本题考查了同角三角函数关系式、二倍角公式的简单应用，属于基础题4（3分）已知向量（sin，），（，cos）（0），且，则cos（）（）ABCD【分析】根据即可得出，从而得出，根据即可求出，从而得出，进而得出【解答】解：；故选：A【点评】本题考查了向量平行的坐标关系，正弦二倍角公式的简单应用，三角函数值的求解，属于基础题5（3分）圆C1：（x+1）2+（y1）24与圆C2：（x3）2+（y4）225的位置关系是（）A相离B相交C相切D内含【分析】直接利用圆心距和两圆的半径之间的关系求出结果【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y1）24

10、，圆心坐标为（1，1），半径为2，圆C2：（x3）2+（y4）225，圆心坐标为（3，4）半径为5，则：圆心距为：O1O2，则：253O1O23+58，所以两圆的位置关系为相交故选：B【点评】本题考查的知识要点：圆与圆位置关系的应用属于基础题6（3分）若将函数ycos2x的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）Axk，kZBxk+，kZCxk，kZDxk+，kZ【分析】先求得平移后的函数解析式，再根据余弦函数的对称轴即可求解【解答】解：将函数ycos2x的图象向右平移个单位长度即可得ycos（2x），根据余弦函数的对称轴方程可知（kZ），解得：（kZ）故选：D【点评】本题考查了余弦

11、函数的平移变化与对称轴方程求法，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题7（3分）位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中OA与地面垂直，垂足为点D，某乘客从D处进入A处的观景舱，顺时针转动t分钟后，第1次到达B点，此时B点与地面的距离为114米，则t（）A16分钟B18分钟C20分钟D22分钟【分析】根据摩天轮的直径和所给线段，求得OD的值；再作OCAD，BEOC，根据OE与OB的长度，求得BOE的度数，即可得BOA

12、的度数，进而根据顺时针旋转即可求得经过的时间t【解答】解：根据题意，作OCAD，BEOC，如下图所示；直径为124，则OBOA62，BF114，所以OD1456283，则BEBFOD1148331，所以sinBOE，即BOE30，所以BOD120，因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，所以从A到B所需时间为3020（分钟）故选：C【点评】本题考查了圆及其性质的应用问题，是基础题8（3分）若f（x）sin（x）+cos（x）在a，a上是增函数，则a的最大值是（）ABCD【分析】根据辅助角公式，化简函数f（x）解析式，再根据函数单调递增条件求得单调递增区间，进而求得a 的最大值【解答】解：因为

13、f（x）sin（x）+cos（x），由辅助角公式可得f（x）sin（x+）sinx，则由正弦函数的单调性可得f（x）的单调递增区间为：2k，2k+，kZ，因为f（x）在a，a上是增函数，则a 的最大值是故选：B【点评】本题考查了辅助角公式的用法，正弦函数单调区间的求法，属于基础题9（3分）已知直线mx+y30与圆O：x2+y23交于A，B两点（O为坐标原点），且|AB|，则m（）ABCD3【分析】根据直线与圆相交，结合垂径定理及点到直线距离公式即可求得参数m的值【解答】解：根据题意，圆O：x2+y23的圆心为（0，0），半径r，若直线mx+y30与圆O：x2+y23交于A，B两点，且|AB|，

14、则AOB为等边三角形，则圆心O到直线的距离d|AB|，则有，解可得：m，故选：A【点评】【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理的简单应用，属于基础题10（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为OC的中点，连接BE，并延长交CD于F，则（）A+B+C+D+【分析】根据平行四边形性质及E为OC中点，由相似三角形可得CFBA，结合向量线性运算可得解【解答】解：在平行四边形ABCD中，点E为OC的中点，且延长后交CD于F，所以CFBA，根据向量线性运算可知，+，故选：D【点评】本题考查了平行四边形的性质，向量的线性运算，属于基础题11（3分）“圆材埋壁”是九章算术中的一个问题：“今有圆材，

15、埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦AB1尺，弓形高CD1寸，则阴影部分面积约为（注：3.14，sin22.5，1尺10寸）（）A6.33平方寸B6.35平方寸C6.37平方寸D6.39平方寸【分析】连接OC，设半径为r，则ODr1，在直角三角形OAD中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形OAB的面积，减去三角形OAB即可得阴影部分的面积【解答】解：连接OC，设半径为r，AD5寸，则ODr1，在直角三

16、角形OAD中，OA2AD2+OD2，即r252+（r1）2，解得r13，则sinAOC，所以AOC22.5，则AOB222.545，所以扇形OAB的面积S166.33，三角形OAB的面积S260，所以阴影部分面积为S1S266.33606.33故选：A【点评】本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题12（3分）已知O是ABC内一点，且，点M在OBC内（不含边界），若+，则+2的取值范围是（）A（1，）B（1，2）C（）D（）【分析】根据可知O为AB的重心；根据点M在OB内，判断出当M与O重合时，+2最小；当M与C重合时，+2的值最大，因不

17、含边界，所以取开区间即可【解答】解：因为ABC内一点，所以O为AB的重心又M在OBC内（不含边界），且当M与O重合时，+2最小，此时（）所以，即+21，当M与C重合时，+2最大，此时所以0，1，即+22，因为M在OBC内且不含边界所以取开区间，即+2（1，2），故选：B【点评】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题二、填空题（将答案填在答题纸上）13（3分）sin20cos10+cos20sin10【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值【解答】解：sin20cos10+cos20sin10sin（20+10）sin30，故答案为：【点评】本题主要考查两角和

18、的正弦公式的应用，属于基础题14（3分）已知向量（1，2），（4，3），则向量的单位向量为，向量在方向上的正射影的数量为【分析】可求出，从而得出的单位向量为，又可求出，从而可得出向量在方向上的投影为【解答】解：；的单位向量为：；在方向上的投影为：故答案为：【点评】考查单位向量的概念，投影的定义及计算公式，以及单位向量的求法，向量坐标的数乘运算15（3分）已知定义域为R的函数f（x）同时满足以下三个条件：函数的图象不过原点；对任意xR，都有f（x）f（x）；对任意xR，都有f（x+）f（x）请写出一个符合上述条件的函数表达式为f（x）cos2x（答案不唯一，写出一个即可）【分析】由可知函数f（x

19、）为偶函数，由可知函数f（x）的周期为，结合f（x）不过原点，即可写出函数f（x）的一个解析式【解答】解：由题意，根据可知函数f（x）为偶函数，由可知函数f（x）的周期为，再由函数f（x）不过原点，则满足的函数如：f（x）cos2x故答案为：cos2x【点评】考查偶函数、周期函数的定义，函数图象上点的坐标和函数解析式的关系，函数yAcos（x+）的周期的求法16（3分）给出以下四个结论：函数ysin（x+）是偶函数；当x0，时，函数f（x）2cos（2x+）的值域是2，；若扇形的周长为15cm，圆心角为rad，则该扇形的弧长为6cm；已知定义域为R的函数f（x），当且仅当2kx2k+（kZ）时

20、，f（x）0成立则上述结论中正确的是（写出所有正确结论的序号）【分析】利用特殊值代入中的解析式即可判断；根据函数单调性及自变量取值范围，可判断；根据扇形的周长及圆心角即可求得半径，进而求得弧长，可判断；讨论sinxcosx的符号去绝对值，即可判断【解答】解：当x与x时，代入中的解析式所得函数值不相等，所以错误；当x0，时，2x+x，由余弦函数图象可知函数f（x）2cos（2x+）的值域是2，；所以正确；因为若扇形的周长为15cm，圆心角为rad，设半径为r，则152rr，解得r6，所以弧长为lar3 cm，所以错误；当sinxcosx0时，函数f（x）cosx，2kx2k+（kZ）时，f（x）

21、0；当sinxcosx0时，函数f（x）sinx，2kx2k+（kZ）时，f（x）0，所以正确综上所述，正确故答案为：【点评】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数定义域与值域的求法，弧度制的定义计算属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知|2，2，（1）求|；（2）求，【分析】（1）根据向量数量积定义求得|，根据模的运算即可求得|（2）根据向量数量积定义及公式求得|，结合向量数量积即可求得，得解【解答】解：（1）因为|cos|2，即|2，故|2，（2）因为|2，所以cos，又，0，所以，【点评】本题考查了向量数量积的应用，向量的模长、夹角的应用，属于

22、基础题18已知4（1）求tan的值；（2）求tan（2）的值【分析】（1）等式左右两边同时乘以分母，化简后即可求得tan的值；（2）根据（1）中结论，利用二倍角公式即可求得tan2的值，再由正切函数的差角公式即可求得tan（2）的值【解答】解：（1）由题已知：10sin+3cos8sin+4cos，可得2sincos，所以tan（2）由（1）知tan2，所以tan（2）【点评】本题考查了同角三角函数关系式的化简求值，正切函数二倍角公式及正切差角公式的应用，属于基础题19已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，）（1）求cos（+）的值；（2）将点P与原点距离保持不

23、变，逆时针旋转（0）角到点Q（3，4），求cos的值【分析】（1）根据终边过点P，可求得OP的值，结合三角函数定义即可求得cos，进而利用诱导公式求得cos（+）的值；（2）根据题意可求得cos（+），结合同角三角函数关系式可求得sin（+），进而根据余弦的差角公式及coscos（+），即可求得cos的值【解答】解：（1）因为的终边过P（，），所以r|OP|5，由三角函数的定义cos，sin，所以cos（+）cos（2）由题意知：cos（+），由sin2（+）+cos2（+）1，可得sin（+）所以coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin（）+【点评】本题考查了三角函数的定义，

24、余弦函数差角公式的应用，属于基础题20已知向量（cosx，2sinx），（2cosx，cosx），函数f（x），其图象的两条相邻对称轴间的距离为（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到yg（x）的图象，求g（x）在0，上的单调递增区间【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合二倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期即可求得的值；（2）根据图象平移变化过程，可求得g（x）的解析式，根据正弦函数单调递增区间为【解答】解：（1）向量（cosx，2sinx），（2cosx，cosx），函数f（x），因为相邻对称轴间距离

25、为，由T2，得：，所以，所以：（2）函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到yg（x）2sin（2x+）的图象，令（kZ）解得：（kZ）令k0时，0，为增区间，令k1时，为增区间，所以g（x）在0，上的增区间为0，和【点评】本题考查了向量数量积的应用，辅助角公式化简三角函数式，三角函数图象平移变化及单调区间的求法，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题21建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28C时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调如图是该市夏季一天的气温（单位：C）

26、随时间（0t24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数yAsin（t+）+b（A0，0，|）关系（1）求函数yf（x）的表达式；（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？【分析】（1）根据函数图象可知周期T，进而根据求得的值；结合函数的最大值和最小值，可求得A，代入最低点坐标（2，16），即可求得，进而得函数f（t）的解析式（2）根据题意，令，解不等式，结合t的取值范围即可求得开启和关闭中央空调时间【解答】解：（1）由图知，T2（142）24，所以，解得：由图知，A，所以：f（t）8sin（）+24将点（2，16）代入函数解析式得：，得（kZ），

27、即：（kZ），又因为|，得所以：（2）依题意，令，可得，所以：（Z），解得：24k+10t24k+18（kZ）令k0，得，10t18，故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭【点评】本题考查了利用部分函数图象求三角函数解析式，三角函数在实际问题中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题22已知C：x2+y2+Dx+Ey120关于直线x+2y40对称，且圆心在y轴上（1）求C的标准方程；（2）已经动点M在直线y10上，过点M引C的两条切线MA、MB，切点分别为A，B记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；证明直线AB恒过定点【分析】（1）根据圆的一般式，可得圆心坐标，将圆心坐标

28、代入直线方程，结合圆心在y轴上，即可求得圆C的标准方程（2）根据切线性质及切线长定理，表示出|MA|、|MB|的长，根据圆的性质可知当|MC|最小时，即可求得面积的最小值；设出M点坐标，根据两条切线可知M、A、C、B四点共圆，可得圆心坐标及半径，进而求得C的方程，根据两个圆公共弦所在直线方程求法即可得直线方程，进而求得过的定点坐标【解答】解：（1）由题意已知C：x2+y2+Dx+Ey120关于直线x+2y40对称，且圆心在y轴上，所以有圆心C（，）在直线x+2y40上，即：E40，又因为圆心C在y轴上，所以：0，由以上两式得：D0，E4，所以：x2+y24y120故C的标准方程为：x2+（y2

29、）216（2）如图，C的圆心为（0，2），半径r4，因为MA、MB是C的两条切线，所以CAMA，CBMB，故|MA|MB|；又因为：S2SACM4|MA|4；根据平面几何知识，要使S最小，只要|MC|最小即可易知，当点M坐标为（0，10）时，|MC|min8，此时Smin416设点M的坐标为（a，10），因为MACMBC90，所以M、A、C、B四点共圆其圆心为线段MC的中点C（，6），|MC|，设MACB所在的圆为C，所以C的方程为：（x）2+（y6）216+，化简得：x2+y2ax12y+200，因为AB是C和C的公共弦，所以：，两式相减得ax+8y320，故AB方程为：ax+8y320，当x0时，y4，所以直线AB恒过定点（0，4）【点评】本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，圆中三角形面积问题的应用，直线过定点问题，综合性强，属于难题