【100所名校】2019届甘肃省兰州一中高三上学期12月月考数学（文）试题（解析版）

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1、2019届甘肃省兰州一中高三上学期12月月考数学（文）试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知集合A=x2x-1x-21,B=xy=log2(x2-3x+2),则AB=A-,-1 B(12,1) C2,+ D-1,12设p:b

2、a0，q:1a0)个单位，所得图象关于原点对称，则最小时，tan=A-33 B33 C-3 D36已知数列an满足an=14n2-1，Sn=a1+a2+an，若mSn恒成立，则m的最小值为A0 B1 C2 D127设M是ABC边BC上任意一点，N为AM的中点，若AN=AB+AC，则+的值为A12 B13 C14 D18已知非零向量a，b，满足a=2b，若函数f(x)=13x3+12ax2+abx+1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为A0,3 B3, C0,3 D3,9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 A6+62 B8+42 C6+42+23 D

3、6+22+4310设等差数列an的前n项和为Sn，已知(a5-1)3+2018(a5-1)=1，(a2014-1)3+2018(a2014-1)=-1，则下列结论正确的是AS2018=-2018,a2014a5 BS2018=2018,a2014a5CS2018=-2018,a2014a5 DS2018=2018,a2014a511已知锐角ABC的一边BC在平面内，A，点A在平面内的射影为点P，则ABC与BPC的大小关系为ABACBPCCBAC=BPC D以上情况都有可能12已知函数f(x)=ex,x0)（）求函数f(x)的单调区间； （）记函数f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)0的解

4、集；（）若关于x的不等式2m+1f(x+3)+3x+5有解，求实数m的取值范围.三、填空题20在ABC中，AB=3，AC=4，BC=3，D为BC的中点，则AD=_21若曲线f(x)=4lnx-x2在点(1,-1)处的切线与曲线y=x2-3x+m相切，则m的值是_.22已知球O为正四面体ABCD的内切球，E为棱BD的中点，AB=2，则平面ACE截球O所得截面圆的面积为_23已知OA=(1,0),OB=(1,1),(x,y)=OA+OB.若012,z=xm+yn(m0,n0)的最大值为2，则m+n的最小值为_.2019届甘肃省兰州一中高三上学期12月月考数学（文）试题数学 答 案参考答案1D【解析

5、】【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可.【详解】解：由A中不等式变形得：2x-1x-2-10，即为2x-1-x-2x-20变形可得：x-2x+10，解得-1x2，即A=-1,2，对于B中由x23x+20，得x1或x2，故B=x|y=log2（x23x+2）=x|x1或x2，即AB=(-1,1).故选:D.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题2A【解析】【分析】根据条件，分析是否成立即可。【详解】若ba0，则1a1b成立，所以是充分性若1a1b，则当0b，a0时成立，不满足ba0，所以不是必要性所以p是q的充分不必要条件

6、所以选A【点睛】本题考查了不等式成立条件及充分必要条件，属于基础题。3C【解析】【分析】由等比数列性质知a92=a7a11，且a9=a7q2=-4q20 由此能求出a9的值【详解】解：数列an为等比数列，且a11=-16,a7=-4, a92=a7a11=（4）（16）=64，且a9=a7q2=-4q2Sn恒成立，则m12则m的最小值为12 .故选：D.【点睛】本题主要考查对数列的通项公式进行变形再利裂项相消对数列求和,解题的关键是正确求出Sn 的最大值.7A【解析】分析：因为M为边BC上任意一点，故将AN=AB+AC中的AN 化为AM得12AM=AB+AC变形得AM=2AB+2AC。则2+2

7、=1，可得+=12。详解：因为N为AM的中点，AN=AB+AC，所以12AM=AB+AC，即 AM=2AB+2AC因为M为边BC上任意一点，所以2+2=1， 所以+=12。故选A。点睛：由AN=AB+AC，求+的值。注意结论的运用：若O,A,B,C是一平面内四点，若OA=OB+OC ，则+=1。反之成立。8B【解析】【分析】先求导数fx=x2+ax+ab,而根据f（x）在R上存在极值便有f（x）=0有两个不同实数根，从而=a2-4ab0 这样即可得到cos12 这样由余弦函数的图象便可得出的范围，即得出结果.【详解】解：fx=x2+ax+ab，f（x）在R上存在极值；f（x）=0有两个不同实数

8、根；=a2-4ab0;即a2-4abcos0，因为a=2b，cosa4b=2b4b=12；3,；a与b夹角的取值范围为3, . 故选：B【点睛】考查函数极值的概念，以及在极值点两边的导数符号的关系，一元二次方程的实数根的个数和判别式取值的关系，数量积的计算公式，并要熟悉余弦函数的图象9C【解析】所以棱锥P-ABCD的表面积为222+34(22)2+31222=6+42+23 选C.点睛:空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面

9、积问题注意其侧面展开图的应用10D【解析】【分析】由题意构造函数f（x）=x3+2018x，求出f（x），判断出函数f（x）为单调递增函数且为奇函数，由已知的两等式得到f（a51）=1及f（a20141）=1，由f（x）为奇函数得到f（1a2014）=1，由函数的单调性得到a51与1a2014相等即a5+a2014=2，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出S2018，根据等差数列的性质化简后，将a5+a2014=2代入即可求出值，再根据单调性判断出a5a2014【详解】解：令f（x）=x3+2018x，则f（x）=3x2+20180，得到f（x）在R上单调递增，且f（x）为奇函数由条件，有f

10、（a51）=1，f（a20141）=1，即f（1a2014）=1a51=1a2014，从而a5+a2014=2，则Sn=2018a1+a20182=2018a5+a20142=2018 f（a51）=1，f（a20141）=1，f（x）在R上单调递增，a51a20141，即a5a2014，故选：D【点睛】本题考查灵活运用等差数列的性质及前n项和的公式化简求值，函数的单调性与导数的关系，考查了构造函数、利用函数思想解决实际问题的能力,是一道中档题11A【解析】【分析】过点p作PDBC于点D，连接AD.在RtACD和RtPCD中分别计算tanCAD和tanCPD就可以比较CAD和CPD的大小，进而

11、比较BAC和BPC 大小.【详解】解：过点p作PDBC于点D，连接AD如下图.则BD面APD,在RtACD中，tanCAD=CDAD，在RtPCD中，tanCPD=CDPD,在RtAPD中，ADPD,所以CDADCDPD也即tanCADtanCPD，由于都是锐角，故CADCPD；同理可得BADBPD;所以CAD+BADCPD+BPD即BACBPC.【点睛】解决本题的关键作出辅助线，通过直角三角形中正切值可比出角的大小，属于中档题.12B【解析】【分析】根据x0，x0时f（x）的单调性和最值，作出y=f（x）的图象，设m=f（x），则g(x)=2f(x)2-3f(x)-2变形为2m23m-2=0

12、，解得m=2或-12 ，再由图像f（x）=2或f（x）=-12得交点个数即为零点个数.【详解】解：由题意，当x0，fx=6x3-9x2+1, fx=18x2-18x=18xx-1 ,故当x0,1时，fx0且f1=-2 ，作出fx的大致图像，令g(x)=2f(x)2-3f(x)-2中m=fx变形为2m23m-2=0，解得m=2或-12 ，再由图像f（x）=2或f（x）=-12，观察可知，函数g(x) 的零点个数为3.【点睛】本题函数与方程的应用，函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查学生分析解决问题的能力，函数的性质等基础知识13（1）an=n（2）Sn=2-n+22n【解析】

13、【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得an的通项公式。（2）数列an2n可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解。【详解】（1）由题意得a22=a1a4，(a1+1)2=a1(a1+3)，故a1=1，所以an的通项公式为an=n（2）设数列C的前n项和为Sn，则Sn=12+222+323+n2n，12Sn=122+223+324+n2n+1，两式相减得12Sn=12+(122+123+124+12n)-n2n+1=1-12n-n2n+1， 所以Sn=2-n+22n【点睛】本题考查了等差数列通项公式、等比中项的定义，错位相减法在求和公式

14、中的应用，属于基础题。14（1）y=0.16t+6.44 （2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨【解析】【分析】（1）先求得t,y，然后利用线性回归方程的计算公式计算得到b,a的值，从而求得线性回归方程.（2）将t=8代入（1）求得的回归直线方程，来求2019年产量的预测值.【详解】（1）由题意可知：t=1+2+3+4+5+66=3.5，y=6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.46=7， i=16ti-t2=-2.52+-1.52+-0.52+0.52+1.52+2.52=17.5，b=i=1nti-tyi-yi=1nt1-t2=2.817.5=0.16，又a=y-bt

15、=7-0.163.5=6.44， y关于t的线性回归方程为y=0.16t+6.44 （2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码t=8，此时y=0.168+6.44=7.72，所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，并考查了利用回归直线方程来预测的知识.求解回归直线方程，只需要将题目所给的数据，代入回归直线方程的计算公式，即可求解出来.属于基础题.主要是运算不要出错，并且，回归直线方程值y=bx+a，不是y=ax+b，这一点要特别注意.15（1）见解析（2）36【解析】【分析】(1)H在下底面圆周上，且CD为下底面半圆的直径,

16、得到DH垂直于HC，DHFH进而得到DH平面BCFH，最终根据面面垂直的判定定理得到面面垂直；(2) 三棱锥H-AGP的体积V=VA-PGH=13SPGHAD，因为G、H为DC的三等分点结合题干条件得到PDG,PGH,PHC均为边长等于1的等边三角形，进而求得结果.【详解】（1）因为H在下底面圆周上，且CD为下底面半圆的直径所以DHHC 又因为DHFH，且CHFH=H，所以DH平面BCHF 又因为DH平面ADHF，所以平面ADHF平面BCHF （2）设下底面半径为r，由题r=，所以r=1， 因为下底面半圆圆心为P，所以PD=PG=PH=PC=r=1又因为G、H为DC的三等分点，DPG=GPH=

17、HPC=60所以PDG,PGH,PHC均为边长等于1的等边三角形，所以PGH的面积SPGH=34 所以三棱锥H-AGP的体积V=VA-PGH=13SPGHAD=36【点睛】这个题目考查了面面垂直的判定，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.16（）y2=4x（）-1【解析】【分析】（）设Mx，y，由x-12+y2=x+1化简即可得结论；（）设直线DP的斜率为k(k0)，则直线DQ的斜率为-k，联立直线方

18、程与抛物线方程求出P、Q两点坐标，继而求出斜率【详解】（）设点M到直线l的距离为d，依题意MF=d设Mx,y，则有x-12+y2=x+1化简得y2=4x所以点M的轨迹C的方程为y2=4x（）设直线DP的斜率为k(k0)，则直线DQ的斜率为-k.令t=1k，联立方程组：x-1=t(y-2)y2=4x，消去x并整理得：y2-4ty+8t-4=0 设P(xp，yp)，因为点D的坐标为1,2，所以2yp=8t-4，故yp=4t-2，从而点P的坐标为(4t2-4t+1，4t-2)，用-t去换点P坐标中的t可得点Q的坐标为(4t2+4t+1，-4t-2)，所以直线PQ的斜率为-4t-2-(4t-2)4t2

19、+4t+1-(4t2-4t+1)=-1【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离，求轨迹方程的常见方法很多，本题采用了直接法，设出动点的坐标x，y，根据题意列出关于x，y的等式即可。在求直线的斜率为定值时需要求出两点坐标，结合斜率公式求出结果。17(1) f（x）在0,a上单调递减，在a,+上单调递增;(2)证明见解析【解析】【分析】(1) 写出定义域，求函数导数，分析导数何时大于零，何时小于零即可求出单调区间 (2) 由（）知：f(x)min=f(a)，原不等式式化为a-alna-1a0 即可，利用导数即可证明h(a)min0.【详解】（1）显然的定义域为 ，若，此时，在上单调递减

20、；若，此时，在上单调递增；综上所述：在上单调递减，在上单调递增 （2）由（）知：，即： 要证，即证明，即证明，令，则只需证明， ，且，当，此时，在上单调递减；当，此时，在上单调递增， 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，构造函数利用导数求最值来证明不等式，属于难题.18（1）(x-2)2+y2=4,x2+(y-2)2=4；（2）34.【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为24sin，由此能求出C2的直角坐标方程（2）曲线C1化为极坐标方程为4cos，设A（1，1），B（2，2），从而得到|AB|12|4sin4cos|4

21、2|sin（-4）|42，进而sin（-4）1，由此能求出结果【详解】解：（1）由x=2+2cosy=2sin消去参数，得C1的普通方程为(x-2)2+y2=4.=4sin2=4sin，又x=cosy=sin，C2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.（2）由（1）知曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4，其极坐标方程为=4cos，AB=A-B=4sin-cos=42sin(-4)=42.sin(-4)=1-4=k+2=k+34(kZ)又0，=34.【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解

22、能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题19（1）(-,-13)(3,+)；（2）(-,-32,+)【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；（2）f(x+3)+3x+5=2x+5+2x+10，利用绝对值的三角不等式求得2x+5+2x+10的最小值min，然后解不等式2m+1min即可详解：（1）f(x)=x-3,x12-3x-1,-2x0时，得x3；当-3x-10时，得-2x0时，得x-2，综上可得不等式f(x)0的解集为(-,-13)(3,+).（2）依题意2m+1(f(x+3)+3x+5)min，令g(x)=f(x+3)+3x+

23、5=2x+5+2x+10 -2x-5+2x+10=5.2m+15，解得m2或m-3，即实数m的取值范围是(-,-32,+).点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：（1）“能成立”：存在x使不等式tf(x)成立tf(x)min，存在x使不等式tf(x)成立tf(x)max；（2）“恒成立”：对任意的x不等式tf(x)恒成立tf(x)max，对任意的x不等式tf(x)恒成立tf(x)min20412.【解析】【分析】首先应用余弦定理，利用三角形的边长，求得cosB的值，之后在ABD中，根据余弦定理，从而求得AD的长.【详解】在ABC中，根据余弦定理，可得cosB=32+

24、32-42233=19，在ABD中，根据余弦定理，可得AD2=32+(32)2-233219=414，所以AD=412，故答案是412.【点睛】该题考查的是三角形中有关边长的求解问题，涉及到的知识点有余弦定理，一步是应用余弦定理求内角的余弦值，第二步是借助于所求的余弦值求边长，正确应用公式是解题的关键.21134【解析】【分析】利用导数的几何意义得到切线方程，联立方程，由判别式法得到m的值.【详解】因为f(x)=4lnx-x2，所以f(x)=4x-2x，所以f(1)=2，所以曲线f(x)在点(1,-1)处的切线方程为y+1=2(x-1)，即y=2x-3，联立y=2x-3y=x2-5x+m+3得

25、x2-5x+m+3=0，为直线与曲线相切，所以=25-4(m+3)=0，解得m=134.故答案为：134【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率，其求法为：设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y0=f(x0)(x-x0)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x0226【解析】【分析】根据正四面体的性质，可得内切球半径,根据平面ACE截球O所得截面经过球心，可得答案.【详解】因为球O为正四面体ABCD的内切球， AB=2，所以正

26、四面体的高为h=22-(233)2=263，由等体积法可知：13r43422=13h3422 故内切球半径r=6122=66，又平面ACE截球O所得截面经过球心，故平面ACE截球O所得截面圆半径与球半径相等，所以S=r2=6，故选B.【点睛】本题主要考查了球的体积与表面积，正四面体的几何特征，属于中档题.2352+6【解析】试题分析：OA=(1,0),OB=(1,1),(x,y)=OA+OB =x-y=y，由012 0x-y11y2，作出此可行域如图所示，当直线z=xm+yn经过点A(3,2)时，有最大值2，所以3m+2n=2，则m+n =(m+n)(32m+1n)=52+3n2m+mn52+6，当且仅当3m2n=mn，即m=3+62,n=1+62时取等号，故答案填52+6.考点：1、平面向量；2、线性规划；3、基本不等式.【思路点晴】本题是一个关于平面向量、线性规划以及基本不等式方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据题目条件将,的限制范围转化为x,y限制范围，也就是关于x,y的可行域，然后再根据线性规划的知识得出m,n的关系，最后再结合基本不等式，即可求出m+n的最小值.不过在此过程中要特别注意不等式取等号的条件，即“一正、二定、三相等”，否则容易出错.