2019-2020学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷（解析版）

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1、2019-2020学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1（3分）已知的半径为，若，则点与的位置关系是A点在外B点在上C点在内D不能确定2（3分）一组数据3，1，4，2，则这组数据的极差是A5B4C3D23（3分）关于的一元二次方程有实根，则的值可能是ABCD4（3分）设、是方程的两个根，且，则的值是AB3CD75（3分）如图，的半径为1，是的内接等边三角形，点、在圆上，四边形为矩形，这个矩形的面积是A2BCD6（3分）如图，是外任意一点，、分别与相切与点、，与相交于点则点是的A三条高线的交点B三条中线的交点C三个角的角平分线的交点D三条边的垂直平分线的交点二、填空题7（3分

2、）方程的解为 8（3分）电影中国机长首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为，则可列方程为9（3分）小明上学期平时成绩为90分，其中成绩为88分，期末成绩为94分，若平时、期中、期末的成绩按计算，计算结果作为学期成绩，则小明上学期学期成绩为 分10（3分）现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）该圆锥底面圆的半径为 11（3分）如图，是扇形的上一点，若四边形是平行四边形，则12（3分）如图，正六边形的边长为1，以点为圆心，的长为半径，作扇形，则图中阴影部分的面积为（结果保留根号和13（3分）下面有4个命题：

3、过任意三点可以画一个圆；同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是；三角形的内心到三角形的三边距离相等；长度相等的弧是等弧其中正确的有（填序号）14（3分）已知一个三角形的三边长分别为13、14、15，则其内切圆的半径为15（3分）如图，等圆和相交于，两点，经过的圆心，则的度数为16（3分）如图，为等边三角形，以点为圆心，半径为1作为边上的一动点，过点作的一条切线，切点为，则的最小值是三、解答题17（8分）解方程：（1）；（2）18（7分）如图，是的直径，弦，垂足为若，求的长19（7分）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，将一块面积为的原广场，向其四周扩充一条宽度相等的人行道，要求扩充后的矩形广

4、场长、宽试求扩充的人行道的宽度20（7分）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，求四边形各内角的度数21（8分）某市射击队打算从君君、标标两名运动员中选拔一人参加省射击比赛，射击队对两人的射击技能进行了测评在相同的条件下，两人各打靶5次，成绩统计如下：（1）填写下表：平均数（环中位数（环方差（环君君80.4标标8（2）根据以上信息，若选派一名队员参赛，你认为应选哪名队员，并说明理由（3）如果标标再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会（填“变大”“变小”或“不变” 22（8分）已知关于的方程（1）若方程有一个根是2，求的值；（2）求证：不论取为何值，方程总有实数根23（8分）（1）在图

5、中，已知，点在上，过点作的切线；（2）在图中，已知，点在外，过点作的切线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）24（8分）如图，在中，点从点出发沿以的速度向点移动，同时点从点出发沿以的速度向点移动当运动到点时，停止运动，设点运动的时间为（1）为何值时，的面积等于？（2）点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出的值；若不存在，说明理由25（8分）如图，四边形内接于，点在的延长线上，且（1）求证：是的切线（2）若，当，时，求的长26（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降

6、价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件（1）填表： 每月的销售量（件每件商品销售利润（元降价前6080降价后 （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品实际售价应定为多少元？27（11分）概念认识平面内，为图形上任意一点，为上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到的“最近距离”，记作例如图，在直线上有、三点，以为一边作等边，以点为圆心作圆，与交于、两点，若将记为图形，则、两点间的距离称为图形到的“最近距离”数学理解（1）在直线上有、两点，以点为圆心，3为半径作，将点记为图形，若，则（2）如图，在平面直角坐标系中，

7、以为圆心，半径为2作圆将点记为图形，则将一次函数的图记为图形，若，求的取值范围推广运用（3）在平面直角坐标系中，的坐标为，的半径为2，、两点的坐标分别为、，将记为图形，若，则2019-2020学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1（3分）已知的半径为，若，则点与的位置关系是A点在外B点在上C点在内D不能确定【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外【解答】解：根据点到圆心的距离小于圆的半径，则该点在圆内故选

8、：【点评】本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外2（3分）一组数据3，1，4，2，则这组数据的极差是A5B4C3D2【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可【解答】解：这组数据的极差故选：【点评】本题考查了极差的知识，属于基础题，掌握极差的定义是关键3（3分）关于的一元二次方程有实根，则的值可能是ABCD【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，从而求解【解答】解：关于的一元二次方程有实根，解得：故选：【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键4（3

9、分）设、是方程的两个根，且，则的值是AB3CD7【分析】由根与系数的关系可得、，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：、是方程的两个根，故选：【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键5（3分）如图，的半径为1，是的内接等边三角形，点、在圆上，四边形为矩形，这个矩形的面积是A2BCD【分析】连接、，根据矩形的性质得，再根据圆周角定理得为的直径，则；由为等边三角形得，于是利用圆周角定理得到，易得，在中，根据含的直角三角形三边的关系得到，然后根据矩形的面积公式求解【解答】解：连结、，如图，四边形为矩形，为的直径，为等边三角形，而，在中，矩形

10、的面积故选：【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质6（3分）如图，是外任意一点，、分别与相切与点、，与相交于点则点是的A三条高线的交点B三条中线的交点C三个角的角平分线的交点D三条边的垂直平分线的交点【分析】根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，连接，根据角平分线的定义即可得到结论【解答】解：、分别与相切与点、，连接，则，点是的三个角的角平分线的交点，故选：【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键二、填空题7（3分）方程的解为，【分析】利用直接开平方法，求解即可

11、【解答】解：开方得，即，故答案为，【点评】本题考查了一元二次方程的解法直接开平方法，比较简单8（3分）电影中国机长首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为，则可列方程为【分析】设平均每天票房的增长率为，根据当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解【解答】解：设平均每天票房的增长率为，根据题意得：故答案为：【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键9（3分）小明上学期平时成绩为90分，其中成绩为88分，期末成绩为94分，若平时、期中、期末

12、的成绩按计算，计算结果作为学期成绩，则小明上学期学期成绩为91分【分析】利用加权平均数公式即可求解【解答】解：小明上学期学期成绩是：（分故答案是：91【点评】本题考查了加权平均数公式，理解公式是解题的关键10（3分）现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）该圆锥底面圆的半径为2【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解【解答】解：圆锥的底面周长是：设圆锥底面圆的半径是，则解得：故答案是：2【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆

13、锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长11（3分）如图，是扇形的上一点，若四边形是平行四边形，则120【分析】根据平行四边形的先行者和等边三角形的判定和性质即可得到结论【解答】解：四边形是平行四边形，连接，与是等边三角形，故答案为：120【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键12（3分）如图，正六边形的边长为1，以点为圆心，的长为半径，作扇形，则图中阴影部分的面积为（结果保留根号和【分析】正六边形的中心为点，连接、，作于，根据正多边形的中心角公式求出，求出，得到正六边形的面积，求出，利用扇形面积公式求出扇形的面积，结合图形计算即可【解答】

14、解：正六边形的中心为点，连接、，作于，正六边形的面积，扇形的面积，图中阴影部分的面积，故答案为：【点评】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键13（3分）下面有4个命题：过任意三点可以画一个圆；同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是；三角形的内心到三角形的三边距离相等；长度相等的弧是等弧其中正确的有（填序号）【分析】根据过三点的圆、正多边形与圆、三角形的内心的性质、等弧的概念判断即可【解答】解：过不在同一直线上的三点可以画一个圆，本说法错误；同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是；设圆的半径为，在正方形中，连接，为直径，在正三

15、角形中，作于，连接，则，本说法正确；三角形的内心到三角形的三边距离相等，本说法正确；能够互相重合的弧是等弧，本说法错误，故答案为：【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理14（3分）已知一个三角形的三边长分别为13、14、15，则其内切圆的半径为4【分析】作于，设，则，利用勾股定理得到，解方程组得到，所以，设三角形内切圆的半径为，根据题意得，然后解关于的方程即可【解答】解：如图，作于，设，则，得，设三角形内切圆的半径为，根据题意得，解得，即三角形内切圆的半径为4故答案为：4【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股

16、定理以及三角形面积；熟记三角形面积公式为三角形周长，为三角形内切圆半径）是解题的关键15（3分）如图，等圆和相交于，两点，经过的圆心，则的度数为30【分析】连接，可得是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答【解答】解：连接，和是等圆，是等边三角形，（圆周角定理）故答案为：30【点评】此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出是等边三角形是解题关键16（3分）如图，为等边三角形，以点为圆心，半径为1作为边上的一动点，过点作的一条切线，切点为，则的最小值是【分析】作于，过作的一条切线，切点为，连接，由等边三角形的性质和勾股定理得出，由切线的性质得出，由勾股定理求出，当点与重合时，与

17、重合，此时最小【解答】解：作于，过作的一条切线，切点为，连接，如图所示：是等边三角形，是的一条切线，当点与重合时，与重合，此时最小，故答案为：【点评】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值、垂线段最短等知识；熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键三、解答题17（8分）解方程：（1）；（2）【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；（2）根据因式分解法，可得方程的解【解答】解：（1），； （2）因式分解，得，于是，得或，解得，【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键18（7分）如图，是的直径，弦，垂足为若，求的长【分析】连接，根据垂径定理得到，设的半径为，则，根据

18、勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：连接，是的直径，弦，设的半径为，则，即，解得：，【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键19（7分）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，将一块面积为的原广场，向其四周扩充一条宽度相等的人行道，要求扩充后的矩形广场长、宽试求扩充的人行道的宽度【分析】设扩充的人行道的宽度为米，由此可表示出原广场的长和宽，根据原广场的面积为，由此可列方程【解答】解：设扩充的人行道的宽度为米，依题意得：整理得到：，解得（舍去），答：扩充的人行道的宽度5米【点评】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程20（7

19、分）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，求四边形各内角的度数【分析】连结，根据圆周角定理得，则利用互余可计算出，再根据圆内接四边形的性质计算出，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由得到，然后计算，【解答】解：连结，如图，是半圆的直径，四边形是圆的内接四边形，即四边形各内角的度数为，【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径也考查了圆内接四边形的性质21（8分）某市射击队打算从君君、标标两名运动员中选拔一人参加省射击比赛，射击队对两人的射击技能进行了测评在相同的条

20、件下，两人各打靶5次，成绩统计如下：（1）填写下表：平均数（环中位数（环方差（环君君880.4标标8（2）根据以上信息，若选派一名队员参赛，你认为应选哪名队员，并说明理由（3）如果标标再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会（填“变大”“变小”或“不变” 【分析】（1）根据平方数、中位数、方差的定义求解即可；（2）根据甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案；（3）根据方差公式进行求解即可【解答】解：（1）填写下表：平均数（环中位数（环方差（环君君880.4标标892.8故答案为：8，9，2.8；（2）选君君，理由：两人的平均值相等，君君的方差较小，成绩更稳定，选君君；（3）如果标标再射击

21、1次，命中8环，那么标标的射击成绩的方差变小故答案为：变小【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差方差通常用来表示，方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了算术平均数、中位数和众数22（8分）已知关于的方程（1）若方程有一个根是2，求的值；（2）求证：不论取为何值，方程总有实数根【分析】（1）将代入原方程可求出的值；（2）分及两种情况考虑：当时，通过解方程可求出方程的解；当，根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出当时，方程有实数根综上即

22、可证出结论【解答】解：（1）将代入原方程，得：，解得：故的值为1；（2）证明：当时，原方程为一次方程，此时；当时，当时，方程有实数根综上所述：不论为何值，方程总有实数根【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）代入求出的值；（2）分及两种情况找出不论为何值，该方程总有实数根23（8分）（1）在图中，已知，点在上，过点作的切线；（2）在图中，已知，点在外，过点作的切线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】（1）过点作的切线得到直线；（2）连接，作的垂直平分线得到中点，然后以点为圆心，为半径作圆交于、，则直线、满足条件【解答】解：（1）

23、如图，为所作；（2）如图，为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了切线的判定24（8分）如图，在中，点从点出发沿以的速度向点移动，同时点从点出发沿以的速度向点移动当运动到点时，停止运动，设点运动的时间为（1）为何值时，的面积等于？（2）点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【分析】（1）设点、同时出发，秒钟后，此时的面积为：，令该式等于5，由此等量

24、关系列出方程求出符合题意的值；（2）的面积的一半等于，令，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在【解答】解：（1）设后，可使的面积为由题意得，则整理，得，解得，（舍所以、同时出发，后可使的面积为（2）由题意得：，即：，整理的：，该方程无实数解，所以，不存在使得的面积等于的面积的一半的时刻【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程求解25（8分）如图，四边形内接于，点在的延长线上，且（1）求证：是的切线（2）若，当，时，求的长【分析】（1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论；（2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，最后判断出，即可得出

25、结论【解答】解：（1）如图，连接，点必在上，即：是直径，即：，点在上，是的切线；（2），在中，同理：，【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键26（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件（1）填表： 每月的销售量（件每件商品销售利润（元降价前6080降价后 （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品实际售价应定为多少元？【

26、分析】（1）根据如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件即可得到答案；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【解答】解：（1） 每月的销售量（件每件商品销售利润（元降价前6080降价后（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得，解得：，有利于减少库存，答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润售价进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，

27、解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键27（11分）概念认识平面内，为图形上任意一点，为上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到的“最近距离”，记作例如图，在直线上有、三点，以为一边作等边，以点为圆心作圆，与交于、两点，若将记为图形，则、两点间的距离称为图形到的“最近距离”数学理解（1）在直线上有、两点，以点为圆心，3为半径作，将点记为图形，若，则2或4（2）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为2作圆将点记为图形，则将一次函数的图记为图形，若，求的取值范围推广运用（3）在平面直角坐标系中，的坐标为，的半径为2，、两点的坐标分别为、，将记为图形，若，则【分析】（1）根据图形到的“最

28、近距离”的定义即可解决问题（2）如图2中，连接交于求出的长即可如图，设直线与相切于，连接，求出直线，直线的解析式即可解决问题（3）分两种情形：如图中，当点在内部时，作于，交于如图中，当点在的外侧时，分别求解即可【解答】解：（1）如图1中，故答案为2或4（2）如图2中，连接交于，故答案为3如图，设直线与相切于，连接，四边形是菱形，四边形是正方形，直线的解析式为，直线的解析式为，观察图象可知满足条件的的值为且（3）如图中，当点在内部时，作于，交于，如图中，当点在的外侧时，由题意可知，综上所述，满足条件的的值为或3【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形到的“最近距离”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题