2020届山东省泰安市第四中学高三上学期期中考试数学试卷含答案（PDF版）

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1、页 1 第 20172017 级高三上学期级高三上学期期中考试期中考试 数 学 试 题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 其中 1-10 题是单选题，11-12 题是多选题） 1. 设集合 2 1213,logAxxBx yx ，则AB ( ) A.(0,1 B. 1,0 C 1,0) D.0,1 2已知 2 33 3 2 11 ,log 32 abc ，则, ,a b c的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 3. 已知 n S是等差数列 n a的前 n 项和， 377 8,35aaS，则 2 a （） A.5 B.6 C.7 D.8 4设

2、xR，则“x+12”是“lgx0”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5设xy0，x+y=1，若， 1 ( )ya x ， 1 () log xy bxy， 1 log y cx，则实数 a，b，c 的大小关系是 Aabc Bbac Cbca Dcba 6设 、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，则下列命题中真命题是 A若l ，则 B若lm，则 C若 ，则lm D若 ，lm 7函数 33lg xx f xx 的图象大致为 8若非零向量a b、满足ab，向量2ab与b垂直，则a与b的夹角为 A 150 B 120 C60 D30 9. 已

3、知函数( )sin3cosf xaxx的图像的一条对称轴为直线 5 6 x ，且 12 ( )()4f xf x ，则 页 2 第 12 xx的最小值为( ) A. 3 B. 0 C. 3 D. 2 3 10用平面 截一个球，所得的截面面积为 ，若 到该球球心的距离为 1，则球的体积为 A 8 3 B 8 2 3 C8 2 D 32 3 11已知空间中两条直线a，b所成的角为 50，P 为空间中给定的一个定点，直线l过点 P 且与直线a 和直线b所成的角都是 (0 90)，则下列选项正确的是 A当 =15时，满足题意的直线l不存在 B当 =25时，满足题意的直线l有且仅有 l 条 C当 =40

4、时，满足题意的直线l有且仅有 2 条 D当 =60时，满足题意的直线l有且仅有 3 条 12. 设函数 2 ( )ln(0) 2 ax f xax a e ，若( )f x有 4 个零点，则a的可能取值有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 已知0,且 3 cos 65 则sin_. 14若在ABC中，1BC ，其外接圆圆心O满足0OCOBOA，则AB AC . 15. 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题：把 100 个面包分给 5 个人， 使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的 1

5、 7 是较小的两份之和，则最小一份的量 为 . 16已知函数 yf x在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为 fx ， 当0x 时，有不等式 2 2x fxxf x 成立，若对xR ，不等式 0)()( 222 axfxaefe xx 恒 成立，则正数a的最大值为_. 17（10 分）已知ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，2cos( coscos )0C aCcAb （1）求角C的大小； （2）若 2,2 3bc ，求ABC的面积 页 3 第 18(12 分)己知集合 2 4120Ax xx， 22 40Bx xxm+4 (1)求集合 A、B；

6、(2)当m0 时，若xA 是xB 成立的充分不必要条作，求实数m的取值范围 19. （12 分）设数列 n a的前n项和 1 22 n n S ，数列 n b满足 n n an b 2 log)1( 1 ， （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n b的前n项和 n T 20（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，APB是以P为直角的等腰 直角三角形，平面PAB平面ABCD (1)证明：平面PAD平面PBC； (2) M为直线PC的中点，且2APAD，求锐二面角A MDB的余弦值. 21(12 分)某市城郊有一块大约 500m500m 的接近正方形的荒地，

7、地方政府准备在此建一个综合性休闲 页 4 第 广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为 3000 平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为 2 米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中 两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为 S 平方米 (1)分别用x表示y及 S 的函数关系式，并给出定义域； (2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积 S 最大，并求出最大值 22（12 分）已知函数 2 1 ( )ln1() 2 f xxaxaR. （）若函数 ( )f x在1,2上是单调递增函数，求实数a的取值范围； （）若20a ，对任意 12 ,

8、1,2x x ，不等式 12 12 11 ( )()f xf xm xx 恒成立，求实数m的取值 范围. 页 5 第 2017 级高三上学期期中考试 数 学 试 题（答案） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 其中 1-10 题是单选题，11-12 题是多选题） 1-5. ADCBC 610.ADBDB 11.ABD 12.BCD 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13. 10 334 14 2 1 15 5 3 16 e 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第19-22题12分，共70分） 17 （1）2cos( cosco

9、s )0C aCcAb， 由正弦定理可得2cos(sincossincos )sin0CACCAB，2 2cossin()sin0CACB，即2cossinsin0CBB，3 又0180B，sin0B ， 1 cos 2 C ，即120C 5 （2）由余弦定理可得 2222 (2 3)22 2 cos12024aaaa ， 又0,2aa， 8 1 sin3 2 ABC SabC ，ABC的面积为310 18.解： （1）由 2 4120xx，得26x . 故集合 | 26Axx 1 分 由 22 44=0xxm，得 1=2+ xm， 2=2 xm. 当0m 时，22,mm由 22 440xxm

10、得22,mxm 故集合 |22Bxmxm . 3 分 当0m时，22,mm由 22 440xxm得：22,mxm 故集合 |2+2Bxmxm . 5 分 当=0m时，由 2 440xx得2x =故集合 2Bx x. 6 分 (2) xA是xB成立的充分不必要条件， 2,6 是2,2mm的真子集， 7 分 则有 22 22 26 mm m m ，解得4m， 10 分 页 6 第 又当4m 时，2,2 2,6mm ，不合题意，11 分 实数m的取值范围为(4,). 12 分 19.解： （1） 11 12,naS时，2 1 11 22,22222 nnn nnnnn SSnaSSn 4 2 1 a

11、符合2n n a 数列 n a的通项公式为：2n n a 6 （2） nnn b n n )1( 1 2log)1( 1 2 1 11 nn 8 1 11 3 1 2 1 2 1 1 nn Tn 1 1 1 n 12 18 （）证明：ABCD为矩形，ADAB， 平面PAB 平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB， AD平面PAB，则ADPB， 又PAPB，PAADA， PB平面PAD，而PB平面PBC， 平面PAD平面PBC； （）取AB中点 O，分别以,OP OB所在直线为 , x y轴建立空间直角坐标系， 由2APAD，APB是以P为直角的等腰直角三角形，得： 22 0,2,0 ,0,2

12、,2 ,0, 2,0 ,1 22 ADBM ， 23 223 222 , 1 ,1 , 1 222222 MAMDMB 设平面MAD的一个法向量为, ,mx y z， 由 23 2 0 22 23 2 0 22 m MAxyz m MDxyz ，取1y ，得3,1,0m ； 设平面MBD的一个法向量为, ,nx y z， 页 7 第 由 23 2 0 22 22 0 22 n MDxyz n MBxyz ，取x 1 ，得 1,-1,- 2n . 1 cos 5 0 , m n m n m n 二面角A MDB的余弦值为 10 5 21.解： （1）由已知 3000 3000,xyy x 其定义

13、域是(6,500).2 分 (4)(6)(210) ,Sxaxaxa 150015000 (210)(3)30306Sxx xx ,其定义域是(6,500).6 分 （2） 1500015000 3030(6 )30302 630302 3002430,Sxx xx 9 分 当且仅当15000=6x x ，即50(6,500)x 时，上述不等式等号成立， 此时， max 5060,2430.xyS，11 分 答：设计50m60mxy， 时，运动场地面积最大，最大值为 2430 平方米. 12 分 22 （）易知 ( )f x不是常值函数， 2 1 ( )ln1 2 f xxax在1,2上是增函

14、数， ( )0 a fxx x 恒成立，2 所以 2 ax，只需 2 min ()1ax；4 （）因为20a ，由（）知，函数 ( )f x在1,2上单调递增， 不妨设 12 12xx，则 12 12 11 f xf xm xx ， 可化为 21 21 () mm f xf x xx （ ，6 设 2 1 ( )( )ln1 2 mm h xf xxax xx ，则 12 ( )()h xh x， 所以( )h x为1,2上的减函数，8 即 2 ( )0 am h xx xx 在1,2上恒成立， 等价于 3 mxax在1,2上恒成立，10 设 3 ( )g xxax，所以 max ( )mg x， 页 8 第 因20a ，所以 2 ( )30g xxa，所以函数( )g x在1,2上是增函数， 所以 max ( )(2)8212g xga（当且仅当2a 时等号成立） 所以12m 12