2018-2019学年山西省大同市高一（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年山西省大同市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（3分）已知sin0，tan0，则在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（3分）若向量，则向量的坐标是（）A（3，4）B（3，4）C（3，4）D（3，4）3（3分）在等差数列an中，a1+a24，a7+a828，则数列的通项公式an为（）A2nB2n+1C2n1D2n+24（3分）已知，则（）ABCD5（3分）tan15+tan75（）A4BC1D26（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A2Bs

2、in2CD2sin17（3分）在ABC中，cos2，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则ABC的形状为（）A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形8（3分）设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a50，则（）A11B8C5D119（3分）若变量x，y满足约束条件，则z2xy的最小值等于（）AB2CD210（3分）等差数列an的公差d0，且，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（）A9B10C10和11D11和1211（3分）在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则（）ABCD12（3分）若正数x，y满足x+3y5xy，则3x+4y的最小值是（）ABC5

3、D6二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）13（3分）已知向量，满足|2，与的夹角为60，则在上的投影是 14（3分）已知等比数列an中，a32，a4a616，则 15（3分）已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且，则m+n的最小值是 16（3分）求sin21+sin22+sin23+sin288+sin289的值 17（3分）等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则 18（3分）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn22n+1，则an 19（3分）在ABC中，D为BC边中点，且AD5，BC10，则 20（3分）设数列an满足a11，且an+1ann+1（nN*），则数列

4、的前10项的和为 三、解答题（本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21（8分）已知向量（cosx，），（sinx，cos2x），xR，设函数f（x）（） 求f （x）的最小正周期（） 求f （x） 在0，上的最大值和最小值22（10分）等差数列an的前n项和为Sn，S44（a3+1），3a35a4，等比数列bn满足b2b1b3，2b1a5求数列an，bn的通项公式；求数列|an|的前15项和T1523（10分）ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bcosAccosA+acosC（1）求角A的大小；（2）若a，b+c4，求ABC的面积24（12分）已知数

5、列an满足a11，且an2an1+2n（n2，且nN*）（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列an的通项公式；（3）设数列an的前n项之和Sn，求证：2018-2019学年山西省大同市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（3分）已知sin0，tan0，则在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据三角函数值的符合和象限角的关系，利用题设条件可推断出为第三象限角，进而求得答案【解答】解：sin0，为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，tan0为第一、三象限角为第三象限角故选：C【

6、点评】本题主要考查了三角函数值的符合和象限角的问题考查了基础知识的灵活运用2（3分）若向量，则向量的坐标是（）A（3，4）B（3，4）C（3，4）D（3，4）【分析】根据两个向量坐标形式的运算法则可得向量（0，2）（3，2），运算求得结果【解答】解：向量（0，2）（3，2）（3，4），故选：D【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，属于基础题3（3分）在等差数列an中，a1+a24，a7+a828，则数列的通项公式an为（）A2nB2n+1C2n1D2n+2【分析】根据题意，设等差数列an的公差为d，由等差数列的性质可得（a7+a8）（a1+a2）12d28424，解可得d的值，又由a1+

7、a24，即a1+（a1+d）4，解可得a11，据此可得答案【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为d，又由a1+a24，a7+a828，则（a7+a8）（a1+a2）12d28424，则d2，又由a1+a24，即a1+（a1+d）4，解可得a11，则ana1+（n1）d2n1；故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式，关键是求出数列的首项与公差，属于基础题4（3分）已知，则（）ABCD【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值【解答】解：由，得sin，则sincos（）sin故选：B【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题5（3分）tan15+tan75（）A4B

8、C1D2【分析】tan15+tan75tan（4530）+tan（45+30），然后化简求值即可【解答】解：tan15+tan75tan（4530）+tan（45+30）4故选：A【点评】本题考查了三角恒等变换和三角函数求值，属基础题6（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A2Bsin2CD2sin1【分析】连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是，弧长公式求弧长即可【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1故半径为这个圆心角所对的弧长为2故选

9、：C【点评】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键7（3分）在ABC中，cos2，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则ABC的形状为（）A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【分析】利用二倍角公式代入cos2求得cosB，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形【解答】解：cos2，cosB，a2+c2b22a2，即a2+b2c2，ABC为直角三角形故选：B【点评】本题主要考查了三角形的形状判断考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用8（3分

10、）设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a50，则（）A11B8C5D11【分析】先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可【解答】解：设公比为q，由8a2+a50，得8a2+a2q30，解得q2，所以11故选：A【点评】本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式9（3分）若变量x，y满足约束条件，则z2xy的最小值等于（）AB2CD2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（1，）z2xy的最小值为2（1）故选：A【点评】本题考查了简单的

11、线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10（3分）等差数列an的公差d0，且，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（）A9B10C10和11D11和12【分析】根据题意，由等差数列的性质分析可得a1a21，又由分析可得a1a21，变形可得a110d，进而可得a10a1+9dd0，a11a1+10d0，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，等差数列an的公差d0，则a1a21，又由，则a1a21，即a1+20da1，则有a110d，则有a10a1+9dd0，a11a1+10d0，故数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是10和11；故选：C【点评】本题考查等差数列的前n项

12、和的性质，注意分析a1与a21的关系，属于基础题11（3分）在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则（）ABCD【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出【解答】解：在ABC中，已知D是AB边上一点2，故选：A【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量12（3分）若正数x，y满足x+3y5xy，则3x+4y的最小值是（）ABC5D6【分析】将x+3y5xy转化

13、成1，然后根据3x+4y（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值【解答】解：正数x，y满足x+3y5xy，13x+4y（）（3x+4y）+25当且仅当时取等号3x+4y5即3x+4y的最小值是5故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）13（3分）已知向量，满足|2，与的夹角为60，则在上的投影是1【分析】根据投影的定义，应用公式|cos，求解【解答】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于|cos，21故答案为：1【点评】本题主要考查向量投

14、影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用14（3分）已知等比数列an中，a32，a4a616，则4【分析】根据题意，设等比数列an的公比为q，由等比数列的性质可得a4a6a3qa3q316，变形可得：q44，又由q4，即可得答案【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为q，又由a32，则a4a6a3qa3q316，变形可得：q44，则q44，故答案为：4【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题15（3分）已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且，则m+n的最小值是4【分析】根据a，b的等比中项是1，可得ab1，然后由m+n利用基本不等式可得m+n的最小值【解答

15、】解：a0，b0，a，b的等比中项是1，ab1，m+n2（a+b）4，当且仅当ab1时取等号，m+n的最小值为4故答案为：4【点评】本题考查了等比数列的性质和利用基本不等式求最小值，考查了转化思想，属基础题16（3分）求sin21+sin22+sin23+sin288+sin289的值44.5【分析】通过诱导公式sin89cos1，得出sin21+cos211，依此类推，得出原式441+sin245，得出答案【解答】解：sin89sin（901）cos1sin21+sin289sin21+cos211同理sin2+sin881，sin44+sin461sin21+sin22+sin23+sin

16、288+sin28944+44.5故答案为44.5【点评】分析本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用属基础题17（3分）等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则【分析】，由此能求出结果【解答】解：故答案为：【点评】本题考查两个等差数列的第8项的比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用18（3分）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn22n+1，则an2n，n1【分析】由公式，可解得结果【解答】解：当n1时，S12a1；当n2时，anSnSn122n+122（n1）+12n，所以故答案为：【点评】本题考查了数列的前n项和与前n项的关系，注意对于n1的情况要验证1

17、9（3分）在ABC中，D为BC边中点，且AD5，BC10，则0【分析】由三角形的外接圆及平面向量数量积的性质及其运算可得：点D为ABC外接圆的圆心，又BC为直径，即BAC，即0，得解【解答】解：由已知可得：点D为ABC外接圆的圆心，又BC为直径，即BAC，即，即0，故答案为：0【点评】本题考查了三角形的外接圆及平面向量数量积的性质及其运算，属中档题20（3分）设数列an满足a11，且an+1ann+1（nN*），则数列的前10项的和为【分析】数列an满足a11，且an+1ann+1（nN*），利用“累加求和”可得an再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：数列an满足a11，且an+1ann+1

18、（nN*），当n2时，an（anan1）+（a2a1）+a1n+2+1当n1时，上式也成立，an2数列的前n项的和Sn数列的前10项的和为故答案为：【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21（8分）已知向量（cosx，），（sinx，cos2x），xR，设函数f（x）（） 求f （x）的最小正周期（） 求f （x） 在0，上的最大值和最小值【分析】（）利用向量数量积的运算，求解f（x），将函数化为yAsin（x+）的形式，再利用周期公式求

19、函数的最小正周期（）x在0，上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，【解答】解：（）由题意：函数f（x）sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin（2x）最小正周期T所以函数f（x）最小正周期为：（）由（）可得f（x）sin（2x）x在0，上时，则（2x），根据正弦函数的图象和性质可知：当（2x）时，函数f（x）取得最小值为：；当（2x）时，函数f（x）取得最大值为：1所以，f （x） 在0，上的最大值和最小值分别为：1，【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键

20、属于基础题22（10分）等差数列an的前n项和为Sn，S44（a3+1），3a35a4，等比数列bn满足b2b1b3，2b1a5求数列an，bn的通项公式；求数列|an|的前15项和T15【分析】由已知得关于a1和d的方程组，求解可得a1与d的值，则数列an的通项公式可求，再由已知求得等比数列的首项与公比，则bn的通项公式可求；利用去绝对值及等差数列的前n项和可得数列|an|的前15项和【解答】解：由S44（a3+1），3a35a4，得，解得d2，a19，故an112n；由b2b1b3，2b1a5，得，解得，故；T15|a1|+|a2|+|a3|+|a15|a1+a2+a3+a5a6a12a1

21、3a14a15S15+2a1+2a2+2a3+2a4+2a5【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，是中档题23（10分）ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bcosAccosA+acosC（1）求角A的大小；（2）若a，b+c4，求ABC的面积【分析】（）根据正弦定理把题设等式中的边换成相应角的正弦，化简整理可求得cosA，进而求得A（）根据余弦定理得a2b2+c22bccos607，进而根据b+c4求得bc，进而根据三角形的面积公式求得ABC面积【解答】解：（）根据正弦定理2bcosAccosA+acosC2sinBcosAsinCcosA+sinAcosC，

22、sinB0cosA又0A180，A60（）由余弦定理得：a2b2+c22bccos607，代入b+c4得bc3，故ABC面积为SbcsinA【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用解题的关键是利用这两个定理完成了边角问题的互化24（12分）已知数列an满足a11，且an2an1+2n（n2，且nN*）（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列an的通项公式；（3）设数列an的前n项之和Sn，求证：【分析】（1）利用an2an1+2n（2，且nN*），两边同除以2n，即可证明数列是等差数列；（2）求出数列的通项，即可求数列an的通项公式；（3）先错位相减求和，再利用放缩法，即可证得结论【解答】（1）证明：an2an1+2n（2，且nN*）数列是以为首项，1为公差的等差数列；（2）解：由（1）得an；（3）解：Sn+2Sn+两式相减可得Sn1+22+23+2n（32n）2n3Sn（2n3）2n+3（2n3）2n【点评】本题考查数列的通项公式及前n项和，考查不等式的证明，考查构造法的运用，确定数列的通项，正确求和是关键