1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 学案（含答案）

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1、1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.知识点一圆柱、圆锥、圆台的概念分类定义图形及表示圆柱将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆柱.这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做母线 我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，上图可表示为圆柱OO圆锥将直角三角形绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，上图可表示为圆锥SO圆台将直

2、角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台，上图可表示为圆台OO提示它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不相等的圆，圆锥只有一个底面；当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥.知识点二球球定义相关概念图形及表示球半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球球心：半圆的圆心，半径：半圆的半径，直径：半圆的直径如图可记作：球O知识点三旋转面

3、与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.一、旋转体的基本概念例1(1)下列结论：在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线相互平行.其中正确的是()A. B. C. D.答案D解析所取的两点与圆柱的轴OO的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符.若所取两点连线的延长线不与轴交于一点，则不符合圆台母线的定义.符

4、合圆锥、圆柱母线的定义及性质.(2)下列命题中正确的是()过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；球面上任意三点可能在一条直线上；球的半径是连结球面上任意一点和球心的线段.A. B. C. D.答案C解析由球的结构特征可知正确，故选C.反思感悟简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.(2)解题时要注意明确两点：明确由哪个平面图形旋转而成.明确旋转轴是哪条直线.跟踪训练1给出下列说法：

5、圆柱的底面是圆面；经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是_.答案解析正确，圆柱的底面是圆面；正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；不正确，圆台的母线延长线相交于一点；不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.二、简单组合体的结构特征例2如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解旋转后的图形如图所示.其中图是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O

6、3中挖去圆锥O2O1组成的.反思感悟旋转体形状的判断方法(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征.跟踪训练2如图所示的简单组合体的组成是()A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱答案B解析由题图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成. 三、旋转体中的有关计算例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2，求：

7、(1)圆台的高；(2)将圆台补全为圆锥后，圆锥的母线长.解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).由已知可得O1A2 cm，OB5 cm.又由题意知腰长AB12 cm，所以高AM3(cm).(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由SAO1SBO，可得，解得l20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪训练3圆台的两底面面积分别为1

8、,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.解将圆台还原为圆锥，如图所示.O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2h，O2O1h1，O1Oh2，则所以即h1h221.1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.处理组合体问题常采用分割思想.4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.1.下列说法正确的是()圆锥的母线长等于底面圆的直径；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴平行；球的直径必过球心.A. B. C. D.答案C解析圆锥的母

9、线长与底面圆的直径无联系；圆台的母线与轴不平行.2.如图所示的简单组合体可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是()答案C解析该组合体上方是圆锥，下方是圆柱，故选C.3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为_.答案2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为ABC的边长，且SABCAB2，AB2，AB2.故圆锥的母线长为2.4.圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是_cm2.答案63解析画出轴截面，如图，过A作AMBC于M，则BM523(cm)，AM9(cm)，所以S梯形ABCD63(cm2).5.一个有30角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180得到什么图形？旋转360又得到什么图形？解如图(1)，(2)绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥；如图(3)绕斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；图(4)以斜边上的高所在直线为轴旋转180是两个半圆锥的组合体，旋转360，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内.