1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 学案（含答案）

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1、1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台学习目标1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台.知识点一棱柱的结构特征类别定义图形及表示相关概念命名棱柱由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEFABCDEF底面：平移起止位置的两个面，侧面：多边形的边平移所形成的面，侧棱：相邻侧面的公共边，顶点：侧面与底面的公共顶点底面为三角形、四边形、五边形的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱知识点二棱锥的结构特征类别定义图形及表示相关概念命名棱锥当棱柱的一个

2、底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥如图可记作：棱锥SABCD底面(底)：多边形面，侧面：有公共顶点的各个三角形面，侧棱：相邻侧面的公共边，顶点：由棱柱的一个底面收缩而成按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥知识点三棱台的结构特征类别定义图形及表示相关概念命名棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台如图可记作：棱台ABCDABCD上底面：原棱锥的截面，下底面：原棱锥的底面，侧面：其余各面，侧棱：相邻侧面的公共边，顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台知识点四多面体类别多面体定义由若

3、干个平面多边形围成的几何体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形，棱：相邻两个面的公共边，顶点：棱与棱的公共点一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征命题角度1棱柱的结构特征例1下列关于棱柱的说法：所有的面都是平行四边形；每一个面都不会是三角形；两底面平行，并且各侧棱也平行；被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是_.答案解析错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.错误，棱柱的底面可以是三角形.正确，由棱柱的定义易知.正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是.反思感悟棱柱结构特征问题的解题依据与步骤提醒：解题时一定要注意棱柱的摆放位置，棱柱的底面不一定是在上下位置，可能

4、是前后位置，也可能是左右位置.跟踪训练1下列关于棱柱的说法错误的是()A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面答案C解析对于A，B，D，显然是正确的；对于C，棱柱的结构特征为：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此这样的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.命题角度2棱锥、棱台的结构特征例2(1)下列几何体是棱锥的有_.(填序号)答

5、案解析由棱锥的定义可知，棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的空间几何体，它满足一个底面是平面多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由此可知，为棱锥，其余的均不是棱锥.(2)如图，下列几何体是棱台的为_.(填序号)答案解析由棱台的定义知，上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点.中侧棱延长后不能交于同一点；中上底面不平行于下底面，故都不是棱台；符合棱台的定义与结构特征.反思感悟棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看

6、侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是_.答案解析正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；错误，如图所示四棱锥被阴影部分所在的平面截成的两部分是两个三棱锥.二、棱柱、棱锥、棱台的画法例3画出一个三棱柱和一个四棱台.解(1)画三棱柱可分以下三步完成：第一步，画上底面画一个三角形；第二步，画侧棱从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步，画下底面顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示，被遮挡

7、的线要画成虚线).(2)画四棱台可分以下三步完成：第一步，画一个四棱锥；第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将多余的线段擦去(如图所示，被遮挡的线要画成虚线).反思感悟在平面几何中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确.跟踪训练3画一个六面体.(1)使它是一个四棱柱；(2)使它是由两个三棱锥组成的几何体；(3)使它是五棱锥.解如图所示：图1是一个四棱柱，图2是一个由两个三棱锥组成的几何体，图3是一个五棱锥.三、空

8、间问题与平面问题的转化例4长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为_.答案3解析结合长方体的三种展开图，如图，不难求得AC1的长分别是：2，3，显然最小值为3.反思感悟求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.(3)结合已知条件求得结果.跟踪训练4如图所示，在侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过A作截面AEF，求截面AEF周长的最小值.解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示.线段AA1的长为所求AEF

9、周长的最小值.取AA1的中点D，则VDAA1，AVD60，可知AD3，则AA16.即截面AEF周长的最小值为6.1.棱柱、棱锥及棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：有两个平面(底面)互相平行.其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：有一个面(底面)是多边形.其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台是由一个平行于棱锥底面的平面截得的.2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).3.根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先

10、要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.1.下面多面体中有12条棱的是()A.四棱柱 B.四棱锥 C.五棱锥 D.五棱柱答案A解析n棱柱共有3n条棱，n棱锥共有2n条棱，四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱.故选A.2.下列说法中正确的是()A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等答案B解析若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，正确；球不能展开为平面图形，C不正确；棱柱的各条棱都相等，应该为侧棱相等，所以D不正确；故选B.3.如图所示，在三棱台ABCABC中，截去三棱锥AABC，则剩余部分是()A.三棱锥 B.四棱锥C.三棱柱 D.三棱台答案B解析由题图知剩余的部分是四棱锥ABCCB.4.下列几何体中，_是棱柱，_是棱锥，_是棱台.(填序号)答案解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知，是棱柱，是棱锥，是棱台.5.如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为_.答案解析将三棱柱侧面沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1.