2.3.2 空间两点间的距离(步步高)

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1、2.3.2空间两点间的距离明目标、知重点1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；2.会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离1空间两点间的距离公式(1)平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间距离P1P2，特别地，点A(x，y)到原点距离为OA.(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是AB.特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为OA.2空间两点的中点坐标公式连结空间两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的线段P1P2的中点M的坐标为.情境导学平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离

2、公式为AB.那么空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？本节我们就来探讨这个问题探究点一空间中点P与坐标原点的距离公式 思考1在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？答OA|x|，OB|y|，OC|z|.思考2在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A(x，y,0)，B(0，y，z)，C(x,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？答OA，OB，OC.思考3如图，在空间直角坐标系中，设点P(x，y，z)在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？PM，OM的值分别是什么？答M(x

3、，y,0)，PM|z|，OM.思考4基于上述分析，你能求出点P(x，y，z)与坐标原点O的距离公式吗？答如图，在RtOMP中，根据勾股定理OP.探究点二空间两点间的距离 问题在空间中，设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，在xOy平面上的射影分别为M、N.思考1M，N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？答M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；MN.思考2若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？答P1P2|z1z2|.思考3若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？答P1P2MN.思考4若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，则点

4、P1、P2的距离如何计算？答过点P1作P1HP2N于点H，在RtP1HP2中，根据勾股定理，得P1P2.小结空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离P1P2.思考5连结平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的线段AB的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点M的坐标是什么呢？答坐标为例1求空间两点P1(3，2,5)，P2(6,0，1)间的距离P1P2.解利用两点间距离公式，得P1P27.反思与感悟空间两点间的距离公式与平面解析几何中求平面上两点间的距离类似，只是多了一个z坐标的差的平方公式的记忆方法：同

5、名坐标差的平方和的算术根跟踪训练1求证：以A(10，1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形证明根据空间两点间距离公式，得AB7，BC7，AC7.因为AB2BC2AC2，且ABBC，所以ABC是等腰直角三角形例2平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为x2y21.在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程解与坐标原点的距离为1的点P(x，y，z)的轨迹是一个球面，满足OP1，即1.因此x2y2z21，就是所求的球面方程反思与感悟求空间点的轨迹方程和求平面内的点的轨迹方程类似，关键是寻找动点满足的等量关系，然后用坐标表示等量

6、关系，化简等式即为所求的轨迹方程跟踪训练2若点P(x，y，z)到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为_答案x2z2y20解析由题意得|y|，即x2z2y20.探究点三空间两点间距离公式的应用例3已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a )(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小解平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABCD，AB、BC、BE两两垂直过点M作MGAB，MHBC，垂足分别为G、H，连结NG，易证NGAB.CMBNa，CHMHBGGNa，

7、以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则M，N.(1)MN ，(2)由(1)得，当a时，MN最短，最短为，这时M、N恰好为AC、BF的中点反思与感悟求距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及求距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值跟踪训练3在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，3)在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使MA

8、B为等边三角形因为MA，AB2.MB.于是2，解得y.故y轴上存在点M，使MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，0)或(0，0)1点P(1，)到原点O的距离是_答案解析d.2点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为_答案2解析点P(1,2,2)关于y轴的对称点Q的坐标为(1,2，2)，所以PQ2.3若A(4，7,1)，B(6,2，z)，AB11，则z_.答案5或7解析AB11，(64)2(27)2(z1)2112，化简得(z1)236，即|z1|6，z5或z7.4已知三点A(1,3,2)、B(2,0,4)、C(8，6,8)，证明：A，B，C三点在同一直线上解利用两点间距离公式，得AB、BC2、AC3，所以ABBCAC，所以A，B，C三点在同一直线上呈重点、现规律1空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想2若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解