2.2.3 圆与圆的位置关系 学案（含答案）

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1、2.2.3圆与圆的位置关系学习目标1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和优越性.知识点两圆位置关系的判定1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.一元二次方程一、两圆的位置关系命题角度1两圆位置关系的判断例1已知两圆C1：x2y24x4y20，

2、C2：x2y22x8y80，判断圆C1与圆C2的位置关系.解方法一(几何法)把圆C1的方程化为标准方程，得(x2)2(y2)210.圆C1的圆心坐标为(2，2)，半径长r1.把圆C2的方程化为标准方程，得(x1)2(y4)225.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r25.圆C1和圆C2的圆心距d3，又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1r25，两半径长之差是r2r15.而535，即r2r1dr1r2，所以两圆的位置关系是相交.方法二(代数法)将两圆的方程联立得到方程组由得x2y10，由得x2y1，把此式代入，并整理得y210，所以y11，y21，代入x2y10得x13，x21.所以圆C1与圆C

3、2有两个不同的公共点(3,1)，(1，1)，即两圆的位置关系是相交.反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.(2)代数法：将两圆的方程联立成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.跟踪训练1已知圆C1：x2y22x4y40和圆C2：4x24y216x8y190，则这两个圆的位置关系为_.答案相交解析由圆C1：(x1)2(y2)21，圆C2：(x2)2(y1)2，得C1(1，2)，C2(2，1)，C1C2.又r11，r2，则r1r2C1C2r1r2

4、，圆C1与圆C2相交.命题角度2已知两圆的位置关系求参数例2当a为何值时，两圆C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230：(1)外切；(2)相交；(3)外离.解将两圆方程写成标准方程，则C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.两圆的圆心和半径分别为C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22.设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2.(2)当1d5，即12a26a525时，两圆相交，此时5a2或1a5，即2a26a525时，两圆外离，此时a2或a0)，由题意得解得或所以

5、所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.反思感悟两圆相切有如下性质：(1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两圆(2)当两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(当两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算.跟踪训练3求与圆(x2)2(y1)24相切于点(4，1)且半径为1的圆的方程.解设所求圆的圆心坐标为P(a，b)，1.(1)若两圆外切，则有123，由解得a5，b1，所求圆的方程为(x5)2(y1)21.(2)若两圆内切，则有211，由解得a3，b1，所求圆的方程为(x3)2(y1)21.综上所述，所求圆的方程为(x5)

6、2(y1)21或(x3)2(y1)21.三、两圆相交的弦长问题例4已知两圆C1：x2y22x10y240与C2：x2y22x2y80.(1)求公共弦所在直线的方程；(2)求公共弦的长.解(1)设两圆的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).将点A的坐标代入两圆方程，得，得x12y140，故点A在直线x2y40上.同理，点B也在直线x2y40上，即点A，B均在直线x2y40上.因为经过两点有且只有一条直线，所以直线AB的方程为x2y40，即公共弦所在直线的方程为x2y40.(2)圆C1的方程可化为(x1)2(y5)250，所以C1(1，5)，半径r15.C1(1，5)到公共弦的距离d3.设

7、公共弦的长为l，则l222.反思感悟公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪训练4两圆x2y210与x2y23x9y20的公共弦长为_.答案解析两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x3y10，圆x2y210的圆心为(0,0)，半径长为1，又(0,0)到直线x3y10的距离为，所以公共弦长为2.1.判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系确定.2.当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在直线的方程.3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求出弦长.1.两圆x2y29和x2y28x6y90的位置关系是()A.外离 B.相交 C.内切 D.外切答案B解析易知两圆心坐标分别为(4，3)，(0,0)，两半径分别为R4，r3.两圆的圆心距d5，因为43543，即Rrd0)的公共弦长为2，则a_.答案1解析将两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y，圆心(0,0)到直线的距离为d1，所以a1.