第2课时 两平面垂直的判定 学案(含答案)
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1、第2课时两平面垂直的判定学习目标1.了解二面角及其平面角的概念,能确定二面角的平面角.2.初步掌握面面垂直的定义及两个平面垂直的判定定理.知识点一二面角概念一般地,一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形图示平面角定义一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角图示符号OA,OB,l,Ol,OAl,OBlAOB是二面角的平面角范围0,规定二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为l,面分别为,的二面角记为l,如图所示,也可在,内(棱以外的半平面
2、部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角PlQ知识点二平面与平面垂直1.平面与平面垂直的概念(1)定义:一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.(2)画法:(3)记作:.2.判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l,l一、二面角的概念及求法例1如图所示,在ABC中,ABBC,SA平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SAAB,SBBC,求二面角EBDC的大小.解因为E为SC的中点,且SBBC,所以BESC.又DESC,BEDEE,BE,DE平面BDE,所以SC平面BDE,所以BDS
3、C.又SA平面ABC,可得SABD,又SCSAS,SC,SA平面SAC,所以BD平面SAC,从而BDAC,BDDE,所以EDC为二面角EBDC的平面角.设SAAB1,在ABC中,因为ABBC,所以SBBC,AC,所以SC2.所以在RtSAC中,DCS30,所以EDC60,即二面角EBDC为60.反思感悟(1)求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.(2)作二面角平面角的方法定义法:在二面角的棱上找一点,在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面形成交线(射线),这两条射线(交线)所成的角,即为二面角的平面角.垂线法:利用线面垂直的
4、性质来寻找二面角的平面角,这是最常用也是最有效的一种方法.跟踪训练1如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,过C1,B,D三点作一个平面,求二面角C1BDC的正切值.解取BD的中点O,连结CO,C1O,因为BD是二面角C1BDC的棱,ABCDA1B1C1D1为正方体,O是底面正方形ABCD对角线BD的中点.所以COBD.又C1DC1B,所以C1OBD.因此,C1OC即为二面角C1BDC的平面角.设正方体的棱长为1,在RtC1CO中,C1C1,CO,所以tanC1OC,即二面角C1BDC的正切值为.二、面面垂直的判定例2如图所示,在四棱锥SABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,SC平
5、面ABCD,E为SA的中点.求证:平面EBD平面ABCD.证明如图,连结AC,与BD交于点O,连结EO.因为O为平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,所以O为AC的中点.又E为SA的中点,所以OE为SAC的中位线,所以OESC.又SC平面ABCD,所以SC垂直于平面ABCD内的两条直线,所以OE垂直于平面ABCD内的两条相交直线,所以OE平面ABCD.又OE平面EBD,所以平面EBD平面ABCD.反思感悟(1)面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只需转证线面垂直,关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.(2)面面垂直的定义也是证明面面垂直的基本方法,只
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