第1章 立体几何初步 章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习1.四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.2.直线与直线的位置关系3.平行的判定与性质(1)线面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab(2)面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba(3)空间中的平行关系的内在联系4.垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定

2、与性质图形条件结论判定ab，b(b为内的任意直线)aam，an，m，n，mnOaab，ab性质a，baba，bab(2)面面垂直的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l(3)空间中的垂直关系的内在联系5.空间角(1)异面直线所成的角定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角.范围：设两异面直线所成的角为，则090.(2)直线和平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的

3、射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0的角.(3)二面角的有关概念二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.6.几何体的侧(表)面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧(表)面积和体积公式面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧chVSh正

4、棱锥S侧chVSh正棱台S侧(cc)hV(S上S下)h球S球面4R2VR3一、空间中的平行关系例1如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点.求证：(1)GE平面BDD1B1；(2)平面BDF平面B1D1H.证明(1)如图，取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证OGB1C1，OGB1C1，BEB1C1，BEB1C1，OGBE，OGBE，四边形BEGO为平行四边形，OBGE.又OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，GE平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.连结HB，

5、D1F，易证HBFD1是平行四边形，HD1BF.又HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，B1D1，HD1平面B1D1H，平面BDF平面B1D1H.反思感悟(1)证明线线平行的方法线线平行的定义；公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；线面平行的性质定理：a，a，bab；线面垂直的性质定理：a，bab；面面平行的性质定理：，a，bab.(2)判断线面平行的两种常用方法利用线面平行的判定定理.利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.(3)判断面面平行的常用方法利用面面平行的判定定理.面面平行的传递性(，).利用线面垂直的性质

6、(l，l).跟踪训练1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.解当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图，连结BD与AC交于点O，连结FO，则PFPB.四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，OFPD.又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD.又MAPB且MAPB，PFMA且PFMA，四边形AFPM是平行四边形，AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD，AF平面PMD.又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC，平面AFC平面

7、PMD.二、空间中的垂直关系例2如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB90，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BCAA1.求证：(1)平面ACC1A1平面B1C1CB；(2)BC1AB1.证明(1)设BC的中点为M，连结B1M.点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，B1M平面ABC.AC平面ABC，B1MAC.又BCAC，B1MBCM，B1M，BC平面B1C1CB，AC平面B1C1CB.又AC平面ACC1A1，平面ACC1A1平面B1C1CB.(2)连结B1C.AC平面B1C1CB，BC1平面B1C1CB，ACBC1.在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCAA1C

8、C1.四边形B1C1CB是菱形，B1CBC1.又B1CACC，B1C，AC平面ACB1，BC1平面ACB1，又AB1平面ACB1，BC1AB1.反思感悟空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法计算所成的角为90(包括平面角和异面直线所成的角).线面垂直的性质(若a，b，则ab).(2)判定线面垂直的方法线面垂直定义(一般不易验证任意性).线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa).平行线垂直平面的传递性质(ab，ba).面面垂直的性质(，l，a，ala).面面平行的性质(a，a).面面垂直的性质(l，l).(3)面面垂直的判定方法根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90

9、).面面垂直的判定定理(a，a).跟踪训练2如图，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，EFAB，AB4，AE2，EF1.(1)求证：BCAF；(2)试判断直线AF与平面EBC是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由.(1)证明因为EFAB，所以EF与AB确定平面EABF，因为EA平面ABCD，BC平面ABCD，所以EABC.由已知得ABBC且EAABA，EA，AB平面EABF，所以BC平面EABF，又AF平面EABF，所以BCAF.(2)解直线AF垂直于平面EBC，证明如下：由(1)可知，AFBC，在四边形EABF中，AB4，AE2，EF1，BAEAEF90.所以tanEBAta

10、nFAE，则EBAFAE.设AFBEP，因为PAEPAB90，故PBAPAB90，则APB90，即EBAF.又因为EBBCB，EB，BC平面BEC，所以AF平面EBC.三、平行与垂直的综合应用例3如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由.(1)证明PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，DC平面PAC.(2)证明ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，AB平面PAB，

11、平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连结EF，CE，CF，E为AB的中点，EF为PAB的中位线，EFPA.又PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.反思感悟平行、垂直也可以相互转化，如图.跟踪训练3在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连结DE.因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，BD，DE平面BDEF，所以AC

12、平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)设FC的中点为I，连结GI，HI.在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，BCDBB，HI，GI平面GHI，BC，DB平面ABC，所以平面GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.四、空间几何体的表面积与体积例4已知三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边所成的角都是60，求棱柱的侧面积和体积.解如图，过A1作A1O底面ABC交底面于O，过A1作A1EAB交AB于E，过A1作A1FAC交AC于F，连结EO

13、，FO，由三垂线定理得EOAB，FOAC.AA1和AB与AC都成60，A1AEA1AF，A1EA1F.A1O底面ABC，EOFO，点O在BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，ABC是正三角形，BCAD，BCAA1，AA1BB1，侧面BB1C1C是矩形，三棱柱的侧面积为S234sin 60341212.AA13，AA1和AB，AC都成60角，AE.BAO30，AO，A1O，三棱柱的体积为V1612.反思感悟空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求

14、几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决.(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.跟踪训练4如图，从底面半径为2a，高为a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆

15、柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.解由题意知，S122aa2(2a)2(48)a2，S2S1aa2(49)a2，S1S2(48)(49).1.已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的个数为()l1l2，l2l3l1l3；l1l2，l2l3l1l3；l1l2l3l1，l2，l3共面；l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面.A.4 B.3 C.2 D.1答案D解析当l1l2，l2l3时，l1与l3平行或相交或异面，故不正确；当l1l2，l2l3时，l1l3，故正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱所在的直线，故不正确；当l1，l2

16、，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱所在的直线，故不正确.2.若长方体的长、宽、高分别为5,4,3，则它的外接球的表面积为()A. B.50 C. D.答案B解析因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以外接球的半径r，所以它的外接球的表面积S4r250.3.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则当油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是_.答案解析设圆柱桶的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，由题意知，有油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为，则hR2x，所以.4.如图，已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C

17、1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为_.答案解析在平面BC1内延长FE，CB，相交于点G，连结AG，过点B作BH垂直AG于点H，连结EH.BE平面ABCD，AG平面ABCD，BEAG.BHAG，BHEBB，AG平面BEH，EH平面BEH，AGEH.故BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角.设正方体的棱长为a，则BE，CFa，GBGCBECF12，BGa，BHa，故tanBHE.5.如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说

18、明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M平面PAD)，连结CM，则点M即为所求的一个点，理由如下：因为ADBC，BCAD.所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(2)证明连结BM.由已知，PAAB，PACD.因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD.从而PABD.因为ADBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD.所以四边形BCDM是平行四边形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，AB，AP平面PAB，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.