第3课时 一般式 学案（含答案）

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1、第3课时一般式学习目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不全为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.知识点一直线的一般式方程1.一般式方程的概念形式AxByC0条件A，B不全为02.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3) x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系形式方程局限点斜式yy1k(xx1)不能表示斜率不存在的直

2、线斜截式ykxb不能表示斜率不存在的直线两点式不能表示与坐标轴平行的直线截距式1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式AxByC0(A，B不全为0)无一、直线的一般式方程命题角度1求直线的一般式方程例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为2；(3)经过A(1,5)，B(2，1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为3，1.解(1)由直线方程的点斜式得y3(x5)，即xy530.(2)由斜截式得直线方程为y4x2，即4xy20.(3)由两点式得，即2xy30.(4)由截距式得直线方程为1，即x3y30.反思感悟(

3、1)若A0，方程可化为xy0，只需求，的值；若B0，则方程可化为xy0，只需确定，的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.跟踪训练1根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(8，6)的直线方程为_.(2)经过点B(4,2)，且平行于x轴的直线方程为_.(3)在x轴和y轴上的截距分别是和3的直线方程为_.(4)经过点P1(3，2)，P2(5，4)的直线方程为_.答案(1)x2y40(2)y20(3)2xy30(4)xy10命题角度2由含参数的一般式求

4、参数例2设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)若直线l在x轴上的截距为3，则m_；(2)若直线l的斜率为1，则m_.答案(1)(2)2解析(1)令y0，则x，3，得m或m3(舍去).m.(2)将直线l化为斜截式方程，得yx，则1，得m2或m1(舍去).m2.反思感悟(1)方程AxByC0表示直线，需满足A，B不全为0.(2)令x0可得在y轴上的截距.令y0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.(3)解分式方程注意验根.跟踪训练2已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，当直线l1与直线l2的斜率相等，且l1与l2不重合时，求m的值.

5、解由题设l2的方程可化为yxm，则其斜率k2，在y轴上的截距b2m.l1与l2的斜率相等，但不重合，l1的斜率一定存在，即m0.l1的方程为yx.解得m1.m的值为1.二、直线方程的综合应用例3已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.(1)证明将直线l的方程整理为ya，l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限，故不论a为何值，直线l总经过第一象限.(2)解直线OA的斜率为k3.l不经过第二象限，a3.故a的取值范围为3，).反思感悟一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择

6、截距式或两点式.另外从所求结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，常选用截距式，但最后都可化为一般式.跟踪训练3设直线l的方程为(a1)xy2a0 (a10).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解(1)由题意知a10，即a1.当直线过原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为零，此时a2，即方程为3xy0；当a2时，将方程化为截距式：1.截距存在且均不为0，a2，即a11，a0，即方程为xy20.直线l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，直线不过第二象限，a1.即a的取值范围是(，1.1.在求解直线的

7、方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷.2.直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式AxByC0(A，B不全为0)化为截距式有两种方法：一是令x0，y0，求得直线在y轴上的截距b和在x轴上的截距a；二是移常项，得AxByC，两边除以C(C0)，再整理即可.3.直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标.(2)将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点坐标.1.直线l：xy30的

8、倾斜角为()A. B. C. D.答案C解析直线方程化为斜截式为yx3，斜率k，即tan ，又0，)，.2.已知ab0，bc0，则直线axbyc通过()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限答案C解析由axbyc，得yx，ab0，bc0，直线在y轴上的截距0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.已知直线l的倾斜角为60，在y轴上的截距为4，则直线l的斜截式方程为_，一般式方程为_.答案yx4xy404.直线l1：(2m25m2)x(m24)y50的斜率与直线l2：xy30的斜率相同，则m_.答案3解析易知m2.直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则1，即2m25m2m24，即m25m60，所以m3.5.若方程(m23m2)x(m2)y2m50表示直线.(1)求实数m的取值范围；(2)若该直线的斜率k1，求实数m的值.解(1)由题意知m20，或m23m20，解得m2.(2)由1，得m0.