第3课时 直线与平面垂直的判定和性质 学案（含答案）

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1、第3课时直线与平面垂直的判定和性质学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直.3.掌握空间中线面垂直的性质定理，能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.知识点一直线与平面垂直的定义定义如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面互相垂直记法a有关概念直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点P称为垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平

2、面符号语言am，an，mnA，m，na图形语言知识点三直线与平面垂直的性质定理文字语言如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行符号语言ab图形语言作用线面垂直线线平行作平行线一、线面垂直的定义例1下列说法中，正确的有()如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.2个 B.3个 C.4个 D.5个答案B解析不正确，其他三项均正确.反思感悟(1)直线和平面垂

3、直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.(2)由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.跟踪训练1设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是_.(填序号)若lm，m，则l；若l，lm，则m；若l，m，则lm；若l，m，则lm.答案解析对于，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于，因为l，则l垂直于内任意一条直线，又lm，则m垂直于内任意一条直线，即m，

4、故正确；对于，也有可能是l，m异面；对于，l，m还可能相交或异面.二、线面垂直的判定定理的应用命题角度1证明线面垂直例2如图所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E，求证：AE平面PBC.证明PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC.而PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBCC，PC，BC平面PBC，AE平面PBC.延伸探究若本例中其他条件不变，作AFPB于点F，求证：PB平面AEF.证明PA平面ABC，且BC平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC，

5、而PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.又AE平面PAC，BCAE，又PCAE，且PCBCC，PC，BC平面PBC，AE平面PBC，又PB平面PBC，AEPB，又AFPB，且AEAFA，AE，AF平面AEF.PB平面AEF.反思感悟应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决.跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点.证明：PC平面BEF.证明如图，连结PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，所以PECE，即P

6、EC是等腰三角形.又F是PC的中点，所以EFPC.因为BP2BC，又F是PC的中点，所以BFPC.又BFEFF，所以PC平面BEF.命题角度2证明线线垂直例3已知在四面体ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明如图，过A作AO平面BCD于O，则AOCD，连结OB，OC，因为ABCD，AOABA，AO，AB平面AOB，所以CD平面AOB，所以BOCD.同理得COBD，所以O是BCD的垂心.连结DO并延长交BC于M，则DMBC，而AOBC，AODMO，AO，DM平面AOD，所以BC平面AOD，又AD平面AOD，所以BCAD.反思感悟线线垂直的证明，常用方法是利用线面垂直的定义证明，即欲

7、证线线垂直，可先证线面垂直.跟踪训练3如图所示，若MC菱形ABCD所在的平面，求证：MABD.证明连结AC，因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，AC，MC平面AMC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.三、线面垂直的性质定理及应用例4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：MNAD1.证明因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，A1D，CD平面A1DC，所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A

8、1DC，所以MNAD1.延伸探究若本例的条件不变，求证：M是AB的中点.证明连结ON，在A1DC中，A1OOD，A1NNC，ONCD，ONAB，ONAM.又MNOA，四边形AMNO为平行四边形，ONAM.ONAB，AMAB，M是AB的中点.反思感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. 跟踪训练4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中点，M，N分别在A

9、B，PC上，且MNAB，MNPC. 求证：AEMN.证明因为AB平面PAD，AE平面PAD，所以AEAB，又ABCD，所以AECD.因为ADAP，E是PD的中点，所以AEPD.又CDPDD，所以AE平面PCD.因为MNAB，ABCD，所以MNCD.又因为MNPC，PCCDC，所以MN平面PCD，所以AEMN.1.线线垂直和线面垂直的相互转化2.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.3.直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定

10、垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.4.垂直关系与平行关系也可以相互转化.(1)线面垂直的性质定理a，bab；(2)a，abb；(需要利用线面垂直的定义证明)(3)a，bab；(需要证明)(4)a，ab，bb.(需要证明)1.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A.，且m B.mn，且nC.mn，且n D.mn，且n答案B解析A项，且m，则m，故A不正确；B项，n，则n垂直于内的任意一条直线，又mn，可知m也垂直于平面内的任意一条直线，所以m，故正确；C项，D项，由mn，n或mn，n，可得m与的关系可

11、以是m，或m或m与相交，故不正确.2.直线a直线b，b平面，则a与的关系是()A.a B.aC.a D.a或a答案D解析由ab，b，则a或a.3.如图，平行四边形ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF2，CD3，则CE_.答案解析AF平面ABCD，AF垂直于平面ABCD内的任一条直线.又DEAF，DE垂直于平面ABCD内的任一条直线，DE平面ABCD，DECD.DEAF2，CD3，CE.4.线段a和b在正方体ABCDA1B1C1D1的两个不同平面内，使ab成立的条件是_.(填序号)a和b垂直于正方体的同一个面；a和b在正方体两个相对的面内，且共面；a和b平行于同一条棱；a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.答案解析由直线与平面垂直的性质定理知，能使ab成立；由正方体的性质知，能使ab成立；由线线平行的性质知，能使ab成立；中条件不能保证ab，a与b有可能相交或异面.5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D.证明如图，连结AC，ACBD，又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1AC，A1C平面A1AC，BDA1C.同理可证BC1A1C.又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，A1C平面BC1D.