第3课时 两平面垂直的性质 学案（含答案）

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1、第3课时两平面垂直的性质学习目标1.掌握平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单的问题.3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.知识点一平面与平面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言，l，a，ala图形语言作用面面垂直线面垂直；作面的垂线.知识点二空间垂直关系的转化点睛：线面垂直的定义、判定定理、性质定理都可以实现垂直关系的转化.一、平面与平面垂直的性质定理例1如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面AB

2、CD，G为AD边的中点.求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.证明(1)由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面PAD，PG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD.又ADPGG，AD，PG平面PAD，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD，BGPGG，BG，PG平面PBG，AD平面PBG.又PB平面PBG，ADPB.反思感悟当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系.因此见到面面垂直条件时要找准

3、两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线.跟踪训练1如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明如图，在平面PAB内，作ADPB于点D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB，AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，PA，AD平面PAB，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.二、立体几何中的折叠问题例2如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为CD的中点.将ADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，得到几何体DABCE.求证：BE平面ADE.证明在ADE中

4、，AE2AD2DE212122，在BCE中，BE2BC2CE212122，故在AEB中，AE2BE2AB2，BEAE.又平面ADE平面ABCE，且平面ADE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面ADE.反思感悟(1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内的两个元素之间关系改变.(2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性.跟踪训练2如图，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图.(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE.(3)

5、线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由.(1)证明D，E分别为AC，AB的中点，DEBC.又DE平面A1CB，BC平面A1CB，DE平面A1CB.(2)证明由已知得ACBC且DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，又A1DCDD，A1D，CD平面A1DC，DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，DEA1F，又A1FCD，CDDED，CD，DE平面BCDE，A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，A1FBE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ，理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连结PD，QD，PQ，QE，则PQBC.又DEBC，DEPQ.平面DEQ

6、即为平面DEQP，由(2)知，DE平面A1DC.DEA1C.又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP.又DPDED，DP，DE平面DEQP，A1C平面DEQP.即A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.三、线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PA平面PAD，PAAD，所以PA底面ABCD.(2)

7、因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以APCD.又因为APADA，AP，AD平面PAD，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，EF，BE平面BEF，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.反思感悟(1)线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化：(2)在

8、运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.跟踪训练3如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA平面ABCD，且SAAB，点E为AB的中点，点F为SC的中点.求证：(1)EFCD；(2)平面SCD平面SCE.证明(1)取CD的中点G，连结EG，FG，FGSD，EGAD，SA平面ABCD，CD平面ABCD，SACD，又ADCD，SAADA，SA，AD平面SAD，CD平面SAD，CDSD，FGCD，又EGCD，EGFGG，EG，FG平面EFG，CD平面EFG，又EF平面EFG，EFCD，(2)由已知易得S

9、AAB，ABBC，SABC，AEBE，RtSAERtCBE，SEEC，即SEC是等腰三角形，EFSC.又EFCD，且SCCDC，SC，CD平面SCD，EF平面SCD.又EF平面SCE，平面SCD平面SCE.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：1.设平面平面，若平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b，则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D.过a的平面与过b的平面垂直答案C解析当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.2.若平面平面，平面平面，则(

10、)A. B.C.与相交但不垂直 D.以上都有可能答案B3.若将边长为2的正方形ABCD沿AC折叠成直二面角，则B，D两点间的距离为_.答案24.如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.答案解析侧面PAC底面ABC，侧面PAC底面ABCAC，PAC90(即PAAC)，PA侧面PAC，PA平面ABC，PAAB，PB.5.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC底面ABCD，求证：平面SDC平面SBC.证明因为底面ABCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面SDC.又因为BC平面SBC，所以平面SDC平面SBC.