1.1.1 任意角 学案（含答案）

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1、1.1任意角、弧度11.1任意角学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角知识点一角的相关概念1.角的概念：一个角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角的始边和终边2按照角的旋转方向，分为如下三类类型定义正角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角负角按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角零角如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角思考始边与终边重合的角是零角，这句话正确吗？答案不正确，当射线旋转整数圈时，始边与终边也

2、重合，但此时形成的角不是零角知识点二象限角、轴线角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角知识点三终边相同角的表示一般地，与角终边相同的角的集合为|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和1终边与始边重合的角是零角()提示终边与始边重合的角是k360(kZ)2小于90的角是锐角()提示锐角是指大于0且小于90的角3钝角是第二象限角()4第二象限角是钝角()提示第二象限角不一定是钝角530的终边与330的终边相同()题型一任意角概念的理解例1(

3、1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角其中正确命题的序号为_；(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_答案(1)(2)120解析(1)锐角指大于0小于90的角，都是终边在第一象限的角，所以对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180的角还有负角、零角，所以错误(2)分针每分钟转6，由于顺时针旋转，所以20分钟转了120.反思感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象限角等概念角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小跟踪训练1(1)若角的顶点在原点，角的始边

4、与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：0角是第一象限角；相等的角的终边一定相同；终边相同的角有无限多个；与30角终边相同的角都是第四象限角其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是_考点任意角的概念题点对任意角概念的理解答案(1)C(2)960解析(1)错误，0角是轴线角；正确(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为3602960.题型二象限角的判定例2(1)已知下列各角：120；240；180；495.其中是第二象限角的是_(填序号)考点象限角题点对象限角的判断答案解析120为第三象限角，错；240360120，120为第二象限角，

5、240也为第二象限角，故对；180为轴线角；495360135，135为第二象限角，495为第二象限角，故对(2)若角是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)()A BC D考点象限角题点判断角所在象限答案A解析是第三象限角，k360180k360270(kZ)，k18090k180135(kZ)当k2n(nZ)时，n36090n360135，nZ，其终边在区域内；当k2n1(nZ)时，n360270n360315，nZ，其终边在区域内角的终边所在的区域为.反思感悟(1)判断象限角的步骤当0360时，直接写出结果当0或360时，将化为k360(kZ，0360)，转化为判断

6、角所属的象限(2)一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，1,2,3,4，标号为几的区域，就是根据所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出跟踪训练2(2018河南郑州高二期末)若k18045，kZ，则终边所在的象限是()A第一、三象限 B第一、二象限C第二、四象限 D第三、四象限考点对角所在象限的判断题点象限角判断答案A解析由题意知k18045，kZ，当k2n1，nZ时，2n18018045n360225，nZ，其终

7、边在第三象限；当k2n，nZ时，2n18045n36045，nZ，其终边在第一象限综上，终边所在的象限是第一或第三象限题型三终边相同的角命题角度1区域角的表示例31如图所示：(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解(1)终边落在射线OA上的角的集合是|k360210，kZ终边落在射线OB上的角的集合是|k360300，kZ(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360210k360300，kZ反思与感悟解答此类题目应先在0360上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简命题角度2求与

8、已知角终边相同的角例32在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)范围360720内的角解与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)，(1)由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与

9、已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值命题角度3求终边在给定直线上的角的集合例33写出终边在直线yx上的角的集合解终边在yx(x0)上的角的集合是S1|120k360，kZ；终边在yx(x0)上的角的集合是S2|300k360，kZ因此，终边在直线yx上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ，即S|1202k180，kZ|120(2k1)180，kZ|120n180，nZ故终边在直线yx上的角的集合是S|120n180，nZ反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并.1下列说法正确的是(

10、)A第一象限的角一定是正角B三角形的内角不是锐角就是钝角C锐角小于90D终边相同的角相等考点任意角的概念题点任意角的概念的理解答案C解析355是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90，所以B错误；锐角小于90，C正确；45与405角的终边相同，但不相等，所以D错误故选C.2与457角终边相同的角的集合是_答案|k360263，kZ解析4572360263，与457角终边相同的角的集合是|k360263，kZ32 019是第_象限角答案三解析因为2 0195360219，故2 019是第三象限角4与1 692终边相同的最大负角是_答案252解析1 6924360252，与1

11、 692终边相同的最大负角为252.5写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1|k180，kZ；终边落在y轴上的角的集合：S2|k18090，kZ终边落在坐标轴上的角的集合：SS1S2|k180，kZ|k18090，kZ|2k90或(2k1)90，kZ|n90，nZ1对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”2关于终边相同的角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意：(1)为任意角(2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360()(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍(4)kZ这一条件不能少.