1.2.1任意角的三角函数（第2课时）第2课时 三角函数线 学案（含答案）

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1、第2课时三角函数线学习目标1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题知识点一有向线段1有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段2有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线3有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB.4单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度的圆知识点二三角函数线图示正弦线角的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即

2、为余弦线正切线过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线知识点三正弦、余弦、正切函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R正切函数思考对于任意角，sin ，cos ，tan 都有意义吗？答案由三角函数的定义可知，对于任意角，sin ，cos 都有意义，而当角的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tan 无意义1正弦线MP也可写成PM.()提示三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒2三角函数线都只能取非负值()提示三角函数线表示的值也可取负值3正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域都是R.()4当角

3、的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点()题型一三角函数线例1作出的正弦线、余弦线和正切线解如图所示，sinMP，cosOM，tanAT.反思感悟(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线与角的终边或终边的反向延长线相交于点T，即可得到正切线AT.跟踪训练1在单位圆中画出满足sin 的角的终边，并求角的取值集合解已知角的正弦值，可知MP，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角的终边，因而角的取值集合为.题型

4、二利用三角函数线比较大小例2利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小解如图，sinMP，cosOM，tanAT，sinMP，cosOM，tanAT.显然MPMP，sinsin；OMOM，coscos；ATAT，tanM2P2，OM1OM2，AT1AT2，sin 75sin 146，cos 75cos 146，tan 75tan 146.题型三三角函数线的应用例3(1)已知sin ，在单位圆中画出适合条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合；(2)求函数y的定义域解(1)作直线y交单位圆于A，B两点，连结OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边

5、界)，即为角的终边的范围故满足要求的角的集合为.(2)为使y有意义，则3tan x0，所以tan x，所以角x终边所在区域如图所示(阴影部分除去y轴)，所以kxk，kZ，所以原函数的定义域是.反思感悟用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式时，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即02内满足条件的角的范围，然后再加上周期(2)注意区间是开区间还是闭区间跟踪训练3(1)已知cos ，在单位圆中画出适合条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合解作直线x交单位圆于C，D两点，连结OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.(2

6、)求函数ylg的定义域解由题意知，自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，.1.如图在单位圆中，角的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线为PM，正切线为ATB正弦线为MP，正切线为ATC正弦线为MP，正切线为ATD正弦线为PM，正切线为AT考点单位圆与三角函数线题点三角函数线的作法答案C2函数y的定义域为_答案解析由cos x0，得cos x，画出三角函数线(图略)可得2kx2k，kZ.3设asin，bcos，ctan，则a，b，c的大小关系是_(按由小到大顺序排列)答案bac解析，作的三角函数线，则sinMP，cosOM，tanAT，OMMPAT，bac.4利用三

7、角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角的区域，并写出角的集合：(1)cos ；(2)tan ；(3)|sin |.解(1).(2).(3)|sin |，即sin ，.1三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便2三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒3三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了4三角函数线解题一定要注意角的象限及相互的关系，准确画出三角函数线并弄清其方向.