2.1 向量的概念及表示 学案（含答案）

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1、2.1向量的概念及表示学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识点一向量的概念1向量：既有大小，又有方向的量称为向量2数量：只有大小，没有方向的量称为数量知识点二向量的表示方法1向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示以A为起点、B为终点的有向线段记作.2向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c，

2、表示(印刷用粗体a，b，c，书写时用， ，)3向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作|.长度为0的向量称为零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量知识点三向量间的关系1相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量2平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(1)记法：向量a平行于b，记作ab.(2)规定：零向量与任一向量平行3共线向量：由于任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆4相反相量(1)定义：如果两个向量长度

3、相等，而方向相反， 那么称这两个向量是相反向量(2)性质：对于相反向量有：a(a)0.若a，b互为相反向量，则ab，ab0.零向量的相反向量仍是零向量1如果|，那么.()提示向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小2若a，b都是单位向量，则ab.()提示a与b都是单位向量，则|a|b|1，但a与b方向可能不同3相等向量必是共线向量，反之，不一定成立()提示因两向量相等，故它们方向相同，即为共线向量4相反向量就是方向相反的向量()提示相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系题型一向量的概念例1下列说法中，正确的是_向量与向量的长度相等；两个有共同起点，且长度相等的向

4、量，它们的终点相同；零向量没有方向；两个相等向量的起点相同，则终点也相同答案解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；故都错误，正确反思感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题跟踪训练1下列说法正确的有_(填序号)若|a|b|，则ab或ab；若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上；向量与是平行向量答案解析错误|a|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点A，B，C，D不一定在同一条

5、直线上正确向量和是长度相等，方向相反的两个向量题型二共线向量与相等向量例2如图所示，ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点(1)写出与共线的向量；(2)写出与的模相等的向量；(3)写出与相等的向量；(4)写出与相反的向量解(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EFBC，EFBC.又因为D是BC的中点，所以与共线的向量有，.(2)与模相等的向量有，.(3)与相等的向量有与.(4)与相反的向量有，.反思感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线跟踪训练2如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心(1)与的模相等的向量有多

6、少个？(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3)与共线的向量有几个？解(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个(2)存在由正六边形的性质可知，BCAOEF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，共4个(3)由(2)知，BCOAEF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，共9个题型三向量的表示及应用例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点(1)作出向量，；(2)求|.解(1)向

7、量，如图所示(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，|，在四边形ABCD中，ABCD，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，|200 km.反思感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略).1在同一平面内，把所有

8、长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是()A单位圆 B一段弧 C线段 D直线考点向量的表示方法题点向量答案A2下列结论正确的个数是()温度含零上和零下温度，所以温度是向量；向量的模是一个正实数；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；若|a|b|，则ab.A0 B1 C2 D3考点向量的概念题点向量的性质答案B解析温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为0，故错；向量不可以比较大小，故错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故对3若|且，则四边形ABCD的形状为()A平行四边形 B矩形C菱形 D等腰梯形考点相等向量与共线向

9、量题点相等向量与共线向量的应用答案C解析因为，所以四边形ABCD为平行四边形，又|，即邻边相等，所以四边形ABCD为菱形，故选C.4如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是()A. B|C. D.答案B解析|与|表示等腰梯形两腰的长度，故相等5已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m_.考点单位向量与零向量题点零向量的性质答案0解析与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行1向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用2共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆