2.2.3 向量的数乘 学案（含答案）

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1、2.2.3向量的数乘学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题知识点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|a|；(2)a(a0)的方向当0或a0时，a0.实数与向量a相乘，叫做向量的数乘知识点二向量数乘的运算律(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.知识点三向量共线定理1向量共线定理如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是

2、共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.2向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.思考向量共线定理中为什么规定a0?答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线(1)若b0，则不存在实数，使ba.(2)若b0，则对任意实数，都有ba.1若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()提示当b0，a0时，实数不唯一2若ba(a0)，则a与b共线()提示由向量共线定理可知其正确3若a0，则a0.()提示若a0，则a0或0.题型一向量数乘的基本运算例1(1)化简：2(2a4b)4(5a2b)解2(2a4b)4

3、(5a2b)(4a8b20a8b)(16a16b)4a4b.(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，求向量x，y.解由32，得x3a2b，代入得3(3a2b)2ya，所以x3a2b，y4a3b.反思感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算跟踪训练1(1)计算：(ab)3(ab)8a.解(ab

4、)3(ab)8a(a3a8a)(b3b)10a4b.(2)若2(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y_.答案abc解析因为2(cb3y)b0，3yabc0，所以yabc.题型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线例2已知非零向量e1，e2不共线(1)若ae1e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线；(2)若e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线(1)解b6a，a与b共线(2)证明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线反思感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量

5、来表示，进而互相表示，从而判断共线(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向量a，b有公共点跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是_答案A，B，D解析e12e2，5e16e27e12e22(e12e2)2.，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线命题角度2利用向量共线求参数值例3已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则

6、(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.反思感悟利用向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值跟踪训练3设两个不共线的向量e1，e2，若a2e13e2，b2e13e2，c2e19e2，问是否存在实数，使dab与c共线？考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2.因为e1与e2不共线，所以得2.故存在实数和，使得d与c共线，此时2.题型三用已知向量表示其他向量例4在ABC中，

7、a，b，若点D满足2，则_.(用a，b表示)答案ab解析示意图如图所示，由题意可得()ab.反思感悟用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程跟踪训练4如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，3a，2b，求，.解3a，2b，2b3a，又D，E为边AB的两个三等分点，ba，3aba2ab，3a3a(2b3a)ab.1下列各式计算正确的有

8、()(1)(7)6a42a；(2)7(ab)8b7a15b；(3)a2ba2b2a；(4)4(2ab)8a4b.A1个 B2个 C3个 D4个考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案C解析(1)(3)(4)正确，(2)错，7(ab)8b7a7b8b7ab.2在ABC中，M是BC的中点，则等于()A. B. C2 D.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案C解析如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，2，故选C.3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线，则()Ak0 Bk1Ck2 Dk考点向量共线

9、定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案D解析当k时，me1e2，n2e1e2.n2m，此时m，n共线4已知P，A，B，C是平面内四点，且，则下列向量一定共线的是()A.与 B.与C.与 D.与考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线答案B解析因为，所以0，即2，所以与共线5.如图所示，已知，用，表示.考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量解().1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍向量表示与向量a同向的单位向量3向量共线定理是证明三点共线的重要工具即三点共线问题通常转化为向量共线问题