2.3.1 平面向量基本定理 学案（含答案）

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1、2.3向量的坐标表示23.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解平面向量的正交分解及向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点一平面向量基本定理1平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底知识点二向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我们称它为向量a的分解当e1，e2所在直线互相垂

2、直时，这种分解也称为向量a的正交分解1平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底()提示只有不共线的两个向量才可以作为基底2零向量可以作为基向量()提示由于0和任意向量共线，故不可作为基向量3平面向量基本定理中基底的选取是唯一的()提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底题型一对基底概念的理解例1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2 B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2 De1和e1e2考点平面向量基本定理题点基底的判定答案B解析选项B中，6e18e22(3e14e2)，6e18e2与3e14

3、e2共线，不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底故选B.反思感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来跟踪训练1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1B2e1e2，e1e2C2e23e1，6e14e2De1e2，e13e2考点平面向量基本定理题点基底的判定答案D解析选项A中，两个向量为相反向量，即e1e2(e2e1)，则e1e2，e2e1为共线向量；选项B中，2e1e22，也为共线向量；选项C中，6e14e22(2e2

4、3e1)，为共线向量根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合题型二用基底表示向量例2如图所示，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若a，b，试以a，b为基底表示，.解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，2，2，b，a.babab，ba.引申探究若本例中其他条件不变，设a，b，试以a，b为基底表示，.解取CF的中点G，连结EG.E，G分别为BC，CF的中点，b，ab.又，ab.又，bab.反思感悟用不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的

5、唯一性求解跟踪训练2如图所示，在AOB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与相交于点P，用基底a，b表示.解，.设m，n，则mm()am(1m)amb，nn()bn(1n)bna.a，b不共线，即ab.题型三平面向量基本定理的应用例3在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，求的值解方法一(基向量法)由，得()()，则0，得0，得0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.方法二(待定系数法)如图所示，连结MN并延长交AB的延长线于点T，由已知易得ABAT，所以，即.因为T，M，N三点共线，所以1，所以.反思感悟当直接利用基底表

6、示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得跟踪训练3已知向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，且ae1e2，b3e12e2，c2e13e2，若cab(，R)，试求，的值解将ae1e2与b3e12e2代入cab，得c(e1e2)(3e12e2)(3)e1(2)e2.因为c2e13e2，且向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组解得1给出下列三种说法：一个平面内只有一组不共

7、线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量其中，说法正确的为()A B C D考点平面向量基本定理题点基底的含义与性质答案B2.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面内所有向量的基底的是()A B C D考点平面向量基本定理题点基底的判定答案B解析中与共线，中与共线，中两向量不共线，故选B.3已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参

8、数答案1512解析向量e1，e2不共线，解得4设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则12的值为_考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案解析()，又与不共线，1，2，12.5在ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以e1，e2为基底表示.考点平面向量基本定理题点用基底表示向量解e1e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以(e1e2)，所以e2(e1e2)e1e2.1对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决