3.3 几个三角恒等式 学案（含答案）

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1、3.3几个三角恒等式学习目标1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换知识点一积化和差与和差化积公式1积化和差公式sin cos sin()sin()cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()sin sin cos()cos()2和差化积公式sin sin 2sin cos.sin sin 2cossin.cos cos 2coscos.cos cos 2sinsin.知识点二万能代换公式1sin .2cos .3tan .知识点三半角公式1sin .2cos.3tan .

2、特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由所在的象限相应的三角函数值的符号确定(2)半角与倍角一样，也是相对的，即是的半角，而是2的半角1若k，kZ，则tan 恒成立()2cos sin .()题型一积化和差与和差化积公式命题角度1积化和差公式的应用例1求下列各式的值(1)sin 20sin 40sin 80；(2)sin 20cos 70sin 10sin 50.解(1)sin 20sin 40sin 80cos 60cos(20)sin 80sin 80sin 80cos 20sin 80(sin 100sin 60)sin 80sin 80.(2)sin 20cos 70sin 10s

3、in 50sin 90sin(50)cos 60cos(40)sin 50cos 40.反思感悟在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin()与sin()的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos()与cos()的和或差跟踪训练1化简：4sin(60)sin sin(60)解原式2sin cos 120cos(2)2sin sin 2sin cos 2sin sin 3sin sin 3.命题角度2和差化积公式的应用例2已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值解因为cos cos ，所以2sin sin .又因为sin sin ，所以2cos

4、 sin .因为sin 0，所以由得tan ，即tan .所以sin().反思感悟和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变换有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式跟踪训练2求cos 20cos 100cos 140的值解cos 20cos 100cos 1402cos cos cos 1402cos 60cos 40cos(18040)cos 40cos 400.题型二利用万能公式化简求值例3(1)已知cos ，并且180270，求tan

5、 的值；(2)已知5，求3cos 24sin 2的值解(1)180270，90135，tan 0.cos ，tan2 4，tan 2.(2)5，5，tan 2.又cos 2，sin 2，3cos 24sin 2.反思感悟(1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解跟踪训练3已知tan3，求sin 22cos2的值解tan3，3，tan .sin 22cos2sin 2cos 2111.题型三三角恒等式的证明例4求证：.证明要证原式，可以证明.左边tan 2，右

6、边tan 2，左边右边，原等式成立反思感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法跟踪训练4证明：tan .证明左边tan 右边，原等式成立1sin 75sin 15的值为()A. B. C. D答案B解析sin 75sin 152cos 45sin 302，故选B.2cos 72cos 36的值为()A32 B. C D32答案C解析原式2s

7、insin2sin 54sin 182cos 36cos 722.3sin 37.5 cos 7.5等于()A. B. C. D.答案C解析sin 37.5 cos 7.5sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30).故选C.4若cos ，(0，)，则cos 的值为_答案解析由题意知，cos 0，cos .5化简：(0)解tan ，(1cos )tan sin .又cossin ，且1cos 2sin2，原式.0，0，sin 0.原式2cos .1本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式2三角恒等式的证明类型(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法.