3.3 几何概型 学案（含答案）

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1、3.3几何概型学习目标1.了解几何概型与古典概型的区别.2.了解几何概型的定义及其特点.3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率知识点一几何概型的概念思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答案出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的梳理(1)几何概型的定义：设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点这时，事件A发

2、生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型(2)几何概型的特点：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个每个基本事件出现的可能性相等知识点二几何概型的概率公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A).1在几何概型中，事件A的概率与构成事件A的大小和形状均有关系()2从几何概型看，不可能事件的概率为0，概率为0的事件是不可能事件()3几何概型与古典概型的区别主要是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的()类型一几何概型的判断例1判断下列试验中事件A发生的概

3、型是古典概型，还是几何概型(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜求甲获胜的概率解(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6636(种)，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型(2)如果一次试验中每个基本

4、事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型跟踪训练1判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率解(1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性类型二几何概型的计算例2某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率解如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T215.设T0T23，TT010，记“乘

5、客到站候车时间大于10分钟”为事件A.则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生因为T1T153102，T1T215，所以P(A).引申探究1本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率解由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P.2本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率解由原题解析图可知，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，故所求概率P.反思与感悟若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事

6、件A发生的概率跟踪训练2取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？解如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A).例3射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解如图，记“射中黄心”为事件B.因为中靶点随

7、机地落在面积为cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为cm2的黄心内时，事件B发生，所以事件B发生的概率P(B)0.01.反思与感悟解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率跟踪训练3欧阳修卖油翁中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿若铜线是直径为3 cm的圆，中间有一个边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是_答案解析S正方形1 cm2，S圆2(cm2)，P.例4三棱锥

8、DABC的体积为V，在其内部任取一点P，求三棱锥PABC的体积小于V的概率解如图，设三棱锥DABC的底面ABC的面积为S，高为h，则VDABCShV.设平面EFG是距底面ABC的距离为h的平面，则点P落在平面EFG与平面ABC之间时，可以保证三棱锥PABC的体积小于V.由于三棱锥DEFG的底面EFG的面积为S，高为h，因此VDEFGShV，因此所求概率P.反思与感悟如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A).解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆跟踪训练4在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球

9、内运动，则此点落在正方体内部的概率为_答案解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V11，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R，球的体积V23，则此点落在正方体内部的概率P.1下列概率模型：从区间10,10内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间10,10内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；在一个边长为4 cm的正方形ABCD内取一点P，求点P离正方形的中心小于1 cm的概率其中，是几何概型的为_答案解析是，因为区间10,10和1,1内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；不是，因为区间10,10内的整数

10、只有21个，不满足无限性；是，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点被取到的可能性相同(等可能性)2在区间1,3上任取一点，则此点落在区间1,0上的概率为_答案解析1,0的区间长度为1，1,3的区间长度为4，所以P.3面积为S的ABC，D是BC的中点，向ABC内部投一点，那么点落在ABD内的概率为_答案解析向ABC内部投一点的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等属于几何概型设点落在ABD内为事件M，则P(M).4在圆心角为150的扇形AOB中，过圆心O作射线交于P，则同时满足：AOP45且BOP75的概率为_答案解析本题几何测度为角度，同时满足条件的概率为.5两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为_答案解析记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A，则P(A).1几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型2几何概型主要用于解决与长度、面积、体积等有关的题目3注意理解几何概型与古典概型的区别4理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解