2.3.2 方差与标准差 学案（含答案）

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1、2.3.2方差与标准差学习目标1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差.2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征.3.体会用样本估计总体的思想知识点一极差1定义：一组数据的最大值与最小值的差2作用：极差较大，数据点较分散；极差较小，数据点较集中知识点二方差、标准差1标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示s .2标准差的平方s2叫做方差s2(x1)2(x2)2(xn)2(xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)3标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近s0时，每一组样本数据均为.1一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近(

2、)2标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性()3一般来说，平均数越大，方差越大()题型一方差、标准差的计算例1(1)设样本数据x1，x2，x10的平均数和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的平均数和方差分别为_答案1a,4解析1，yixia，所以y1，y2，y10的平均数为1a，方差不变仍为4.(2)从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.试计算甲、乙两组数据的方差和标准差

3、解甲(25414037221419392142)30，s(2530)2(4130)2(4230)2104.2，s甲10.208.乙(27164427441640401640)31，同理s128.8，s乙11.349.反思感悟方差的计算方法(1)s2(xxx)n2；s2(xxx)2.(2)用定义的公式计算方差的一般步骤先求出样本平均数；再计算一组差：xi(i1,2，n)；计算中差的平方，得到一组新的数据：(x1)2，(x2)2，(xn)2；计算中这组新数据的平均数，即为所求的方差s2，即s2(xi)2.跟踪训练1已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？解方法一

4、3，x4.由方差公式有：s2(13)2(33)2(23)2(53)2(43)22，s.方法二3，x4，由方差公式的变形形式有：s2(1232225242)322，s.题型二感受数据的离散程度例2分别计算下列四组样本数据的平均数、标准差，并画出条形图，说明它们的异同点(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.解平均数、标准差计算如下：(1)5，s0.(2)5，s2(45)23(55)23(65)23，s0.82.(3)5，s2(35)22(45)22(55)2(65)22

5、(75)22，s1.49.(4)5，s2(25)24(55)2(85)248，s2.83.四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5，但数据的离散程度不一样，其中(1)最集中，(4)的离散程度最大反思感悟标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定跟踪训练2有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677试求出甲、乙两人本次射击的平均成绩， 并画出两人成绩的条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？解甲(78795491074)7，同理可得乙7.条形

6、图如下：通过条形图直观地看，虽然平均数相同，还是有差异的甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中方差的应用典例甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别为：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差和标准差；(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？(4)估计两名战士射击环数落在区间(s，s)内的百分比是多少解(1)甲(86786591047)7(环)，乙(6778678795)7(环)(2)由方差公式s2(x1)2(x2)2(

7、xn)2，得s3，s1.2.故s甲1.7，s乙1.1.(3)甲乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当又ss，说明甲战士射击情况波动大因此，乙战士比甲战士射击情况稳定从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛(4)对于甲，样本数据落在(s，s)，即(5.3,8.7)内的有6个，占60%.对于乙，样本数据落在(s，s)，即(5.9,8.1)内的有8个，占80%.素养评析(1)根据方差、标准差的计算公式，熟练准确地计算出方差、标准差是数学运算素养的体现(2)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，

8、稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定(3)根据方差、平均数对问题进行决策体现了数据分析的数学核心素养.1下列说法正确的是()A在两组数据中，平均数较大的一组方差较大B平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高答案B解析A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C中求和后还需取平均数；D中方差越大，射击越不平稳，水平越低2已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是()A0.1 B0.3 C0.5 D0.7答案A解析5个数的平均数5.

9、1，所以它们的方差s2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.3在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A众数 B平均数 C中位数 D标准差答案D4已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则()A.4，s22 B.4，s22C.4，s24，s22答案C解析根据题意有4，而s22.5样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为_答案2解析由题意知(a0123)1，解得a1，所以样本方差为s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.1标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差2现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性3在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案