第1章解三角形 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习 学习目标1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.掌握解三角形的基本类型，并能在几何计算、测量应用中灵活分解组合.3.能解决解三角形与三角变换的综合问题1正弦定理及其推论设ABC的外接圆半径为R，则(1)2R.(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.(3)sin A，sin B，sin C.(4)在ABC中，ABabsin Asin B.2余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos A，b2 c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.(2)cos A；cos B；cos C.(3)在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c2

2、a2b2C为锐角3三角形面积公式(1)Sahabhbchc；(2)Sabsin C bcsin Acasin B.4应用举例(1)测量距离问题；(2)测量高度问题；(3)测量角度问题.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1如图，在ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度解在ABC中，ABAC2，BC2，由余弦定理，得cos C，sin C.在ADC中，由正弦定理，得，AD.反思感悟利用正弦、余弦定理寻求三角形各元素之间的关系来解决三角形及其面积问题跟踪训练1(1)在ABC中，A45，AB1，AC2，则SABC的值为()A. B. C. D2答案B(2)已知锐角ABC

3、的面积为3，BC4，AC3，则角C的大小为()A75 B60 C45 D30答案D解析SBCACsin C43sin C3，sin C，三角形为锐角三角形C30.题型二几何计算例2如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为 答案解析因为sinBAC，且ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理，得BD.反思感悟正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决跟踪训练2在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，求AC的长解如图，在ABD中，由正弦定理，得，sinA

4、DB.由题意知0ADB60，ADB45，BAD1804512015.BAC30，C30，BCAB.在ABC中，由正弦定理，得，AC.题型三实际应用例3如图，已知在东西走向上有AM，BN两个发射塔，且AM100 m，BN200 m，一测量车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B的仰角为，且BQA，经计算，tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解在RtAMP中，APM30，AM100 m，所以PM100 m，连接QM(图略)，在PQM中，QPM60，又PQ100 m，所以PQM为等边三角形，所以QM100

5、m.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200 m.在RtBNQ中，因为tan 2，BN200 m，所以BQ100 m，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos ，所以BA100 m.故两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.反思感悟实际应用问题的解决过程实质上就是抽象成几何计算模型，在此过程中注意术语如“北偏西60”、“仰角”的准确翻译，并转换为解三角形所需边、角元素跟踪训练3如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，求建筑物的高度解设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，

6、分别由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180，cosPBAcosPBC0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.题型四三角形中的综合问题例4a，b，c分别是锐角ABC的内角A，B，C的对边，向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，且pq，已知a，ABC的面积为，求b，c的大小解p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，又pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，即4sin2A30，又A为锐角，则sin A，A60

7、，ABC的面积为，bcsin A，即bc6，又a，7b2c22bccos A，b2c213，联立解得或反思感悟解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解跟踪训练4在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2 cos 2A.(1)求A的度数；(2)若a，bc3，求b和c的值解(1)由4sin2 cos 2A及ABC

8、180，得21cos(BC)2cos2 A1，4(1cos A)4cos2A5，即4cos2A4cos A10，(2cos A1)20，解得cos A，0A0，sin A.cos B0，sin B.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理知，c.3在ABC中，cos ，判断ABC的形状解由已知得cos2，2cos21cos B，cos Acos B，又0A，0B，AB，ABC为等腰三角形4设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2s

9、in Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A，所以sin A.故sinsin Acos cos Asin .1在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件2利用正、余弦定理解实际问题，关键是先根据问题所提供的信息，建立数学模型，通过解三角形，得到距离或角度3正、余弦定理与三角函数、平面向量综合考查出现的频率较高解决此类问题首先要把握题目重点考查的知识点是什么，它们之间有怎样的联系，怎样将它们整合在一起，然后，将问题合理转化，特别要注意三角形中角的范围的限制