第3章 指数函数、对数函数和幂函数 章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习考点一指数函数、对数函数、幂函数的综合应用例1已知函数f(x)lg(10x1)x，g(x)，且函数g(x)是奇函数(1)判断函数f(x)的奇偶性，并求实数a的值；(2)若对任意的t(0，)不等式g(t21)g(tk)0恒成立，求实数k的取值范围；(3)设h(x)f(x)x，若存在x(，1，使不等式g(x)h(lg(10b9)成立，求实数b的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为R，任意xR有f(x)lg(10x1)(x)lgxlg(10x1)lg 10xxlg(10x1)xf(x)，f(x)是偶函数g(x)是奇函数，g(x)的定义域为R，由g(0)0，得a1.(2)由(1)知g(x)3

2、x，易知g(x)在R上单调递增，又g(x)为奇函数g(t21)g(tk)0恒成立，g(t21)g(tk)g(tk)恒成立，即t21tk在t(0，)时恒成立，即tk在t(0，)时恒成立令F(t)t，t(0，)，则kF(t)min.又F(t)t22，t(0，)，F(t)的最小值F(t)min2，此时t1，klg(10b10)成立，只需g(x)在(，1上的最大值g(x)maxlg(10b10)，而g(x)在(，1上单调递增，g(x)maxg(1)，lg(10b10)，10b10，b，b0，判断函数f(x)的单调性；(2)若abf(x)时的x的取值范围解(1)当a0，b0时，因为ya2x，yb3x都单

3、调递增，所以函数f(x)在R上单调递增；当a0，b0.当a0时，x，解得x；当a0，b0时，x，解得x0，且a1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)loga(xk)的大致图象是()答案A解析f(x)(k1)axax(a0且a1)在R上为奇函数，f(0)(k1)a0a0k20，k2，f(x)是减函数，0a(x1x20)的函数的个数是()A1个 B2个 C3个 D4个答案A解析函数f(x)x的图象是一条直线，故当x1x20时，f；函数f(x)x2的图象是凹形曲线，故当x1x20时，fx20时，fx20时，f；在第一象限，函数f(x)的图象是一条凹形曲线，故当x1x20时，fx20时，f，故选

4、A.反思感悟常见函数的凸性(1)一次函数不具有凸性若f(x)axb，则f；(2)二次函数图象是“下凸”的若g(x)x2axb，则g；(3)指数函数yax(a0且a1)的图象是“下凸”的；(4)对数函数ylogax(a0且a1)，当a1时函数图象是“上凸”的，当0a1时函数图象是“下凸”的；当01时是上凸函数；当0时函数图象是“下凸”的跟踪训练3在y2x，ylog2x，yx2这三个函数中，当0x1x2恒成立的函数有()A3个 B2个 C1个 D0个答案C解析当0x1x2恒成立，即f(x)在区间(0,1)上的函数图象是“上凸”的y2x与yx2在区间(0,1)上的函数图象是“下凸”的，而ylog2x

5、在区间(0,1)上的函数图象是“上凸”的因此，只有函数ylog2x符合题意考点三函数的零点与方程的根的关系及应用例4已知函数f(x)log9(9x1)kx是偶函数(1)求k的值；(2)若方程f(x)xb有实数根，求b的取值范围；(3)设h(x)log9，若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围解(1)f(x)为偶函数，对任意xR，有f(x)f(x)，log9(9x1)kxlog9(9x1)kx对xR恒成立2kxlog9(9x1)log9(9x1)log9log9(9x1)x对xR恒成立，(2k1)x0对xR恒成立，k.(2)由题意知log9(9x1)xxb有实数根，

6、即log9(9x1)xb有解令g(x)log9(9x1)x，则函数yg(x)的图象与直线yb有交点g(x)log9(9x1)xlog9log9.11，g(x)log90，b的取值范围是(0，)(3)由(1)知，f(x)log9(9x1)xlog9(9x1)log93xlog9，由题意知3xa3xa有且只有一个实数根令3xt(t0)，则关于t的方程(a1)t2at10(*)有且只有一个正根若a1，则t，不符合题意，舍去；若a1，则方程(*)的两根异号或方程有两相等正根方程(*)有两相等正根等价于解得a3.方程(*)的两根异号等价于解得a1.综上所述，实数a的取值范围是3(1，)反思感悟(1)函数

7、的零点与方程的根的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断跟踪训练4若函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_答案(0,3)解析显然f(x)在(0，)上是单调增函数，由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a3.考点四函数模型及应用例5某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每

8、件售价应降低_元答案1.5解析设每件降价0.1x元，则每件获利(40.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000100x)，利润y(40.1x)(1 000100x)10x2300x4 00010(x230x225225)4 00010(x15)26 250.当x15时，ymax6 250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益反思感悟函数建模的基本过程如图跟踪训练5某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时答案24解析依题意得两式相除可得e22k，故e11k，故e33kbe33keb24，即该食品在33的保鲜时间是24小时