3.4.1函数与方程 学案(含答案)
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1、3.4函数的应用3.4.1函数与方程学习目标1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程的解的关系.2.会求函数的零点.3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数知识点一函数的零点概念(1)一般地,我们把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点(2)方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点提示函数的零点不是点,而是一个实数,当自变量取零点时,函数值为零知识点二零点存在性定理一般地,若函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上有零点提示定理要求具备两
2、条:函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线;f(a)f(b)0)的两实数根,则x1,x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表:(m,n,p为常数,且mnp)根的分布图象满足的条件x1x2m (两根都小于m)mx1x2 (两根都大于m)x1mx2 (一根大于m,一根小于m)f(m)0x1,x2(m,n) (两不等实根位于m,n之间)mx1nx2p (两根分别位于m与n,n与p之间)只有一根在(m,n)内,另一根不与m,n重合或f(m)f(n)0时,令2ln x0,解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.(2)由已知得f(3)0即3ab0,即b3a.故g(x)3ax2axax
3、(3x1)(a0)令g(x)0,即ax(3x1)0,解得x0或x.所以函数g(x)的零点为0和.反思感悟函数零点的求法(1)代数法:求方程f(x)0的实数根(2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)0,可以将它与函数yf(x)的图象联系起来图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点跟踪训练1函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_考点函数零点的概念题点求函数的零点答案x1或x10解析由(lg x)2lg x0,得lg x(lg x1)0,lg x0或lg x1,x1或x10.题型二判断函数零点所在区间例2(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()A(3,4) B(2,e) C
4、(1,2) D(0,1)答案C解析因为f(1)ln 20,且函数f(x)的图象在(0,)上连续,所以函数的零点所在区间为(1,2)故选C.(2)根据表格内的数据,可以断定方程exx30的一个根所在区间是()x10123ex0.3712.727.3920.08x323456A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3)答案C解析构造函数f(x)exx3,由上表可得f(1)0.3721.630,f(0)1320,f(1)2.7241.280,f(3)20.08614.080,f(1)f(2)0,所以方程的一个根所在区间为(1,2)故选C.反思感悟判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入:
5、将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点跟踪训练2若函数f(x)x(aR)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是()A2 B0 C1 D3答案A解析f(x)x(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a2时,f(1)1210,故f(x)在区间(1,2)上有零点,同理,其他选项不符合,选A.题型三函数零点个数问题例3求函数f(x)2xlg(x1)2零点的个数解方法一f(0)10210,又f(x)2xlg(x1)2在(1,
6、)上为单调增函数,f(x)在(0,1)上必定存在零点故函数f(x)有且只有一个零点方法二在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点,即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点反思感悟判断函数零点个数的方法(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性,然后借助函数的单调性判断零点的个数(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数跟踪训练3求函数f(x)ln x2x6零点的个数解方法一由于f(2)0,且f(x)在区间(2,3)内连续,又f(2)f(3)0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点又因为函数f
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